多源随机激励系统的参数灵敏度分析

应 分析 问题 。以上 涉及参 数 灵 敏 度 的分 析 考 虑 了 简谐
激励 ， 而在 实 际工程 中 ， 随机 激励 也较 为 常见 。
本文采用虚拟激励法 、 ｒ ｅｋｒ ｊＫｏ ｃｅ 代数 以及矩 阵 ｎ
微 分理 论 等 ， 导 出 多 源 随 机 激励 下 响 应 均 方 根 的参 推
（． １ 山东大学 工程力学系 ， 济南
摘 要 ：采用虚拟激励法， 多次利用状态空间解耦、ｒ ｅｋｒ Ｋｏ ｃｅ代数及矩阵微分理论等， 导出多源随机激励下响 ｎ 推
应均 方根的参数灵敏度表达式 ， 并将其应用于汽车平顺性分 析。根据理论 计算 的灵 敏度大小 及工程实 际要求 ， 取优 化 选 变量 ， 对轻型货车整 车模 型进行 了平顺性优化 。 关键词 ：虚拟激励法 ； 参数灵敏度 ； 平顺性 优化
收稿 日期 ： ０ ０ ０ — ５ 修改稿收到 日期 ： １ — ８ ０ ２１— ６ ２ ２ ０ ０ —９ ０
第一作者 唐 帆 男， 硕士研 究生 ，９ ４年 １ １８ １月生
其 中， 日 为第 ｉ 阶模 态 的频 响 函数 ，｛ ｝ 为状 态空 间 微 分 方程第 ｉ 阶特征 向量 ，ｏ ” 表 Ｋ ｏｅｋｒ ， ＝ “ 代 ｒｎｃｅ 积
数 灵 敏度 表达 式 。根据 理 论计 算 的系 统所 有 参 数 对 汽 车平顺 性 评价 指标 （ 速度均 方 根 ） 加 的灵 敏 度 大小 及 工
｝
●
程实 际要 求 ， 轻 型货 车整 车模 型进行 了平顺 性优 化 。 对
Ｈ２
ｏＬｅ
：
｝ Ｔ ２ Ⅳ
基金项 目：山东省 自然科 学基金（ ２ ０ Ｆ ０ Ｙ ０７２ ）
径 参数 的灵 敏 度 ， 薇 等 基 于 一 般 概 率 摄 动 有 限元 赵
法， 在求 解 参数 灵敏 度 的基 础 上 ， 研究 了 随机 结 构 的 响
｛ （） ｆ ｝＝
向量 。
（）＝
（） ２
其 中 ，ｘ 、｛ ｝ 为 激 励 功 率 谱 矩 阵 的 特 征 值 、 征 ／ 特 利用 复模 态 方 法 对 运 动微 分 方 程 （ ） 进 行 解 １式 耦， 单点 虚拟 激励 下状 态空 间描 述微 分方 程 的稳态 解 ：
通讯作者 王锡平 男 ， 副教授
第 １ 期
唐
帆等 ：多源 随机激励系统 的参数灵敏度分析
８ ３
［ ０ （ Ｋ ］ ｝ １ ］⑧ ［ ｛
响应
） 。
多 点虚 拟激 励 叠 加 后 ， 态 空 间 描 述 微 分 方 程 的 状
得到 。
｛ ＝ ）［ ／ Ｒ （
２ ２ 响应 均方根 值 的参数 灵敏 度 ．
［
（ ｉ＝１ ２ … ， ； １２ … ， ， ， 凡 ｒ＝ ， ， Ⅳ） （ ６ １）
微 分方 程 （ ） 两边对 进 行矩 阵微 分 ， 据 Ｋｏ １式 根 ｒ—
ｎ ｃ ｅ 代 数 和矩 阵微 分理 论 ｅｋ ｒ ｍ 可得 ：
＋ ｃ ＋ Ｋ ＝
其 中 ， （） １ 为频率 加权 函数 。 厂
系统 设计 和优 化 提 供 参 考 。 因此 对 于 许 多 工 程 问题 ， 尤其 是在 系统设计 初 期 ， 要 一种 适 应 范 围广 ， 能 快 需 且 速 找 出 关 键 参 数 的 方 法 ， 正 做 到 低 振 动 低 噪 声 真 设计 。 。 。
１ 系统的虚拟响应
粘性 阻 尼受 迫振 动 系统 的运 动微分 方程 组 ： Ｍｒ ２＋Ｃ ＋ＫＵ ＝Ｑ（ ｅ Ｕ ）
（） ８
其中 ，
ｆ ＝ ／
Ｑ（ ｅ ＝一 Ｏ Ｅ ） Ｍ ｏ ］＿
（ ，
Ｏ Ｅ Ｃ［ ｏ ］＿Ｏ ｊ Ｋ
ｏ ］
图 １ １ 自由度 整 车 非 独 立 悬 架 模 型 ０
）
其 中 ， ） 频 域 函 数 矩 阵 ， ｛ ∞） 同 样 方 法 尺（ 为 与 Ｇ（ ｝
） ］（ ｛ Ｇ
其 中 ，｛ （ ） ＝ ｛ Ｇ ｝ ／ ｝ Ｚ 。 ｉ 可求 解 虚拟 位移 响 应 、 拟速 度 响 应 、 拟 加速 度 虚 虚
响应 ：
根据 虚拟激 励法 ］第 ｒ 自由度 虚拟 响应 ｚ（） ， 个 ｔ 的 自谱 密 度 ：
振
动
与
冲
击
第 ３ 卷第 １ １ 期
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｂ ＯＦ ＶＩ ＲＡＴＩ ＯＮ ＡＮＤ ＨＯＣ Ｓ Ｋ
多 源 随机 激 励 系 统 的 参 数 灵 敏 度 分 析
唐 帆 ，王锡平 ，朱文海 ，周慎杰
２ ０ ６ ；． ５ ０ １２ 山东大学 机械工程学 院， 济南 ２０６ ） ５ ０ １
中 图 分 类 号 ：０ ２ ； ４ ２ Ｕ ６ ． ３４ Ｕ ６ ；４ ３３ 文 献标 识 码 ：Ａ
Ｐａ ａ ｅ ｅ ｅ ｓｔｖ ｔ ｎ ｌ ｓｓ ｆ ｒ ａ ｓ ｓ ｅ ｗｉｈ ｍｕｌｉｓ ｕｒ ｅ ｒ ｎ ｍ ｘ ｉａ ｉ ｎ ｒ ｍ ｔ ｒ ｓ ｎ ｉｉ ｉｙ ａ ａ ｙ ｉ ｏ ｙ ｔ ｍ ｔ ｔ－ｏ ｃ ａ ｄｏ ｅ ｃ ｔ ｔｏ
其 中下 标 （ ，） 示该 矩 阵 的第 ｒ 。 ｒ ：表 行
（） ６
将 式 （５ 两 边对 求 导后 ， 式 （ ） 式 （２ 代 １） 将 ６和 １）
入， 即得加 速度 响应 均方 根 …的参 数灵 敏度 ：
＝
２ 系 统 的 参 数 灵 敏 度
２ １ 虚 拟 响应 的参数 灵 敏度 ． 设 广 义质 量 、 阻尼 、 刚度 、 尺寸 参数 组成 的向量 为 ： ｌ＝ ｛ ， ， ｋ ， ， ｍ１ … ｍ １… 一， ｆ， ， ‘ ｃ １… ｆ ， ｝
｛ ｔ ｝＝ ｛ （ ｝ Ｕ（） Ｔ ∞） ｅ
｛ ｔ ｝＝ ｛ （ ｝ Ｕ（） Ｔ ） ｅ ｛ ｔ ｝＝一∞ ｛ （ ） ｅ Ｕ（） Ｔ ｝ 得到。
（） ９
（０ １） （ ） １ １
对 于空 问 四轮汽车 ， 四个 车轮 路 面激励 表示 为
｛ （） ｑ ｔ ｝＝ ［ ｔ ，： ｔ ，， ｔ ， ｔ ］ ｑ （） ｑ （） ｑ （） ｑ （）
Ｔ Ｎ ａ Ａ ｉ ｉｇ ， ＨＵ Ｗｅ —ａ Ｚ Ｕ Ｓ ｅ －ｅ Ａ Ｇ Ｆ ｎ ，Ｗ ＮＧ Ｘ － ｎ Ｚ ｎｈ ｉ， ＨＯ ｈ ｎ ｐ ｉ ｆ
（ ． ｎｉｅｒ ｇＭｅｈ ｎｃ ｅａｔ ｎ， ｈ ｎ ｏｇＵ ｉ ｒｉ ， ｉａ ５０ １ Ｃ ｉａ １ Ｅ ｇ ｅｉ ｃａｉ Ｄ ｐｒ ｎ ｎ ｓ ｍｅｔ Ｓ ａｄｎ ｎ ｅｓｙ Ｊ ｎ２ ０ ６ ， ｈｎ ； ｖ ｔ ｎ ２ Ｓｈ ｏ ｏ ｃａｉａ Ｅ ｇ ｅｒ ｇ ｈｎ ｏｇＵ ｉ ｒ ｔ， ｉａ ５ ０ １ Ｃ ｉａ ． ｃｏｌ ｆ Ｍｅｈ ｎｃｌ ｎ ｉ ｅｉ ，Ｓａ ｄｎ ｎｖ ｓｙ Ｊｎｎ２０ ６ ， ｈｎ ） ｎ ｎ ｅｉ
ｔ ｓ ｕ ｏ ｅ ｃｔ ｔ ｎ ｍ ｅｈ ｄ． Ａｃ ｏ ｄｉｇ ｔ ｔ ｅ ａ ａ ｔｒ ｅ ｓｔｖｔ ｃ ｃ ｌ ｔｏ ｒ ｓ ｔ ｎ ｔ ｒｑｕ ｒ ｍｅ ｔ ｆ ａ ｔ ａ ｈｅ ｐ ｅ ｄ — ｘ ｉａｉ ｔ ｏ ｏ ｃ ｒ ｎ ｏ ｈ ｐ ｒ ｍｅｅ ｓ ｎ ｉｉｉｙ ａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ｕｌ ａ ｄ ｈｅ ｅ ｉｅ ｎ ｏ ｃ ｕ ｌ ｓ ｅ ｇｎ ｅｉ ｎ ｉ ｅ ｒｎｇ， ｔ ｉ ｏ ｆｒ ｏ ｉｈ — ｔ ｒ ｃ ｏ ｌ ｈｅ ｒｄｅ ｃ ｍ ｏ ｔ ｆ ａ ｌｇ ｔｄｕｙ ｔｕ ｋ ｍ ｄｅ ｗａ ｏ ｉ ｉｅ ｔ ＭＡＴＬＡＢ． Ｍ ｅ ｎ ｓ ｐｔ ｚ ｄ ｗｉ ｍ ｈ ａ ｗｈｉ ｌ ｅ， ｔ ｅ ｐ ｉ ｉａ ｉｎ ｈ ｏ ｔｍ ｚ ｔ ｏ ｉ ｃｕ ｅ ｉ ｅ ｒ ａ ｄ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｃ ｎｓｒ ｉ ｔｃ ｎ ｉｉｎｓ ｎ ｌ ｄ ｄ ｌｎ ａ ｎ ｏ ｌｎ ａ ｏ ｔａｎ ｏ ｄ ｘ ｉａｉｎ ｍｅｈ ｄ；ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｅ ｓｔ ｉｙ；ｒｄ ｏ ｏ ｔｏ ｔ ｚ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ｓ ｕ ｏ ｅ ｃ ｔｔｏ ｔ ｏ ａ ａ ｔｒ ｓ ｎ ｉｉ ｔ ｖ ｉ ｅ ｃ ｍｆ ｒ ｐ ｉ ａｉｎ ｍｉ
实 际工 程 的动态 设计 方 案 总 是希 望 了解 系统 特 性 对各 种参 数 的敏感 程 度 ， 即对 系统 进 行灵 敏度 分 析 ， 为
Ａｂｓｒ ｃ ｔ ａ ｔ： Ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｅ ｓｔ ｉｙ ｅ ｐ ｅ ｓｏ ｓｆ ｒｔ ｅ ｍｅ ｎ ｓ ｕ ｒ ｏ ｔｏ ｈ ｅ ｐ ｎｓ ｆａ ｓ ｓｅ ｗｉｈ ｍｕｔ— ｏ ｃ ａ ａ ｔｒ ｓ ｎ ｉｉ ｔ ｘ ｒ ｓｉ ｎ ｏ ｈ ａ ｑ ａ ｅ ｒ ｏ ｆｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｅ ｏ ｙ ｔ ｍ ｔ ｌ ｓ ｕｒ ｅ ｖ ｉ
考虑 Ｎ 自由度一 般粘 性 阻尼 系统 基 础激 励 运 动微
分方 程 ： ［ ｛ ｝＋［ ］ ｝＋［ ｛ ｝＝ ［ ｛ ｝ （ ） Ｍ］ Ｃ ｛ Ｋ］ Ｚ Ｋ ］ ｑ １
其 中 ，［ 为刚 度矩 阵 ，［ ］ 质量 矩 阵 、［ ］ 阻尼 Ｋ］ 为 Ｃ为 矩 阵 、［ 为 激励 刚度 矩 阵 、｛ ｝ Ｋ］ ｑ 为激励 向量 。
＝
（ ４ １）
｛ （） ｔ ｝＝一 ｛ ∞） ｅ Ｐ（ ｝
其 中 ，｛ ） 为 ［ ｛ （ ｝ ， 行 。 Ｐ（ ｝ ］ Ｇ ） 前 ｖ
（） ５
Ｇ ∞ √ Ｚ） ＝ｆ∞ ｒｄ ｗ
（ ５ １）
第 ｒ 自由度 的位移 虚拟 响应 个
（） ｔ｝＝ ［ （：｛ （ ）ｅ ＿ ｌ Ｇ ∞ ｝ ｒ）
Ｇ（ ） ＝Ｚ （） ｔ ｒ ｔｚ（ ） （ ３ １）
加速度 响 应 的 白谱 密度 ：
｛ ｔ ｝＝ ｛ ） ｅ （ ） Ｐ（ ｝ ｛ （） ｛ （ ｝ ｊ ｔ ｝＝ Ｐ ） ｅ （） ３ （） ４ Ｇ ）＝ Ｚ （ ），ｔ （ ｒ ｔｚ（） 加速度 响 应 的均 方根 值 ：
３ 实 际应 用
选取某 型 号 轻 型 货 车 ， 力 学 平 顺 性 模 型 如 图 １ 其
一
Ｏ Ｅ Ｍ［ ⑧ ］＿Ｏ ｏ 三 Ｃ Ｅ ］
一
［ ｏ ］（ ） Ｅ ７
所 示
其中 ，
为 ｍ 阶单位 阵 。
将 式 （ ） 写 自变量 为 、 ７简 激励 为 Ｑ（． ｅ 的一般 ０） １
Ｆｉ ．１ ０ ＤＯＦ ｒｇｄ— ｘｅ—ｕ ｐｅ ｓｏ ｏｅ ｖ ｈｉｌ ｏ ｌ ｇ １ ｉｉ ａ ｌ ｓ ｓ ｎ ｉｎ ｗｈ ｌ ｅ ｃｅ ｍ ｄｅ
利用 虚拟 激 励 法 ， 求 解 虚 拟 位 移 响应 的 参 数 灵 可 敏度 、 拟速 度 响应 的参 数 灵敏 度 、 虚 虚拟 加 速度 响应 的 参 数 灵敏 度
ｒ ｎ ｏ ｅ ｃｔｔ ｎ ｗ ｒ ｅ ｉ ｅ ｉ ｈ ｅ ｏ ｐ ｉ ｇ ｔｅ ｒ ｎ ｓａｅ ｓ ａ ｅ ａ ｄ ｍ ｘ ｉ ｉ ｅ ｅｄ ｒ ｄ ｗ ｔ ｔ ｅ ｄ ｃ ｕ ｌ ｏ ｙ ｉ ｔｔ ｐ ｃ ，Ｋｒ ｎ ｃ ｅ ｌ ｅ ｒ ，ｍａ ｒ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｈ ｏ ｎ ａｏ ｖ ｈ ｎ ｈ ｏ ｅ ｋ ｒａｇ ｂ ａ ｔ ｘ ｄｆ ｒ ｎ ｉ ｅ ｒ ａ ｄ ｉ ｆ ａ ｔ ｙ
在结 构受 多点 部分 相干 平稳 激 励 情 况下 ， ， 构 可 造单 点虚 拟激 励 ：
近两年来闻邦椿 等 基于动态灵 敏度技术 ， 研究 了确定 结构 的参 数 贡 献 度 问题 ， 张义 民 等 研 究 了直
线 与摇摆 运 动耦 合 的确定 结 构 其 接受 体 能 量 对 主要 路