概率统计第五章随机变量序列的极限.
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第五章 随机变量序列的极限
一．大数定理 二．中心极限定理
考察频率的稳定性：
在 n 重贝努利试验中，设事件 A 发生了
次，则
，其中 p P A .
nA
那么事件 A 发生的频率为
，n 而且A~Bn,p
fn A
nA n
nA ppA
n
此结论可由下面的大数定律给出。
独立同分布情形下的大数定律
定理 5.3 设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，
今从中任选 6000 粒。试问在这些种子中 良种所占的比例与 1 之差小于 1%的概率
6 是多少？
例 8．某计算机系统有 120 个终端， 每个终端有 5%的时间在使用，若各个终 端使用与否是相互独立的。试求在任何时 刻有 10 个或更多个终端在使用的概率。
例9． 利用中心极限定理计算： 当掷一枚均匀的铜币时，需投掷多少次
Y np
np1 p
~
N0,1
Pa Y b
b np
a np
百度文库
np 1 p np 1 p
例6．（p121,例5.3) 一本２０万字的长篇小说进行排版， 假定每个字排错的概率为10-5，试求该 小说出版后发现有６个以上错字的概率． 假定各个字是否排错是相互独立的．
例 7. 现有一大批种子，其中良种占 1 。 6
记(3X)
1 n
n i1
Xi
定理表明
X
~
N ,
2
n
X
~
N 0,1
n
例3．
设某种电子元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，现抽取 25 个这类 电子元件，求总寿命超过 3000 小时的概 率。
例4． （课本 P119，例 5.2） 某人要测量甲,乙两地的距离,限于 测量工具,他分成 1200 段来测量,每段 上的测量误差服从 R(-0.5,0.5), (单位： cm),且相互独立,试求总距离误差的绝 对值超过 20 厘米的概率.
那么 g Xn,Yn pg a,b 。
例如
g(X,Y)XY p g(a,b)ab g(X,Y)X2Y2 p g(a,b)a2b2
二 中心极限定理
独立同分布情形下的中心极限定理 德莫弗-拉普拉斯中心极限定理
定理 5.5 （独立同分布情形下的中心极限定理） 设独立同分布随机变量序列 X1, X 2, , X n , ，
推论：（德莫弗-拉普拉斯中心极限定理） 设 X1, X2, , X n , 是独立同分布随机变 量序列，且都服从参数为 p 的 0-1 分布，
则对任意 x, ，有
n
Xi np
lim P i1
x x
n np 1 p
一般地有下列公式：设 Y~Bn,p ，则
当 n 充分大时，
Y ~ Nnp, np1 p,
例 5． 设有 30 个电子元件 D1, D2 , , D30 .
它们如下使用：当 D1 损坏时立即使用 D2 ，
当 D2 损坏时立即起用 D3 ，依次类推.用 X i
表示第 i 个元件的寿命，设 Xi ~E0.1 （单
位：小时）.记T 为 30 个元件使用的总计时间。 问T 超过 350 小时的概率是多少？
那么 n 次重复独立试验中 A 发生的频率为
fn A
NA n
1 n
n i 1
Xi
。于是 NA n
p p 可
表为
1 n
n i 1
Xi
p
p
E
X
。
频率的稳定性可用贝努利大数定律来表达：
贝努利大数定律（定理 5.4）
设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且
Xi (i=1, 2, ) B1, p ，则
且 E X1 ， D X1 2 0 。则对任意 x, ，总有
n
Xi n
lim P i1
x x
n
n 2
定理说明：当n充分大时
n
Xi n
（1）记 Y i1
，则
;
n 2
n
（2）记 Z X i ，则
；
i 1
Y~N0,1
或
ZDEZZ~ N0,1
n
ZXi ~Nn,n2 i1
才能保证使得正面出现的频率在 0.4 至 0.6 之间的概率不小于 90%。
X p p 。
更一般形式的大数定律介绍如下：
切比雪夫大数定律：（定理 5.2）
设 X1，X2，…是两两不相关的随机变 量序列,如果存在常数 c,使得 D(X)≤c,则
n 1i n1X in 1i n1E (X i)n 1i n1X i* p 0
关于依概率收敛有下列性质：
如果 X n p a ，Yn p b ，且函数 g x, y 在 a, b 处连续，
且 E X1 ， D X1 2 ，那么
X1 n
n i1
Xi
p
因 为 EX ， 极 限 也 可 表 为
X p E X 。
（也即 lim P X 0 ） n
例 1 频率的稳定性：在 n 次重复独立试验中， 设随机变量
1 , Xi 0 ,
事件A在第i次试验时发生 事件A在第i次试验时不发生
一．大数定理 二．中心极限定理
考察频率的稳定性：
在 n 重贝努利试验中，设事件 A 发生了
次，则
，其中 p P A .
nA
那么事件 A 发生的频率为
，n 而且A~Bn,p
fn A
nA n
nA ppA
n
此结论可由下面的大数定律给出。
独立同分布情形下的大数定律
定理 5.3 设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，
今从中任选 6000 粒。试问在这些种子中 良种所占的比例与 1 之差小于 1%的概率
6 是多少？
例 8．某计算机系统有 120 个终端， 每个终端有 5%的时间在使用，若各个终 端使用与否是相互独立的。试求在任何时 刻有 10 个或更多个终端在使用的概率。
例9． 利用中心极限定理计算： 当掷一枚均匀的铜币时，需投掷多少次
Y np
np1 p
~
N0,1
Pa Y b
b np
a np
百度文库
np 1 p np 1 p
例6．（p121,例5.3) 一本２０万字的长篇小说进行排版， 假定每个字排错的概率为10-5，试求该 小说出版后发现有６个以上错字的概率． 假定各个字是否排错是相互独立的．
例 7. 现有一大批种子，其中良种占 1 。 6
记(3X)
1 n
n i1
Xi
定理表明
X
~
N ,
2
n
X
~
N 0,1
n
例3．
设某种电子元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，现抽取 25 个这类 电子元件，求总寿命超过 3000 小时的概 率。
例4． （课本 P119，例 5.2） 某人要测量甲,乙两地的距离,限于 测量工具,他分成 1200 段来测量,每段 上的测量误差服从 R(-0.5,0.5), (单位： cm),且相互独立,试求总距离误差的绝 对值超过 20 厘米的概率.
那么 g Xn,Yn pg a,b 。
例如
g(X,Y)XY p g(a,b)ab g(X,Y)X2Y2 p g(a,b)a2b2
二 中心极限定理
独立同分布情形下的中心极限定理 德莫弗-拉普拉斯中心极限定理
定理 5.5 （独立同分布情形下的中心极限定理） 设独立同分布随机变量序列 X1, X 2, , X n , ，
推论：（德莫弗-拉普拉斯中心极限定理） 设 X1, X2, , X n , 是独立同分布随机变 量序列，且都服从参数为 p 的 0-1 分布，
则对任意 x, ，有
n
Xi np
lim P i1
x x
n np 1 p
一般地有下列公式：设 Y~Bn,p ，则
当 n 充分大时，
Y ~ Nnp, np1 p,
例 5． 设有 30 个电子元件 D1, D2 , , D30 .
它们如下使用：当 D1 损坏时立即使用 D2 ，
当 D2 损坏时立即起用 D3 ，依次类推.用 X i
表示第 i 个元件的寿命，设 Xi ~E0.1 （单
位：小时）.记T 为 30 个元件使用的总计时间。 问T 超过 350 小时的概率是多少？
那么 n 次重复独立试验中 A 发生的频率为
fn A
NA n
1 n
n i 1
Xi
。于是 NA n
p p 可
表为
1 n
n i 1
Xi
p
p
E
X
。
频率的稳定性可用贝努利大数定律来表达：
贝努利大数定律（定理 5.4）
设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且
Xi (i=1, 2, ) B1, p ，则
且 E X1 ， D X1 2 0 。则对任意 x, ，总有
n
Xi n
lim P i1
x x
n
n 2
定理说明：当n充分大时
n
Xi n
（1）记 Y i1
，则
;
n 2
n
（2）记 Z X i ，则
；
i 1
Y~N0,1
或
ZDEZZ~ N0,1
n
ZXi ~Nn,n2 i1
才能保证使得正面出现的频率在 0.4 至 0.6 之间的概率不小于 90%。
X p p 。
更一般形式的大数定律介绍如下：
切比雪夫大数定律：（定理 5.2）
设 X1，X2，…是两两不相关的随机变 量序列,如果存在常数 c,使得 D(X)≤c,则
n 1i n1X in 1i n1E (X i)n 1i n1X i* p 0
关于依概率收敛有下列性质：
如果 X n p a ，Yn p b ，且函数 g x, y 在 a, b 处连续，
且 E X1 ， D X1 2 ，那么
X1 n
n i1
Xi
p
因 为 EX ， 极 限 也 可 表 为
X p E X 。
（也即 lim P X 0 ） n
例 1 频率的稳定性：在 n 次重复独立试验中， 设随机变量
1 , Xi 0 ,
事件A在第i次试验时发生 事件A在第i次试验时不发生