专题4.5 函数的应用(二)(精讲精析篇)(解析版)

专题4.5函数的应用（二）（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01 求函数的零点

函数的零点

(1)定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几何意义：函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标就是函数y ＝f (x )的零点． (3)结论：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点. 【典例1】（2019·绥德中学高一月考）函数()32x

f x =-的零点为( )

A ．3log 2

B ．

1

2

3

C ．

13

2

D ．2log 3

【答案】A 【解析】

由()320x

f x =-=，得32x =，即3lo

g 2x =

故选A.

【典例2】（2020·上海高一课时练习）已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________． 【答案】2或0 【解析】

f (x －1)＝(x －1)2－1， 令f (x －1)＝0即(x －1)2＝1，

∴x －1＝1或x －1＝－1， ∴x ＝2或0. 【总结提升】

1.正确理解函数的零点：

(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

(2)根据函数零点定义可知，函数f (x )的零点就是f (x )＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根．即函数y ＝f (x )的零点⇔方程f (x )＝0的实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． 2．函数零点的求法：

(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．

(2)几何法：与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．

热门考点02 判断零点所在的区间

函数零点的判定定理

【典例3】（2020·山东省莱州一中高二月考）函数()312x

f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

的零点所在区间为（ ） A ．()1,0- B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．()1,2

【答案】C 【解析】

311(1)(1)()302f --=--=-<，301

(0)0()102f =-=-<，

1321111()()()022282f =-=-<，3

1111(1)1()10222f =-=-=>，

321115

(2)2()80222

f =-=-=>，由

()1102f f ⎛⎫

⋅< ⎪⎝⎭

.

故选：C

【典例4】（2019·山东高二期末）函数3

()2

x

f x e x =--(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（ ） A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，e)

【答案】B 【解析】

因为3()2

x

f x e x =--

，所以1311(1)1022--=+-=-

31(0)0022=--=-

135

(1)1022

=--

=->f e e ， 所以(0)(1)0f f <，

由零点存在定理可得：区间(0,1)内必有零点. 故选B 【总结提升】

1.判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.

2.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．

热门考点03 函数零点个数的判断

【典例5】（2020·全国高三（理））集合{

}

2

|2,x x x x R =∈的非空真子集的个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

【答案】C 【解析】

画出函数2x

y =和2y

x 的图象，根据图象知集合{}2

|2,x x x x R =∈有3个元素，

故集合{

}

2

|2,x x x x R =∈的非空真子集的个数为3226-=. 故选：C .

【典例6】（2015·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】

当时,所以,,此时函数

的小于零的零点为;当时

,,函数无零点;当时,,,函数

大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.

【总结提升】

判断函数零点个数的方法：

（1）直接法：即直接求零点，令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；

（2）定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点

（3）图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数.

（4）性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.

热门考点04 根据函数零点情况求参数值或范围

【典例7】（2020·天津高三二模）已知函数()()1121

222

x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，

，，

若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（ ）

A ．28

37a <<或1a =- B ．

28

37a << C ．73

82

a <<或1a =-

D ．7382

a <<

【答案】D 【解析】

如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a

f x x

=

，若0a >，则满足132178

a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，

可得73

82a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当

10a -<<时，因为(1)11a f =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需1

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a <-，解得a Ø∈，故选D .