矩阵代数基本知识
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那么
Aui = λi ui ， i = 1, 2,L , p 这表明 λ1 , λ2 ,L λ p 是 A 的 p 个特征根，而 u1 , u 2 ,L , u p 为相应的特征向量。 这样矩阵 A 可以作如下分解： A = TAT′ ′⎞ ⎛ λ1 0 ⎞ ⎛ u1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ O = (u1 , u 2 ,L , u p ) ⎜ ⎟⎜ M ⎟ ⎜0 ⎜ ⎟ λp ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ u′p ⎠ = ∑ λi ui u′ i
4． 设 A 为 n 阶非退化阵， b 和 a 为 n 维列向量，则方程：
5
Ab = a
的解为
b = A −1a
5． A
−1
= A
−1
6．若 A 是正交阵，则
A −1 = A′ 7．若 A 是对角阵， A = diag ( a11 , a22 ,L , ann ) 且 aij ≠ 0 ， i = 1,L , p ，
⎡a11 a12 L a1p ⎤ ⎢a a L a ⎥ 21 22 2p ⎥ A= ⎢ ⎢M M M⎥ ⎢ ⎥ ⎢an1 an2 L anp ⎦ ⎥ ⎣
则称 A 为 n × p 阶矩阵，一般记为 A = ( aij ) n× p ，称 aij 为矩阵 A 的元素。当
n = p 时，称 A 为 n 阶方阵；若 p = 1 ， A 只有一列，称其为 n 维列向量，
记为
⎡ a11 ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ an1 ⎦
若 n = 1 ， A 只有一行，称其为
p 维行向量，记为
(a
11
, a12 ,L , a1 p )
1
当 A 为 n 阶方阵，称 a11 , a22 ,L , ann 为 A 的对角线元素，其它元素称为非对 角元素。若方阵 A 的非对角元素全为 0 ，称 A 为对角阵，记为
i =1 p
称之为 A 的谱分解。 八、 矩阵的迹 它的对角元素之和称为 A 的迹， 记为 tr ( A ) = 若 A 是 p 阶方阵， 方阵的迹具有下述基本性质：
8
∑a
i =1
p
ii
。
1．若 A 是 p 阶方阵，它的特征根为 λ1 ， λ2 …， λ p ，则 tr ( A) = 2． tr ( AB) = tr (BA ) ； 3． tr ( A ) = tr ( A′) 4． tr ( A + B) = tr ( A) + tr (B) 5． tr (α A ) = α tr ( A ) 九、 二次型与正定阵 称表达式
4．对转置运算规律
( A + B)′ = A′ + B′ ， (aA)′ = (aA′) ( AB)′ = B′A′ ， ( A′)′ = A
另外，若 A = (aij ) n×n 满足 A′A = AA′ = I ，则称 A 为正交阵。
3
三、 矩阵分块 对于任意一个 n × p 阶矩阵 A ，可以用纵线和横线按某种需要将它们划 分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为 分块矩阵，即：
p p
∑λ
i =1
p
i
所以
λ I p − AB 0 λI p A = 0 λ I q − BA λB λIq
λ q λ I p − AB = λ p λ I q − BA
那么，两个关于 λ 的方程
λ I p − AB = 0 和 λ I q − BA = 0 有着完全相同的
非零特征根（若有重根，则它们的重数也相同） ，从而 AB 和 BA 有相同的 非零特征根。
且 n1 + n2 = n ， p1 + p2 = p 。 分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。不难证明：
⎛ A′ A′ = ⎜ 11 ⎝ A′ 21
′ ⎞ A12 ⎟。 A′ 22 ⎠
四、 方阵行列式的性质 一个 n 阶方阵 A = ( aij ) n×n 中的元素组成的行列式，称为方阵 A 的行列 式记为 A 或 det A 。它有以下我们熟知的性质： 1．若 A 的某行（或列）为零，则 A = 0 ； 2． A = A ′ ； 3．将 A 的某行（或列）乘以数 c 所得的矩阵的行列式等于 c A ； 4．若 A 是一个 n 阶方阵， c 为一常数，则 cA = c A
⎡ a11 ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ a22 ⎥ = diag (a , a ,L , a ) nn 11 22 ⎥ O ⎥ ann ⎥ ⎦
进一步，若 a11 = a22 = L = ann = 1 ，称 A 为 n 阶单位阵，记为 I n 或
A=I。
如果将 n × p 阶矩阵 A 的行与列彼此交换，得到的新矩阵是 p × n 的矩 阵，记为
⎛ I p − A ⎞ ⎛ λ I p A ⎞ ⎛ λ I p − AB 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ λI q ⎟ ⎠ ⎝ 0 λIq ⎠ ⎝ B I q ⎠ ⎝ λB 0 ⎞ ⎛ λI p A ⎞ ⎛ λI p A ⎞ ⎛ Ip ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎝ −B λ I q ⎠ ⎝ B I q ⎠ ⎝ 0 λ I q − BA ⎠
6
3． rk ( A) = rk ( A′) ； 4． rk ( AB) ≤ min(rk ( A), rk (B)) ； 5． rk ( A + B) ≤ rk ( A) + rk (B) ； 6．若 A 和 C 为非退化阵，则 rk ( ABC) = rk (B) 。 七、 特征根和特征向量 设 A 为 p 阶方阵，则方程 A − λ I p = 0 是 λ 的 p 次多项式，由多项式 ，记为 λ1 ， λ2 …， λ p ，称为 A 的特征 理论知道必有 p 个根（可以有重根） 根或称特征值。 使得 ( A − λi I p )u i = 0 ， 则称 u i 为对应于 λi 的 若存在一个 p 维向量 u i ，
则A
= diag (a11−1 , a22 −1 ,L , ann −1 ) 。 8．若 A 和 B 非退化阵，则
⎛ A −1 ⎛ A C⎞ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 0 B⎠ ⎝ 0
−1
−1
−1
− A −1CB −1 ⎞ ⎟ B −1 ⎠
⎛ A −1 0 ⎞ ⎛A 0⎞ = ⎜ −1 −1 ⎟ ⎜ ⎟ B −1 ⎠ ⎝C B⎠ ⎝ −B CA
∏a
i =1
n
ii
= A B 0 B C B 12．若 A 和 B 分别是 n × p 和 p × n 的矩阵，则
A C
=
A
0
I n + AB = I p + BA
五、 逆矩阵 设 A 为 n 阶方阵，若 A ≠ 0 ，则称 A 是非退化阵或称非奇异阵，若
A = 0 ，则称 A 是退化阵或称奇异阵。
7
4．若 A 为三角阵（上三角或下三角） ，则 A 的特征根为其对角元素。 5．若 λ1 ， λ2 …， λ p 是 A 的特征根， A 可逆，则 A 的特征根为 λ1 ，
−1 −1
λ2 −1 ，…， λ p −1 。
6．若 A 为 p 阶的对称阵，则存在正交矩阵 T 及对角矩阵 Λ =
diag (λ1 ,L , λ p ) ，使得 A = TΛT′
n
5．若 A 的两行（或列）相同，则 A = 0 ；
4
6．若将 A 的两行（两列）互换所得矩阵的行列式等于 − A ； 7．若将 A 的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上， 所得的矩阵的行列式不变，仍等于 A ； 8．若 A 和 B 均为 n 阶方阵，则 AB = A B ； 9．若 A 为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则 A = 10． AA′ ≥ 0 11．若 A 和 B 都是方阵，则
9．设方阵 A 的行列式 A 分块为：
A =
A11 A 21
A12 A 22
若 A11 ， A 22 是方阵且是非退化，则
A = A11 A 22 − A 21A11−1A12 = A 22 A11 − A12 A 22 −1A 21
六、 矩阵的秩 若存在它的一个 r 阶子方阵的行列式不为零， 而A 设 A 为 n × p 阶矩阵， 则称 A 的秩为 r ， 记作 rk ( A) = r 。 的一切 (r + 1) 阶子方阵的行列式均为零， 它有如下基本性质： 1． rk ( A ) = 0 ，当且仅当 A = 0 ； 2．若 A 为 n × p 阶矩阵，则 0 ≤ rk ( A) ≤ min( n, p ) ；
附录 I
矩阵代数基本知识
矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要， 对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划 中没有涉及到的。 一、 向量矩阵的定义 将 n × p 个实数 a11 , a12 ,L , a1 p , a21 , a22 ,L , a2 p ,L , an1 , an 2 ,L , anp 排成 如下形式的矩形数表，记为 A
实际上，将上式两边右乘 T ，得
将 T 按列向量分块，并记为 T = (u1 , u 2 ,L , u p ) ，于是有
AT = TΛ
⎛ λ1 0⎞ ⎜ ⎟ A(u1 , u 2 ,L , u p ) = (u1 , u 2 ,L , u p ) ⎜ O ⎟ ⎜0 λp ⎟ ⎝ ⎠ ( Au1 , Au 2 ,L , Au p ) = (λ1u1 , λ2u 2 ,L , λ p u p )
⎛ a11 ⎜ a21 A=⎜ ⎜ M ⎜ ⎜a ⎝ n1
写成
a12 a22 M an 2
a1 p ⎞ ⎟ L a2 p ⎟ ⎟ M ⎟ L anp ⎟ ⎠ L
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A12 ⎞ ⎛A A = ⎜ 11 ⎟ ⎝ A 21 A 22 ⎠ 其中 A11 = ( aij )n1× p1 ， A12 = ( aij )n1× p2 ， A 21 = ( aij )n2 × p1 ， A 22 = ( aij )n2 × p2 ，
2．若 a 为一常数，它与矩阵 n × p 阶矩阵 A 的积定义为：
aA = (aaij ) n× p
3．若 A = (aik ) p×q ， B = (bkj ) q×n ，则 A 与 B 的积定义为：
AB = (∑ aik bkj ) p×n
k =1
q
根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律： 1．加法满足结合律和交换律
A 的特征向量。特征根有如下性质：
1 ．若 A 为实数阵，则 A 的特征根全为实数，故可按大小次序排列成 2． A 和 A′ 有相同的特征根。 3．若 A 与 B 分别是 p × q 与 q × p 阶阵，则 AB 与 BA 有相同的非零特 征根。 实际上，因为
λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λ p ，若 λi ≠ λ j ，则相应的特征向量 u i 与 u j 必正交。
( A + B) + C = A + (B + C)
A+B = B+A
2．乘法满足结合律
(aβ ) A = a( β A) ， a( AB) = (aA)B = A(aB) A(BC) = ( AB)C
3．乘法和加法满足分配律
a( A + B) = aA + aB ， (a + β ) A = aA + β A A (B + C) = AB + AC ， ( A + B)C = AC + BC
若 A 是 n 阶非退化阵，则存在唯一的矩阵 B ，使得 AB = BA = I n ， B 称为 A 的逆矩阵，记为 B = A 。 逆矩阵的基本性质如下： 1． AA
−1 −1 −1
= A −1A = I = ( A −1 )′
2． ( A′)
3．若 A 和 B 均为 n 阶非退化阵，则
( AB) −1 = B −1A −1
⎡a11 ⎤ ⎢a a ⎥ 21 22 ⎢ ⎥ A= ⎢M M O ⎥ ⎢ ⎥ ⎣an1 an2 L ann ⎦
为下三角阵；若 A′ 为下三角阵，则称 A 为上三角阵。
2
二、 矩阵的运算 1．对 A = (aij ) n× p 与 B = (bij ) n× p 的和定义为：
A + B = (aij + bij ) n× p
⎡a11 a21 L an1 ⎤ ⎢a a L a ⎥ 12 22 n2 ⎥ A′ = ⎢ ⎢M M ⎥ M ⎢ ⎥ ⎢ ⎣a1p a2p L anp ⎥ ⎦
称其为矩阵 A 的转置矩阵。 若 A 是方阵，且 A′ = A ，则称 A 为对称阵； 若方阵 A = (aij )n×n ，当 对一切 i < j 元素 aij = 0 ，则称
Aui = λi ui ， i = 1, 2,L , p 这表明 λ1 , λ2 ,L λ p 是 A 的 p 个特征根，而 u1 , u 2 ,L , u p 为相应的特征向量。 这样矩阵 A 可以作如下分解： A = TAT′ ′⎞ ⎛ λ1 0 ⎞ ⎛ u1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ O = (u1 , u 2 ,L , u p ) ⎜ ⎟⎜ M ⎟ ⎜0 ⎜ ⎟ λp ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ u′p ⎠ = ∑ λi ui u′ i
4． 设 A 为 n 阶非退化阵， b 和 a 为 n 维列向量，则方程：
5
Ab = a
的解为
b = A −1a
5． A
−1
= A
−1
6．若 A 是正交阵，则
A −1 = A′ 7．若 A 是对角阵， A = diag ( a11 , a22 ,L , ann ) 且 aij ≠ 0 ， i = 1,L , p ，
⎡a11 a12 L a1p ⎤ ⎢a a L a ⎥ 21 22 2p ⎥ A= ⎢ ⎢M M M⎥ ⎢ ⎥ ⎢an1 an2 L anp ⎦ ⎥ ⎣
则称 A 为 n × p 阶矩阵，一般记为 A = ( aij ) n× p ，称 aij 为矩阵 A 的元素。当
n = p 时，称 A 为 n 阶方阵；若 p = 1 ， A 只有一列，称其为 n 维列向量，
记为
⎡ a11 ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ an1 ⎦
若 n = 1 ， A 只有一行，称其为
p 维行向量，记为
(a
11
, a12 ,L , a1 p )
1
当 A 为 n 阶方阵，称 a11 , a22 ,L , ann 为 A 的对角线元素，其它元素称为非对 角元素。若方阵 A 的非对角元素全为 0 ，称 A 为对角阵，记为
i =1 p
称之为 A 的谱分解。 八、 矩阵的迹 它的对角元素之和称为 A 的迹， 记为 tr ( A ) = 若 A 是 p 阶方阵， 方阵的迹具有下述基本性质：
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∑a
i =1
p
ii
。
1．若 A 是 p 阶方阵，它的特征根为 λ1 ， λ2 …， λ p ，则 tr ( A) = 2． tr ( AB) = tr (BA ) ； 3． tr ( A ) = tr ( A′) 4． tr ( A + B) = tr ( A) + tr (B) 5． tr (α A ) = α tr ( A ) 九、 二次型与正定阵 称表达式
4．对转置运算规律
( A + B)′ = A′ + B′ ， (aA)′ = (aA′) ( AB)′ = B′A′ ， ( A′)′ = A
另外，若 A = (aij ) n×n 满足 A′A = AA′ = I ，则称 A 为正交阵。
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三、 矩阵分块 对于任意一个 n × p 阶矩阵 A ，可以用纵线和横线按某种需要将它们划 分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为 分块矩阵，即：
p p
∑λ
i =1
p
i
所以
λ I p − AB 0 λI p A = 0 λ I q − BA λB λIq
λ q λ I p − AB = λ p λ I q − BA
那么，两个关于 λ 的方程
λ I p − AB = 0 和 λ I q − BA = 0 有着完全相同的
非零特征根（若有重根，则它们的重数也相同） ，从而 AB 和 BA 有相同的 非零特征根。
且 n1 + n2 = n ， p1 + p2 = p 。 分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。不难证明：
⎛ A′ A′ = ⎜ 11 ⎝ A′ 21
′ ⎞ A12 ⎟。 A′ 22 ⎠
四、 方阵行列式的性质 一个 n 阶方阵 A = ( aij ) n×n 中的元素组成的行列式，称为方阵 A 的行列 式记为 A 或 det A 。它有以下我们熟知的性质： 1．若 A 的某行（或列）为零，则 A = 0 ； 2． A = A ′ ； 3．将 A 的某行（或列）乘以数 c 所得的矩阵的行列式等于 c A ； 4．若 A 是一个 n 阶方阵， c 为一常数，则 cA = c A
⎡ a11 ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ a22 ⎥ = diag (a , a ,L , a ) nn 11 22 ⎥ O ⎥ ann ⎥ ⎦
进一步，若 a11 = a22 = L = ann = 1 ，称 A 为 n 阶单位阵，记为 I n 或
A=I。
如果将 n × p 阶矩阵 A 的行与列彼此交换，得到的新矩阵是 p × n 的矩 阵，记为
⎛ I p − A ⎞ ⎛ λ I p A ⎞ ⎛ λ I p − AB 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ λI q ⎟ ⎠ ⎝ 0 λIq ⎠ ⎝ B I q ⎠ ⎝ λB 0 ⎞ ⎛ λI p A ⎞ ⎛ λI p A ⎞ ⎛ Ip ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎝ −B λ I q ⎠ ⎝ B I q ⎠ ⎝ 0 λ I q − BA ⎠
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3． rk ( A) = rk ( A′) ； 4． rk ( AB) ≤ min(rk ( A), rk (B)) ； 5． rk ( A + B) ≤ rk ( A) + rk (B) ； 6．若 A 和 C 为非退化阵，则 rk ( ABC) = rk (B) 。 七、 特征根和特征向量 设 A 为 p 阶方阵，则方程 A − λ I p = 0 是 λ 的 p 次多项式，由多项式 ，记为 λ1 ， λ2 …， λ p ，称为 A 的特征 理论知道必有 p 个根（可以有重根） 根或称特征值。 使得 ( A − λi I p )u i = 0 ， 则称 u i 为对应于 λi 的 若存在一个 p 维向量 u i ，
则A
= diag (a11−1 , a22 −1 ,L , ann −1 ) 。 8．若 A 和 B 非退化阵，则
⎛ A −1 ⎛ A C⎞ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 0 B⎠ ⎝ 0
−1
−1
−1
− A −1CB −1 ⎞ ⎟ B −1 ⎠
⎛ A −1 0 ⎞ ⎛A 0⎞ = ⎜ −1 −1 ⎟ ⎜ ⎟ B −1 ⎠ ⎝C B⎠ ⎝ −B CA
∏a
i =1
n
ii
= A B 0 B C B 12．若 A 和 B 分别是 n × p 和 p × n 的矩阵，则
A C
=
A
0
I n + AB = I p + BA
五、 逆矩阵 设 A 为 n 阶方阵，若 A ≠ 0 ，则称 A 是非退化阵或称非奇异阵，若
A = 0 ，则称 A 是退化阵或称奇异阵。
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4．若 A 为三角阵（上三角或下三角） ，则 A 的特征根为其对角元素。 5．若 λ1 ， λ2 …， λ p 是 A 的特征根， A 可逆，则 A 的特征根为 λ1 ，
−1 −1
λ2 −1 ，…， λ p −1 。
6．若 A 为 p 阶的对称阵，则存在正交矩阵 T 及对角矩阵 Λ =
diag (λ1 ,L , λ p ) ，使得 A = TΛT′
n
5．若 A 的两行（或列）相同，则 A = 0 ；
4
6．若将 A 的两行（两列）互换所得矩阵的行列式等于 − A ； 7．若将 A 的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上， 所得的矩阵的行列式不变，仍等于 A ； 8．若 A 和 B 均为 n 阶方阵，则 AB = A B ； 9．若 A 为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则 A = 10． AA′ ≥ 0 11．若 A 和 B 都是方阵，则
9．设方阵 A 的行列式 A 分块为：
A =
A11 A 21
A12 A 22
若 A11 ， A 22 是方阵且是非退化，则
A = A11 A 22 − A 21A11−1A12 = A 22 A11 − A12 A 22 −1A 21
六、 矩阵的秩 若存在它的一个 r 阶子方阵的行列式不为零， 而A 设 A 为 n × p 阶矩阵， 则称 A 的秩为 r ， 记作 rk ( A) = r 。 的一切 (r + 1) 阶子方阵的行列式均为零， 它有如下基本性质： 1． rk ( A ) = 0 ，当且仅当 A = 0 ； 2．若 A 为 n × p 阶矩阵，则 0 ≤ rk ( A) ≤ min( n, p ) ；
附录 I
矩阵代数基本知识
矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要， 对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划 中没有涉及到的。 一、 向量矩阵的定义 将 n × p 个实数 a11 , a12 ,L , a1 p , a21 , a22 ,L , a2 p ,L , an1 , an 2 ,L , anp 排成 如下形式的矩形数表，记为 A
实际上，将上式两边右乘 T ，得
将 T 按列向量分块，并记为 T = (u1 , u 2 ,L , u p ) ，于是有
AT = TΛ
⎛ λ1 0⎞ ⎜ ⎟ A(u1 , u 2 ,L , u p ) = (u1 , u 2 ,L , u p ) ⎜ O ⎟ ⎜0 λp ⎟ ⎝ ⎠ ( Au1 , Au 2 ,L , Au p ) = (λ1u1 , λ2u 2 ,L , λ p u p )
⎛ a11 ⎜ a21 A=⎜ ⎜ M ⎜ ⎜a ⎝ n1
写成
a12 a22 M an 2
a1 p ⎞ ⎟ L a2 p ⎟ ⎟ M ⎟ L anp ⎟ ⎠ L
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A12 ⎞ ⎛A A = ⎜ 11 ⎟ ⎝ A 21 A 22 ⎠ 其中 A11 = ( aij )n1× p1 ， A12 = ( aij )n1× p2 ， A 21 = ( aij )n2 × p1 ， A 22 = ( aij )n2 × p2 ，
2．若 a 为一常数，它与矩阵 n × p 阶矩阵 A 的积定义为：
aA = (aaij ) n× p
3．若 A = (aik ) p×q ， B = (bkj ) q×n ，则 A 与 B 的积定义为：
AB = (∑ aik bkj ) p×n
k =1
q
根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律： 1．加法满足结合律和交换律
A 的特征向量。特征根有如下性质：
1 ．若 A 为实数阵，则 A 的特征根全为实数，故可按大小次序排列成 2． A 和 A′ 有相同的特征根。 3．若 A 与 B 分别是 p × q 与 q × p 阶阵，则 AB 与 BA 有相同的非零特 征根。 实际上，因为
λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λ p ，若 λi ≠ λ j ，则相应的特征向量 u i 与 u j 必正交。
( A + B) + C = A + (B + C)
A+B = B+A
2．乘法满足结合律
(aβ ) A = a( β A) ， a( AB) = (aA)B = A(aB) A(BC) = ( AB)C
3．乘法和加法满足分配律
a( A + B) = aA + aB ， (a + β ) A = aA + β A A (B + C) = AB + AC ， ( A + B)C = AC + BC
若 A 是 n 阶非退化阵，则存在唯一的矩阵 B ，使得 AB = BA = I n ， B 称为 A 的逆矩阵，记为 B = A 。 逆矩阵的基本性质如下： 1． AA
−1 −1 −1
= A −1A = I = ( A −1 )′
2． ( A′)
3．若 A 和 B 均为 n 阶非退化阵，则
( AB) −1 = B −1A −1
⎡a11 ⎤ ⎢a a ⎥ 21 22 ⎢ ⎥ A= ⎢M M O ⎥ ⎢ ⎥ ⎣an1 an2 L ann ⎦
为下三角阵；若 A′ 为下三角阵，则称 A 为上三角阵。
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二、 矩阵的运算 1．对 A = (aij ) n× p 与 B = (bij ) n× p 的和定义为：
A + B = (aij + bij ) n× p
⎡a11 a21 L an1 ⎤ ⎢a a L a ⎥ 12 22 n2 ⎥ A′ = ⎢ ⎢M M ⎥ M ⎢ ⎥ ⎢ ⎣a1p a2p L anp ⎥ ⎦
称其为矩阵 A 的转置矩阵。 若 A 是方阵，且 A′ = A ，则称 A 为对称阵； 若方阵 A = (aij )n×n ，当 对一切 i < j 元素 aij = 0 ，则称