电力系统机组组合问题的改进粒子群优化算法
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第 28 卷 第 21 期 2004 年 11 月 文章编号：1000-3673（2004）21-0006-05
电 网 技 术 Power System Technology 中图分类号：TM744 文献标识码：A
Vol.28 No.21 Nov. 2004 学科代码：470· 4054
电力系统机组组合问题的改进粒子群优化算法
ABSTRACT: Unit commitment is a large scale non-linear hybrid integer programming problem. The authors at first relax the zero-one variables in unit commitment and transform this problem into a non-linear programming problem with continuous variable by penalty function, then this programming problem is solved by improved particle swarm optimization algorithm. On the basis of standard particle swarm optimization algorithm, for the renewal of speed and position of each particle not only the information of its own individual extremum and global extremum should be considered, but also the information of other particles. By means of convergence analysis, it is known that if the control parameter of this algorithm is properly chosen, the presented algorithm can converge to optimal solution. The results of calculation examples show that the solution of the presented algorithm possesses high quality and the high convergence speed. KEY WORDS: Power system；Unit commitment；Particle swarm optimization algorithm ； Improved particle swarm optimization algorithm；Convergence 摘要： 机组组合问题是一个大规模的非线性混合整数规划问 题。文章首先对机组组合问题的 0、1 变量进行松弛，应用 罚函数方法将此问题转化为一个非线性连续变量的规划问 题， 并应用改进粒子群优化算法求解。 该算法在标准的粒子 群优化算法的基础上， 每个粒子速度和位置的更新不仅考虑 自身个体极值和全局极值的信息， 还考虑其它粒子所包含的 信息。 通过收敛性分析可知， 若合适地选择算法的控制参数， 该算法能较好地收敛到最优解。 算例表明文章所提出的算法 具有解的质量高、收敛速度快的优点。
vt +1 = ϕ 0 vt + ϕ1 ⋅ r1 (t ) ⋅ ( pBest − xt ) + ϕ 2 ⋅ r2 (t ) ⋅ ( g Best − xt ) (9) xt +1 = xt + vt +1
∑∑ [C ( p ) ⋅ u
i t i t =1 i =1
T
I
t i
+ Si ⋅ u ⋅ (1 − u )]
vt +1 = ϕ0 vt + ϕ1r1 (t )( pBest − xt ) + 1 n
∑u p
t i i =1
I
i max
≥ D t + Rt
(t = 1, 2,L , T )
(5)
式中
pi max 为机组 i 的最大出力； R t 为 t 时刻系统
总的备用容量，本文将 R t 取为系统总负荷的 10%。 （3）机组出力上下限约束
pi min ≤ pit ≤ pi max
(6)
式中
pi min 为机组 i 的最小出力。
（4）机组爬坡约束
∆ pi min ≤ p − p
t i t −1 i
≤ ∆ pi max
(7)
∑ϕ
i =1
n
2i
⋅ r2i（t ）⋅ ( gBest i − xt )
式中 ∆ pi max 和 ∆ pi min 分别为机组 i 的功率上升量 和下降量的上、下限。
(11)
xt +1 = xt + vt +1
(12)
8
Power System Technology
Vol.28 No.21
式中 ϕ 2i 为学习因子； r2 i (t ) 为 (0,1) 内的随机数； gBest i 是整个种群中的所有粒子根据其个体极值 pBest 所对应的适应值大小进行排序后选取的前 n 个粒子在解空间中的位置（n<m） 。从公式(11)可以 看出，标准 PSO 算法是 n = 1 时的特例。 通常情况下，粒子群的数目在 40~60 个能取得 较好的效果，对于特殊问题可以适当增加粒子的个 数。在每次迭代过程中，每个粒子的速度都会被 限制在一个最大速度 vmax 内，它也有平衡全局搜索 能力和局部搜索能力的作用，一般情况下 vmax 设为 变量变化范围的 10%~20%。 3.3 IPSO 算法的收敛性分析 由式(12)可知， vt = xt − xt −1
基金项目：国家杰出青年科学基金资助项目（60225006 ） ；国家自 然科学基金资助项目（60074040） 。 Project Supported by Scientific Funds for Outstanding Young Scientists of China （60225006） ；Project Supported by National Natural Science Foundation of China（60074040） ．
Ci ( pit ) = ai + bi pit + ci ( pit ) 2
(2)
式中
ai 、bi 、 ci 为机组 i 的发电成本函数的参数。
机组 i 的启动成本 Si 可以表示为
H M DTi < (− X it ) < M DTi + CSHi (3) Si = SCi t CSCi (− X i ) > M DTi + CSHi 式中 HSCi 为机组 i 的热启动成本； CSCi 为机组 i 的冷启动成本；X it 为机组 i 到 t 时刻连续运行 （ X it 为正值） 或连续停机 （ X it 为负值） 的时段数；M DTi 为机组 i 的最小停机时间； CSHi 为机组 i 的冷启动 时间。 2.2 约束条件 （1）系统有功平衡约束
t i
t −1 i
(1)
式中 F 为总的发电成本； uit 为机组 i 在 t 时刻的 状态，uit = 1 表示机组处于运行状态，uit = 0 表示机 Ci ( pit ) 为机组 i 在 t 时刻的发电运 组处于停机状态； 行成本； pit 为机组 i 在 t 时刻的实际出力； Si 为机 组 i 的启动成本； T 为总时段数； I 为机组数。 通常情况下， Ci ( pit ) 可以用二次函数表示为
赵 波，曹一家
（浙江大学电气工程学院，浙江省 杭州市 ห้องสมุดไป่ตู้10027）
AN IMPROVED PARTICLE SWARM OPTIMIZATION ALGORITHM FOR POWER SYSTEM UNIT COMMITMENT
ZHAO Bo，CAO Yi-jia （School of Electrical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，Zhejiang Province，China）
关键词：电力系统；机组组合；粒子群优化算法；改进粒子 群优化算法；收敛性
1
引言
电力系统机组组合问题是指在满足系统负荷、
备用要求和机组运行的技术条件约束的情况下， 确定一个调度周期（通常为 24h）内各时段参加运 行的机组和各机组在运行时段的出力，使系统总的 运行费用最少。机组组合问题是典型的大规模非线 性混合整数规划问题，已有许多文献提出了解决该 问题的方法， 如拉格朗日松弛法 （Lagrangian Relax， LR） 、动态规划法（Dynamic Programming，DP） 、 混合整数规划法、遗传算法（Genetic Algorithm， GA）等[1-4]。但这些方法均存在一定的缺点，如容 易造成“维数灾”的问题、计算时间较长等，不适 用于实际系统机组组合问题的计算。 近几年，基于“现代启发式”全局搜索寻优技 术的粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization Algorithm， PSO） 在各领域得到了广泛的应用。 PSO 算法是进化算法中的一种，本质上属于迭代的随机 搜索算法，具有并行处理特征，鲁棒性好、易于实 现，能以较大的概率找到优化问题的全局最优解， 且计算效率较高，已成功地应用于求解各种复杂的 优化问题[5,6]。 最近， PSO 算法被引入电力系统的计 算中， 文献[7]~[9]分别用于求解动态安全边界辨识、 配电系统状态估计及补偿电容器优化配置等问题， 均取得了较好的效果。本文提出了一种改进的粒子 群优化算法 （Improved Particle Swarm Optimization， IPSO） ，并用于求解电力系统机组组合问题。算例
min F =
M GTi 为机组 i 的最小运行时间。
3 IPSO 算法及其收敛性分析
3.1 标准 PSO 算法 PSO 算法是人们受到真实世界中鸟群搜索食 物的行为的启示而提出的一种优化算法，通过群体 之间的信息共享和个体自身经验的总结来修正个 体行动策略，最终求取优化问题的解。PSO 中，每 个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一个“粒 子” ，所有粒子都有一个由优化函数决定的适应值； 此外，每个粒子均有一个速度决定其飞翔的方向和 距离，各粒子追随当前的最优粒子在解空间中进行 搜索。PSO 初始化为一群随机粒子，通过迭代找到 最优解。 在每次迭代中， 粒子通过跟踪两个 “极值” 来更新自己：第一个极值是粒子本身找到的最优 解，这个极值称为个体极值 pBest；另一个极值是整 个种群目前找到的最优解，称为全局极值 gBest。每 个粒子根据如下的公式来更新自己的速度和位置：
(10)
式中
t 为迭代次数； xt 为第 t 次迭代时粒子的空间
∑p
i =1
I
t i
t − ploss = Dt
(t = 1,2,L, T )
(4)
t 式中 Dt 为 t 时刻系统的总负荷； ploss 为 t 时刻系 统总的有功网损。 （2）旋转备用约束
位置； vt 为第 t 次迭代时粒子的速度； ϕ 0 为惯性常 数； ϕ1 、 ϕ 2 为学习因子； r1 (t ) 和 r2 (t ) 是 (0,1) 内的 随机数。 3.2 IPSO 算法 PSO 算法中每个粒子仅根据自身的个体极值 和全局极值这两个信息量来更新自己的速度和位 置，没有考虑其它粒子的信息，粒子群在解空间的 搜索是单向的。在本文提出的 IPSO 算法中，整个 种群中的所有粒子根据其个体极值 pBest 所对应的适 应值大小进行排序，选取前 n 个粒子的信息来修正 每个粒子下一次迭代的行动策略。因此在 IPSO 算 法的搜索过程中整个粒子群在解空间的搜索是多 方向性的，搜索过程更均匀，能有效提高算法的精 度和全局收敛能力。IPSO 算法的基本公式为
第 28 卷 第 21 期
电 网 技 术
7
表明该算法具有收敛速度快、计算精度高的优点， 具有较强的实用价值。
（5）最小启停时间约束
X it ≥ M GTi X it > 0 t t (− X i ) ≥ MDTi Xi < 0
2
数学模型
式中
(8)
2.1 目标函数 目标函数通常是在满足各种约束条件下使总 的发电运行成本最低，即
电 网 技 术 Power System Technology 中图分类号：TM744 文献标识码：A
Vol.28 No.21 Nov. 2004 学科代码：470· 4054
电力系统机组组合问题的改进粒子群优化算法
ABSTRACT: Unit commitment is a large scale non-linear hybrid integer programming problem. The authors at first relax the zero-one variables in unit commitment and transform this problem into a non-linear programming problem with continuous variable by penalty function, then this programming problem is solved by improved particle swarm optimization algorithm. On the basis of standard particle swarm optimization algorithm, for the renewal of speed and position of each particle not only the information of its own individual extremum and global extremum should be considered, but also the information of other particles. By means of convergence analysis, it is known that if the control parameter of this algorithm is properly chosen, the presented algorithm can converge to optimal solution. The results of calculation examples show that the solution of the presented algorithm possesses high quality and the high convergence speed. KEY WORDS: Power system；Unit commitment；Particle swarm optimization algorithm ； Improved particle swarm optimization algorithm；Convergence 摘要： 机组组合问题是一个大规模的非线性混合整数规划问 题。文章首先对机组组合问题的 0、1 变量进行松弛，应用 罚函数方法将此问题转化为一个非线性连续变量的规划问 题， 并应用改进粒子群优化算法求解。 该算法在标准的粒子 群优化算法的基础上， 每个粒子速度和位置的更新不仅考虑 自身个体极值和全局极值的信息， 还考虑其它粒子所包含的 信息。 通过收敛性分析可知， 若合适地选择算法的控制参数， 该算法能较好地收敛到最优解。 算例表明文章所提出的算法 具有解的质量高、收敛速度快的优点。
vt +1 = ϕ 0 vt + ϕ1 ⋅ r1 (t ) ⋅ ( pBest − xt ) + ϕ 2 ⋅ r2 (t ) ⋅ ( g Best − xt ) (9) xt +1 = xt + vt +1
∑∑ [C ( p ) ⋅ u
i t i t =1 i =1
T
I
t i
+ Si ⋅ u ⋅ (1 − u )]
vt +1 = ϕ0 vt + ϕ1r1 (t )( pBest − xt ) + 1 n
∑u p
t i i =1
I
i max
≥ D t + Rt
(t = 1, 2,L , T )
(5)
式中
pi max 为机组 i 的最大出力； R t 为 t 时刻系统
总的备用容量，本文将 R t 取为系统总负荷的 10%。 （3）机组出力上下限约束
pi min ≤ pit ≤ pi max
(6)
式中
pi min 为机组 i 的最小出力。
（4）机组爬坡约束
∆ pi min ≤ p − p
t i t −1 i
≤ ∆ pi max
(7)
∑ϕ
i =1
n
2i
⋅ r2i（t ）⋅ ( gBest i − xt )
式中 ∆ pi max 和 ∆ pi min 分别为机组 i 的功率上升量 和下降量的上、下限。
(11)
xt +1 = xt + vt +1
(12)
8
Power System Technology
Vol.28 No.21
式中 ϕ 2i 为学习因子； r2 i (t ) 为 (0,1) 内的随机数； gBest i 是整个种群中的所有粒子根据其个体极值 pBest 所对应的适应值大小进行排序后选取的前 n 个粒子在解空间中的位置（n<m） 。从公式(11)可以 看出，标准 PSO 算法是 n = 1 时的特例。 通常情况下，粒子群的数目在 40~60 个能取得 较好的效果，对于特殊问题可以适当增加粒子的个 数。在每次迭代过程中，每个粒子的速度都会被 限制在一个最大速度 vmax 内，它也有平衡全局搜索 能力和局部搜索能力的作用，一般情况下 vmax 设为 变量变化范围的 10%~20%。 3.3 IPSO 算法的收敛性分析 由式(12)可知， vt = xt − xt −1
基金项目：国家杰出青年科学基金资助项目（60225006 ） ；国家自 然科学基金资助项目（60074040） 。 Project Supported by Scientific Funds for Outstanding Young Scientists of China （60225006） ；Project Supported by National Natural Science Foundation of China（60074040） ．
Ci ( pit ) = ai + bi pit + ci ( pit ) 2
(2)
式中
ai 、bi 、 ci 为机组 i 的发电成本函数的参数。
机组 i 的启动成本 Si 可以表示为
H M DTi < (− X it ) < M DTi + CSHi (3) Si = SCi t CSCi (− X i ) > M DTi + CSHi 式中 HSCi 为机组 i 的热启动成本； CSCi 为机组 i 的冷启动成本；X it 为机组 i 到 t 时刻连续运行 （ X it 为正值） 或连续停机 （ X it 为负值） 的时段数；M DTi 为机组 i 的最小停机时间； CSHi 为机组 i 的冷启动 时间。 2.2 约束条件 （1）系统有功平衡约束
t i
t −1 i
(1)
式中 F 为总的发电成本； uit 为机组 i 在 t 时刻的 状态，uit = 1 表示机组处于运行状态，uit = 0 表示机 Ci ( pit ) 为机组 i 在 t 时刻的发电运 组处于停机状态； 行成本； pit 为机组 i 在 t 时刻的实际出力； Si 为机 组 i 的启动成本； T 为总时段数； I 为机组数。 通常情况下， Ci ( pit ) 可以用二次函数表示为
赵 波，曹一家
（浙江大学电气工程学院，浙江省 杭州市 ห้องสมุดไป่ตู้10027）
AN IMPROVED PARTICLE SWARM OPTIMIZATION ALGORITHM FOR POWER SYSTEM UNIT COMMITMENT
ZHAO Bo，CAO Yi-jia （School of Electrical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，Zhejiang Province，China）
关键词：电力系统；机组组合；粒子群优化算法；改进粒子 群优化算法；收敛性
1
引言
电力系统机组组合问题是指在满足系统负荷、
备用要求和机组运行的技术条件约束的情况下， 确定一个调度周期（通常为 24h）内各时段参加运 行的机组和各机组在运行时段的出力，使系统总的 运行费用最少。机组组合问题是典型的大规模非线 性混合整数规划问题，已有许多文献提出了解决该 问题的方法， 如拉格朗日松弛法 （Lagrangian Relax， LR） 、动态规划法（Dynamic Programming，DP） 、 混合整数规划法、遗传算法（Genetic Algorithm， GA）等[1-4]。但这些方法均存在一定的缺点，如容 易造成“维数灾”的问题、计算时间较长等，不适 用于实际系统机组组合问题的计算。 近几年，基于“现代启发式”全局搜索寻优技 术的粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization Algorithm， PSO） 在各领域得到了广泛的应用。 PSO 算法是进化算法中的一种，本质上属于迭代的随机 搜索算法，具有并行处理特征，鲁棒性好、易于实 现，能以较大的概率找到优化问题的全局最优解， 且计算效率较高，已成功地应用于求解各种复杂的 优化问题[5,6]。 最近， PSO 算法被引入电力系统的计 算中， 文献[7]~[9]分别用于求解动态安全边界辨识、 配电系统状态估计及补偿电容器优化配置等问题， 均取得了较好的效果。本文提出了一种改进的粒子 群优化算法 （Improved Particle Swarm Optimization， IPSO） ，并用于求解电力系统机组组合问题。算例
min F =
M GTi 为机组 i 的最小运行时间。
3 IPSO 算法及其收敛性分析
3.1 标准 PSO 算法 PSO 算法是人们受到真实世界中鸟群搜索食 物的行为的启示而提出的一种优化算法，通过群体 之间的信息共享和个体自身经验的总结来修正个 体行动策略，最终求取优化问题的解。PSO 中，每 个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一个“粒 子” ，所有粒子都有一个由优化函数决定的适应值； 此外，每个粒子均有一个速度决定其飞翔的方向和 距离，各粒子追随当前的最优粒子在解空间中进行 搜索。PSO 初始化为一群随机粒子，通过迭代找到 最优解。 在每次迭代中， 粒子通过跟踪两个 “极值” 来更新自己：第一个极值是粒子本身找到的最优 解，这个极值称为个体极值 pBest；另一个极值是整 个种群目前找到的最优解，称为全局极值 gBest。每 个粒子根据如下的公式来更新自己的速度和位置：
(10)
式中
t 为迭代次数； xt 为第 t 次迭代时粒子的空间
∑p
i =1
I
t i
t − ploss = Dt
(t = 1,2,L, T )
(4)
t 式中 Dt 为 t 时刻系统的总负荷； ploss 为 t 时刻系 统总的有功网损。 （2）旋转备用约束
位置； vt 为第 t 次迭代时粒子的速度； ϕ 0 为惯性常 数； ϕ1 、 ϕ 2 为学习因子； r1 (t ) 和 r2 (t ) 是 (0,1) 内的 随机数。 3.2 IPSO 算法 PSO 算法中每个粒子仅根据自身的个体极值 和全局极值这两个信息量来更新自己的速度和位 置，没有考虑其它粒子的信息，粒子群在解空间的 搜索是单向的。在本文提出的 IPSO 算法中，整个 种群中的所有粒子根据其个体极值 pBest 所对应的适 应值大小进行排序，选取前 n 个粒子的信息来修正 每个粒子下一次迭代的行动策略。因此在 IPSO 算 法的搜索过程中整个粒子群在解空间的搜索是多 方向性的，搜索过程更均匀，能有效提高算法的精 度和全局收敛能力。IPSO 算法的基本公式为
第 28 卷 第 21 期
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表明该算法具有收敛速度快、计算精度高的优点， 具有较强的实用价值。
（5）最小启停时间约束
X it ≥ M GTi X it > 0 t t (− X i ) ≥ MDTi Xi < 0
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数学模型
式中
(8)
2.1 目标函数 目标函数通常是在满足各种约束条件下使总 的发电运行成本最低，即