凸轮机构

凸轮机构在机械系统中主要用于控制。通过合理设计凸轮的轮廓，可以得到预期的推杆运动规律。

在考试中，对于一个给定的凸轮机构进行分析是比较常见的问题。其中，偏置直动滚子推杆盘形凸轮机构出现得最多，因为在这种机构在实践中出现很多，而且它也包含了很多的概念。本篇考察一个典型的例子来说明其分析方法。

【题目】

图示凸轮机构中，凸轮为一半径R＝ 20 mm的偏心圆盘，圆盘的几何中心A到转动中心O的距离为e = 10 mm，滚子半径r g = 5 mm，凸轮角速度。试求：（14分）

①凸轮的理论廓线和基圆；

② 图示位置时机构的压力角；

③ 凸轮从图示位置转过时的位移S；

④ 图示位置时从动件2的速度v。

【解答】

① 凸轮的理论廓线和基圆

理论廓线。对于滚子推杆的凸轮机构而言，理论廓线是过滚子中心的一条封闭廓线。题目中给出的是工作廓线，要得到理论廓线，只需要把工作廓线往外偏移一个滚子的半径即可。由于这里工作廓线就是一个以C为圆心，半径为20mm的圆；而滚子的半径是5mm，所以理论廓线就是以C为圆心，半径为20+5=25mm的圆.如下图所示。

基圆。首先我们知道，基圆是在理论廓线上定义的；其次我们懂得，它是以转动中心O为圆心的，与理论廓线内切的一个半径最小的圆。按照该定义，我们以O为圆心做一个与理论廓线内切的最小的圆如下图，显然，它的半径是10+5=15mm.

② 图示位置时机构的压力角；

对于该机构而言，压力角是滚子的中心B点的受力方向与运动方向的夹角。

B点的速度方向。由于B点是推杆与滚子的连接点，所以它也就是推杆上的B点。由于推杆在上下平移，推杆上任何一点的轨迹都是沿着推杆的直线，所以任何一点的速度方向都是推杆直线的方向，因此推杆上的B点速度方向也在该直线上。

B点的受力方向。推杆上的B点与理论廓线接触，在忽略摩擦的前提下，其受力方向其实就是理论力学中的光滑接触面中的反力方向。光滑接触面的反力是公法线方向。由于推杆的B点是尖点，无所谓法线，所以公法线方向就是理论廓线在该点的法线方向。而理论廓线是一个圆，圆上任何一点的法线方向都是从从该点指向圆心的。所以BC的方向就是公法线方向。

显然，速度方向与力的方向重合，所以压力角是0度。这是我们最希望的压力角。压力角越小，则凸轮机构的传力性能越好。

③ 凸轮从图示位置转过时的位移S；

对于这种问题，总是用反转法通过作图测量出来的。

使用反转法，我们给整个凸轮机构（包括机架）一个与凸轮转向相反，速度相同的角速度，从而使得凸轮静止，而机架围绕凸轮的转动中心转动，此时，推杆会一方面跟随机架转动，另外，又相对机架做平移。按照理论力学的说法，若取机架为动系，则推杆在做一个牵连运动为定轴转动，而相对运动为平移运动的平面运动。

当推杆发生这样的平面运动时，在作图中，实际上是一个三角形在发生定轴转动，认识这一点非常重要。下面稍微详细的描述此问题。

首先做出偏距圆和基圆。按照前面的方法，基圆已经做出；而偏距圆是以O为圆心，与推杆的导路相切的一个圆，如下图所示。

确定转动三角形的初始位置。推杆的导路与偏距圆的切点为C点，而推杆的导路与基圆在上面的交点为D点。连接OCD得到一个三角形如图。则用反转法设计凸轮时，实际上就是该三角形在定轴转动，抓住这个核心很重要。

在本问题中问到，凸轮从图示位置转过时的位移S是多少首先要确定的是，转过90度后，推杆的导路在哪里转过90度，就是三角形ODC逆时针转了90度，也就是OC逆时针转了90度，或者是OD转了90度。一般而言，用OC转了90度更好说明问题。所以做C’0C，使得其夹角为90度，然后从C’点做一条直线与偏距圆相切，则该直线就是此时推杆所处的导路。该导路与基圆相交的点为D’。则OC’D’就是转动90度后的三角形。

要确定转过90度后的位移，首先我们回忆一下，在任何一个时刻推杆的位移是如何度量的实际上，推杆的位移都是在推杆的导路上度量的。推杆的导路与基圆和理论廓线分别由两个交点，这两个交点之间的距离就是推杆相对于近休点的位移。所以在图中，初始位置处BD的距离是题目状态下推杆相对于近休点的位移；而B’D’是转动90度后推杆相对于近休点的位移；测量这两个位移，然后取它们的差，就是转动90度后推杆所发生的相对位移，经测量，此位移是21.7-13.8=7.9mm。

④ 图示位置时从动件2的速度v。

求推杆的速度，实际上是理论力学中的运动分析问题。，由于推杆和凸轮之间是高副，所以需要使用合成运动的分析方法，取动点，动系，并使用速度合成定理来解决。

上述方法固然不错，不过还有另外一种更快捷的方法，也就是机械原理里面力推的瞬心法。只要我们能够找到凸轮和推杆的相对速度瞬心，由于凸轮是定轴转动，则我们会很容易得到此瞬心的速度，这样就马上得到了推杆上该瞬心的速度。由于推杆在平移，上面任何一点速度相同，所以我们立刻就得到了推杆的速度。这样，寻找相对速度瞬心就成为关键。

首先去掉滚子，画出理论廓线。下面要求推杆2和凸轮1的相对瞬心。

由于推杆2和凸轮1是平面高副连接，所以其相对瞬心应该在接触点的公法线上，也就是在过B点的竖直线BC上，但是在这根线的什么地方呢

要确定具体的地方，需要使用三心定理。三心定理说，三个做相对平面运动的物体有三个相对速度瞬心，这三个瞬心一定在一条直线上。

要使用三心定理，需要确定三个做相对运动的构件，这三个构件中要包含我们需要分析的两个构件。这里，除了凸轮1和推杆2，只有机架3了，因此我们取这三个构件来应用三心定理。

凸轮1和推杆2的瞬心是要求的；而凸轮1和机架3的瞬心在O点；推杆2和机架的瞬心在垂直于导路的无穷远处。那么按照三心定理，凸轮1和推杆2的瞬心必然在过O点而与导路垂直的无穷远处，也就是在OC这条直线上。

这样，瞬心既在BC上，又在OC上，而这两根线相交于C点，所以C点就是相对速度瞬心。

既然如此，我们求出凸轮上C点的速度，它也同时就是推杆上C点的速度，而推杆因为在平移，所以它也就是推杆的速度。