北航工科数学分析杨小远-第4节函数极限的定义与基本理论-2学时教学教材

性质3. (保序性)
设 lifm (x ) A ,lig m (x ) B ,则
x x 0
x x 0
(1)若 AB,存 在 0 ,当 x U o (x 0 ； )时 ,
f(x)g(x).
( 2 ) 若 存 在 0 , 当 x U o ( x 0 ； ) 时 , f ( x ) g ( x ) , 则
li f ( x m ) A li f ( x m ) li f ( x m ) A .
x x 0
x x 0
x x 0
例1 验证limx 不存.在 x0 x
y
证
x lim
limx
x x x0
x0
1
lim (1)1 x 0
x lim
limxlim11
x0 x
x x0
x0
o
x
1
左右极限存在但不相等, limf(x)不存. 在 x0
证明： 取 1 ,存 在 0 ,0 |x x 0 | ：
|f(x ) A | 1.
| f ( x ) | | f ( x ) A A | | f ( x ) A | | A |
1|A |M .
所 以 f ( x ) 在 x 0 的 邻 域 U o ( x 0 ;) 内 有 界 .
AB.
证明： 取 A B,由
2
lif m (x ) A ,lig m (x ) B ,知
x x 0
x x 0
AB
1 0 ,0|xx 0|
1:|f(x ) A |
; 2
2 0 ,0|x AB ; 2
m in {1 ,2 } ,0|xx 0 | :
f(x) AB,g(x) AB,
-1-5
2 1
y
0 -1 --1200
y sin x
0
5
x
y arctan x
-50
0
x
50
100
1 0.9 0.8
y
0.7 0.6 0.5 0.4-2
1 0.8
y 0.6
0.4 0.2 -1000
sin x
g(x) x
-1
0
1
2
x
y arctan x x
-50
0
50
100
x
注1 极限为局部性x0质 附， 近仅 取和 值 . 有
二、函数极限的基本性质
性质1.（唯一性）
若limf(x)存在，则极限必. 唯一 xx0
证明： 若 lim f(x ) A ,lim f(x ) B ,任 意 0 ,
x x 0
x x 0
1 0 ,|x x 0 | 1 ： |f ( x ) A | ;
2 0 ,|x x 0 | 2 ： |f ( x ) B | ;
2
2
limx2 0, li(1 m co x) s0 ,
x0 2
x 0
lim coxs1, 又 lim 11, limsinx1.
x 0
x 0
x0 x
三、极限的四则运算性质 定理1（函数极限四则运算性质）
设 lif( m x ) A ,lig ( x m ) B ,则 ( 1 )li f ( x m ) g ( x ) A ] [ B ;
( 2 )li f ( x m ) g ( x ) A ] [ B ; (3) lim f(x)A, 其B 中 0.
g(x) B
例 3 计 算xli m 1x11x331
解 ： x li m 1x1 1x33 1x li m 1x2x 3 x1 2
x1x2
lim
1
x 1 x1 x2x1
m 1 ,2 i } |n x ,x 0 | { ,则
|A B | |f ( x ) A | |f ( x ) B | 2 ， A B .即
性质2.（局部有界性）
f(x )的 定 义 在 U o(x 0 ;‘ )， 且 x li m x 0f(x )存 在 ,则 存 在 邻 域 U o(x 0 ;) U o(x 0 ;‘ ), 使 得 f(x )在 U o(x 0 ;)内 有 界 .
定义3.（函数的左右极限）
左极限 右极限
0,存 在 0,x0xx0, 恒 有f(x)A.
记 x l x 0 if 作 ( m x ) A 或 f ( x 0 0 ) A
0,存 在 0,x0xx0, 恒 有f(x)A.
定理1
记 x l x 0 if 作 ( m x ) A 或 f ( x 0 0 ) A
x x 0
x x 0
那l么 im f(x)存,且 在等 A. 于 x x0
例2 求
limsinx. x0 x
解：如图易得 sixn x ta x ,n
C B
即coxssinx1,
上式对 xx 于 0也成 .当立 0 x时,
2
2
oxD A
0 1coxs 2sin2 x
2( x )2
x2 ,
2
f(x)在 点 x0可 以 无 定 义 .
注2 当 x U o(x0;)函 , y数 f(x)图形完全
直y线 A 为中,宽 心2为 线 的带形 .
或 者 用 符 号 语 言 表 述 为
0 , ',0xx0:|f(x)A |.
函 数 f(x )在 x 0 不 以 A 为 极 限 定 义
0 0 , 0 , x ',0 |x ' x 0|:|f(x ) A |0 .
2
2
所 以 f(x) g(x).
性质4.(保号性) 若 lifm (x ) A ,且 A 0 ( 或 A 0 ), x x 0
则 存 在 0 , 当 x U o ( x 0 ; ) 时 , f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ) .
证明： 取 A 2, 0 ,0 |xx 0| ,则
§2.4 函数的极限的定义与基本理论
一、极限的定义
观察函数
y sin x ,当 x 0时 的 变 化 . x
y
sin
，
当x
0时 的 变
化
x
y arctan x ,当 x 时 的 变 化
y arctan x ,当 x 0时 的 变 化 x
问题: 如何用描述?
1 0.5
y
0 -0.5
| f(x)A|A, 得 2
0Af(x)3A.
2
2
所f以 (x)在该邻A域 有内 相与 同.的符号
性质5(夹逼定理)
如 果 当 x U o ( x 0 ;) 时 , 下 列 函 数 满 足
( 1 )g ( x ) f ( x ) h ( x ),
( 2 )lig ( m x ) A , lih ( m x ) A ,