计算方法之计算矩阵的特征值和特征量

an1
an2 ann
—— 特征多项式方程。
2
在线性代数中按如下三步计算：
1、计算出A的特征多项式│A- E│； 2、求出特征方程│A-E│=0的全部根i 3、将i代入(A-iE)X=0 求出基础解系，即得A 的对应于i的特征向量，而基础解系的线性组合即 为A的对应于i 的全部特征向量。
例
求矩阵
7 44.99953 14.99983 -29.99968 1 0.33333 -0.66667 44.99953
由表可知，最大特征值为： 1=44.99953
对应特征向量为：( 1 , 0.33333 , -0.66667 )T
26
（二）按模最大特征值1是单实根，但1<0
此时迭代向量序列{V(2k)}和{V(2k+1)}将分别收敛 于互为反号的向量。
1
定义 设A为 n 阶方阵，若存在常数 与 n 维 非零向量X 使 AX=X成立，则称 为方阵A的特 征值，非零向量 X 为A的对应于 的特征向量。
由AX=X (A- E)X=0 此方程有非零解的充要条件是: |A- E|=0 , 即：
a11 a12
a21 a22
a1n a2n 0
k
V(k)
U(k)
max(V(k))
0
1
1
1
1
1
1
1 274
95
-184
1 0.34672 -0.67153
2 44.42377 14.84322 -29.64262 1 0.33413 -0.66727 44.42377
3 44.92333 14.97623 -29.95048 1 0.33337 -0.66670 44.92333
i
n 2
i
i 1
i
n 2
i
i 1
k 1 ( X i ) j ] k ( X i ) j ]
12
由已知条件： i 1
1
故有：
i 1
k 1
0,
i 1
k
0
所以：
lim
k
v ( k 1) j
v
(k j
)
1
定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：
（1）取一非零初始向量V(0) ，如V(0)=(1,1,...,1)T
n i3
当k充分大时，Vi(k ) 的符号会交替变号。
此种情形下，按模最大特征值为
1
lim( V (k)
k
)
而对应于1的特征向量仍为U(k) 。
27
（三）按模最大特征值是互为反号的实根，即
|1| = |2|>|3| … |n|，设其中1>0, 1=-2
此时迭代向量序列{V(2k)}和{V(2k+1)}将分别收敛 于两个互不相同的向量。
V(k+1)=AV(k)（k=0,1,2,…） 有：
1
lim
k
v ( k 1) j
v
(k j
)
其中
v ( k 1) j
表示
V (k1)
中的第j个分量。
9
证明：
因为A具有 n 个线性无关的特征向量
Xi （i=1,2,...,n）
而任一 n 维的非零向量，如V(0)：
V (0) v1(0) v2(0)
A
3 1
31
的特征值与特征向量
3
解：计算特征多项式方程，即
3 A E
1 (3 )2 1 0
1 3
解得A的两个特征值：1=4， 2=2。 （1）1=4 将1=4代入 (A-E)X=0得(A-4E)X=0
34 1
1 34
x1 x2
0
1 1
11
x1 x2
0
x1 x1
x2 x2
0 0
v(0) T n
总可以用 Xi 的线性组合来表示：
V(0)=1X1+ 2X2+...+ nXn（其中10）
取 V(1)=AV(0)
V(2)=AV(1)=A2V(0)
……
10
V(k+1)=AV(k) =Ak+1V(0)
以构成向量迭代序列。
由矩阵特征值的定义有：
则有
AXi=iXi （i=1,2,...,n）
X1
X1
也是对应1的特征向量。
即可用 U(k) 作为所求对应于 1 的特征向量。
由
V (k1)
Ak1V (0)
1k1[1 X1
n i2
i 1
k 1
Xi]
AkV (0)
1k [1 X1
n i2
i 1
k
Xi
]
那么：
24
V (k1)
k 1 1
1 X1
n i2
i 1
k 1
Xi
1k
1 X1
4 44.99572 14.99865 -29.99722 1 0.33334 -0.66667 44.99572
5 44.99959 14.99988 -29.99974 1 0.33333 -0.66667 44.99959
6 44.99953 14.99983 -29.99968 1 0.33333 -0.66667 44.99953
当规范化运算到k充分大时停止，再作一次非规 范化运算：V (k1) AV (k)
则按模最大特征值：1
V (k1) i
U k1 i
,
2 1
而特征向量仍为：
X
1
X2
V V
( k 1) ( k 1)
1V 1V
(k) (k)
28
验证：当k充分大时
U (k1)
1k1[1 X1
(1)k12 X 2
v ( k 1) j
1k1[1( X1 ) j
n
i
i2
i 1
k 1
(Xi ) j ]
V(k)的第j个分量：
v
(k j
)
1k [1( X1 ) j
n i
i2
i 1
k
(Xi
)j]
那么
lim k
v ( k 1) j v(k) j
1k1[1( X1 ) j
lim k 1k [1( X1 ) j
（2）作迭代计算：V(k+1)=AV(k)
（3）当k充分大时取：
1
v ( k 1) j
v
(k j
)
13
或者用各个分量比的平均值作为最大特征值：
v n (k1) j
1
j 1
v(k) j
n
（4）求1所对应的特征向量：
由：
lim
k
v ( k 1) j
v
(k j
)
1
可得：V (k1) 1V (k )
n i2
i 1
k
Xi
1(当k )
即：当k充分大时可用V(k+1)中的最大分量作为所
求最大特征值1
例 用规范化幂法计算 右面矩阵的按模最大特征 值及对应的特征向量
133 6 135 A 44 5 46
88 6 90
25
解：取初始向量V(0)=U(0)=(1,1,1)T，结果如下：
20
（3）取U(2) ：
U (2) V (2) A2V (0)
V (2)
A2V (0)
即用V(2)中绝对值最大的分量去除V(2)中的所有
分量。其次计算V(3) ：
V (3) AU (2) A3V (0) A2V (0)
………………………………
（k+1）取U(k) ：
U (k) V (k) V (k)
（1）取U(0)=V(0)=1X1+ 2X2+...+ nXn（非零向
量），计算V(1) ： V(1)=AU(0)=AV(0)
（2）取U(1)：
U (1) V (1) V (1)
AV (0) AV (0)
即用V(1)中绝对值最大的分量去除V(1)中的所有 分量。 其次计算V(2) ：
V (2) AU (1) A2V (0) AV (0)
方法局限性：当矩阵阶数较高（如阶数n>4）时， 将面临两方面的难题：
（1）多项式的计算对舍入误差非常敏感； （2）求高次方程的根尤其是重根存在困难。
特征值的数值计算方法
1、幂法：求按模最大特征值，即
max
1 i n
i
2、反幂法：求按模最小特征值，即
min
1 i n
i
3、Jacobi法：求实对称矩阵所有特征值和特征向量。
V (12) 2
V (11) 2
377 233
1.61803
或 者1
1.61805 2
1.61803
特征向量：V(11)
16
（二）按模最大特征值是互为反号的实根
设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量 Xi ，
其对应的特征值为i （i=1,2,...,n)，且满足： |1| = |2|>|3| … |n|，设其中1>0, 1=- 2
AkV (0) AkV (0)
21
即用V(k)中绝对值最大的分量去除V(k)中的所有 分量。其次计算V(k+1) ：
V (k1) AU (k ) Ak 1V (0) AkV (0)
计算过程总结如下:
取初值V (0)
U (k ) V (k ) V (k )
V (k1) AU (k )
22
◆规范化幂法运算中的几种情况
n
i2 i
i 1
k
Xi]
1k1 X1
（1）当|1|>1时，V(k)与V(k+1)的各个不等于0的
分量将随k的增大而过快地增大，而可能“溢出”；
（2）当|1|<1时， V(k)与V(k+1)的各个分量将随k
的增大而过快地减小而趋于0；
上述两种情况都会导致计算结果不准确。
19
解决措施：在计算V(k+1)之前，先将V(k)规范化， 具体操作如下：
（一）按模最大特征值1是单实根，且1>0
此时迭代向量序列{ V(k) }将正常收敛。
由
U (k)
AkV (0)
1k [1 X1
n i2
i 1
k
Xi]
AkV (0)
1k [1 X1
n i2
i 1
k
Xi]
U (k) X1 (当k ) X1
23
由向量知识：X1是对应1的特征向量，那么
(k
1)
1V (k ) 1V (k )
21k
1 1
X1
(1)k1 21k12 X 2
取
X
1
X2
V (k1) 1V (k ) V (k1) 1V (k )
18
★规范化幂法运算
由
V
( k 1)
1k1[1 X1
n
i2 i
i 1
k 1
Xi ]
1k11 X1
V
(k)
1k [1 X1
由迭代变换：
V (k) Ak V (0)
1 Ak X1 2 Ak X2 n Ak Xn
1 1k X1 2 k2 X 2 n kn X n
1k [1 X1
(1)k 2 X 2
n i3
i
i 1
k
Xi
]
17
则有：V (k) 1k [1 X1 (1)k 2 X 2 ] （k充分大时）
而：V (k1) AV (k) 故： AV (k ) 1V (k )
则V(k)即为所求对应1的特征向量。
14
例 用幂法求下面 A 值及对应的特征向量。
0 1
11 的按模最大特征
（1）即初始非零向量V(0) V (0) 11 （2）作迭代计算V(k+1)= AV(k)：
V (1)
AV
(0)
0 1
同理：V (k2) 1k2[1 X1 (1)k22 X 2 ] 12V (k )
迭代计算中V(k)呈规律性摆动，当k充分大时有
1
V V (k 2) (k )
i
i
再由：V
V
( (
k k
)
1)
1k [1 X1 1k1[1
X
(
1
1)k 2 X 2 ] (1)k12
X
2
]
可得：
V (k1)
V
7
下面介绍两种简单情况：
（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根 （二）按模最大特征值是互为反号的实根
8
（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根
定理 设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量
Xi ，其对应的特征值为i （i=1,2,...,n)，且满足： |1|＞|2| … |n|
则对任何非零初始向量V(0)（至少第1个分量不 为0）所构成的迭代序列
6
幂法是一种迭代法。 基本思想：把矩阵的特征值和特征向量作为一 个无限序列的极限来求得。 如对于n阶方阵A，任取一个初始向量X(0) ，作 迭代计算 X(k+1) =AX(k) 则可得迭代序列X(0) , X(1) , … , X(k) ,…， 序列的收敛情况与A的按模最大特征值有密切关 系，分析序列的极限，即可得到A的按模最大特征 值及特征向量的近似值。
1111 12
V (2)
AV (1)
0 1
11 12 32
15
V (3)
AV (2)
0 1
11 32 53
V (11) AV (10) 124343
V
(12)
AV
(11)
0 1
最大特征值的计算：
11 124343 327373
1
V (12) 1
V (11) 1
233 144
1.61805或者1
V (k1) Ak1 V (0)
1 Ak1 X1 2 Ak1 X2 n Ak1 Xn
1
k 1 1
X1
2
k 1 2
X
2
n
k 1 nXnFra bibliotek1k1[1 X1
n i
i2
i 1
k 1
Xi
]
11
同理可得：V
(k)
1k [1 X1
n i
i2
i 1
k
Xi]
V(k+1)的第j个分量：
x1
x2
4
取对应于1=4的基础解向量
P1
11
则对应于1=4的全部特征向量为：kP1(k 0)
（2）2=2 将1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0
32 1
312
x1 x2
0
1 1
11
x1 x2
0
xx11xx2200 x1 x2
取对应于2=2的基础解向量
P2
11
5
则对应于2=2的全部特征向量为：kP2 (k 0)