一道高考数学试题的高数背景

一道高考数学试题的高数背景

廖运章 朱亚丽

(广州大学 数学与信息科学学院 510006)

2009年湖南高考数学理科第21题是这样的： 对于数列

{}

n u ，若存在常数M ＞0,对任意的*

∈N

n ，恒有

1121...n n n n u u u u u u M +--+-++-≤，则称数列{}n u 为B-数列.

（I ）首项为1，公比为(1)q q <的等比数列是否为B-数列？请说明理由; （II ）设n S 是数列{}n x 的前n 项和，给出下列两组论断： A 组：①数列{}n x 是B-数列，②数列{}n x 不是B-数列； B 组：③数列{}n S 是B-数列；④数列{}n S 不是B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（III ）若数列{}{},n n a b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列. [注]令（I ）的2

1-

=q 、（III ）中的n n a b =，其他不变，即为2009年湖南高考数学文科第21题，以下只讨论理科题，并简称为本试题.

不难发现，这道文理压轴题以开放题的形式，用数列、不等式知识作载体，考查归纳猜想、逻辑推理等重要数学思想方法，具有深刻的高等数学背景，来源于数学分析中的有界变差数列，与实变函数中的有界变差函数一脉相承. 1．命题渊源 1．1命题背景

事实上，本试题直接来源于吉米多维奇的《数学分析习题集》的第86题，原题及解答如下：

[NO.86]若存在数C,使得21321,(2,3,)n n x x x x x x C n --+-++-<=，则称叙

列(1,2,3,

)n x n =有有界变差.证明凡有有界变差的叙列是收敛的.举出一个收敛叙列而无

有界变差的例子.

[证] 令21324311,(2,3,)n n n n n y x x x x x x x x x x n -+=-+-+-+

-+-=，则叙列{}n y 是

单调增加且有界，所以它是收敛的.根据哥西收敛准则，对于任给0ε>，存在数N ，使当

m n N >>时，m n y y ε-<，即1121m m m m n n x x x x x x ε---+-+-+

+-<，而对于叙

列{}n x 有，1121m n m m m m n n x x x x x x x x ---+-=-+-++-1121||||||m m m m n n x x x x x x ε---+≤-+-+

+-<，

所以，叙列{}n x 是收敛的. 叙列：1

111111,1,,,,,,,(1)2233n n

----，它是以0为极限的收敛叙列.但它不是有

界变差的.事实上，

213243221214322111

121,23n n n n x x x x x x x x x x x x x x n --⎛⎫-+-+-+

->-+-+

-=+++

⎪⎝⎭

而序列

111

123n n

ω=+++

是发散的，又是递增的，故n ω→+∞.于是2132221n n x x x x x x --+-+-不是有界的.因而收敛叙列{}

n x ：

1111111,1,,,,,

,,(1)2233

n n

----无有界变差[1].

另例：若令()

()

1

1111

11

11123

n

n k n k x n k

--==-++

+-=-∑，则因 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+++++-+-=--+p n n n n x x p n n p n 1)1(312111)1(1 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=3121

11n n n

114131

+<

-⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+-n n n . 故由柯西判别法知lim n x x →∞

存在，然而11

1

123

n S n

=+

+++

→+∞，即{}n x 并非有界变差叙列[2].

随后，我国许多数学分析教科书、参考书先后将之稍作修改变形收入其中，如武汉大学数学系主编的《数学分析》（人民教育出版社，1978年）P 237的NO.3，裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》（高教出版社，2006年），刘玉琏的《数学分析辅导讲义》（高教出版社， 2001年）P57第20题，孙涛的《数学分析经典习题解析》（高教出版社，2003年） ，刘名生、冯伟贞、韩彦昌的《数学分析》（一）（科学出版社，2009年）P34的NO.13等等，有的还冠以“有界变差数列收敛定理”的名称.比较典型的问题形式有华东师范大学数学系的《数学分析》 [3]，其P40 的第6题为：

若数列{}n a 满足：存在正数M ，对一切n 有21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤.

证明：数列{}n a 与{}n A 都收敛. 1．2命题技术

从高考数学命题技术看，一是通过语言转换，将高中生不熟悉的高等数学术语“有界变差数列”用其英文简写“B -数列”（ bounded variation sequence ）这一新定义替代，高数语言初等化，保持原题条件不变，改变其结论（原题第2问的否定即是本试题的（I ）），以考查有界变差数列性质的目的，避开考生不能为之的收敛数列证明，试题的信息形态有一定新意；二是在解题思想方法上，本试题的解法与原题一样，都要求正确把握新定义“B -数列”的内涵并灵活运用绝对值不等式的插值法（添减项），更是高等数学中的常用估值技巧，涉及压缩映射原理的2006年广东高考数学理20题(Ⅲ)的证明就曾用到该估值技巧.

近年来，依托高等数学背景，通过高等数学语言初等化等形式，将高等数学问题的提法转化为中学生可接受的语言来编拟高考数学试题是一种常见的命题方法，而中学数学和大学数学的衔接点则往往成为命题的焦点. 如单调有界定理是数学分析中判定数列收敛的一个奠基性定理，与中学的数列、不等式等知识联系紧密，以此背景编拟本试题就不出意料. 2．解法探究 2．1（I ）的解法

本试题（I ）比较简单，只要现场认真阅读有关条件并仿照新定义进行验证即可.设满

足题设的等比数列为{}n a ,则1

n n a q -=；于是 2

1211,2n n n n n a a q q q

q n -----=-=-≥，

因此｜1n a +- n a ｜+｜n a -1n a -｜+…+｜2a -1a ｜=21

1(1...).n q q q q

--++++ 1,q <

∴ 21111 (11)

n q

q q q q

q --++++=<

--即

11211...1n n n n q a a a a a a q

+--+-++-<-，故首项为1，公比为q (1)q <的等比数列是B-数列. 2．2（II ）的解法

（II ）是一个开放性问题，给考生思考的空间大，A 、B 两组可以组成八个命题：⑴①⇒③，⑵③⇒①，⑶②⇒③，⑷③⇒②，⑸①⇒④，⑹④⇒①，⑺②⇒④，⑻④⇒②.由原命题与逆否命题的等价性可知：⑴与⑻、⑵和⑺、⑶与⑹、⑷与⑸是互为逆否命题，所以本试题的八个命题可以归结为⑴、⑵、⑶、⑷这四个命题，但命题（2）真则命题（4）假，反之亦可，故问题（II ）实质上是要判断下列命题的真假：

命题1：若数列{}n x 是B-数列，则数列{}n S 是B-数列. 命题2：若数列{}n S 是B-数列，则数列{}n x 是B-数列.