微分法在几何上的应用
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法平面的方程
……………………切线方程
′ ( x − x 0 ) + y′ x ( x0 ) ( y − y0 ) + z x ( x0 ) ( z − z 0 ) =0
…………………法平面方程
3）设空间曲线 Γ 的方程为：
F ( x, y , z ) = 0 G ( x, y , z ) = 0
曲线在 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 点的切向量为： 根据隐函数关于上式的求偏导数的方法，接合一定的 《向量与空间解析几何》知识，可求得:
推理 1: 在曲面∑上通过点 M 且在点 M 处具有切线的任何曲线， 它们在 M 处的切线在同一个平面上。 法向量：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
证明：
∵ F ( x, y , z ) = 0 点 M 在曲面上，则：
……………………………两向量点乘的坐标式 简化为：
T •n = 0
即得到曲面的法向量 ：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
可以得到切平面的方程：
Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
而通过一点，法向量为 T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 )) 的法平面 方程为：
φ ′(t 0 ) ( x − x 0 ) + ϕ ′(t0 ) ( y − y0 ) + w′(t0 ) ( z − z0 ) =0
…………………法平面方程
2）设空间曲线 Γ 的方程为：
T = (1, φ ′( x0 ), ϕ ′( x0 )) 为曲线在 M 处的一个切向
量。 把上述切向量同时乘以
∂F ∂F , ∂ ( F , G ) ∂y ∂z M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) j= = ∂ ( y, z ) ∂G ∂G ∂y , ∂z
微分法在几何上的应用
1、 空间曲线的切线与法平面
M′
M
1）设空间曲线 Γ 的参数方程为：
x = φ (t ) y = ϕ (t ) z = w(t )
且三个函数都可导，曲线 M
Γ
上 当 t= t 0 时 对 应 的 一 点 所 对 应 的 点
( x0 , y 0 , z 0 )
以 及
t=
t 0 + ∆t
法线方程为：
x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx ( M 0 ) FY ( M 0 ) FZ ( M 0 )
2）
曲面方程由显函数表示
z = f ( x, y )
可以设一个隐函数
F ( x, y , z ) = f ( x, y ) − z
3、 方向余弦
F ( x, y , z ) = 0
n
所确定：
z = f ( x, y )
在曲面 ∑由方程 F ( x, y, z ) = 0 给出， M ( x0 , y 0 , z 0 ) 是 曲面上的一点， 并设函数 F ( x, y , z ) 的偏导数在该点连续
且不同时为零，在曲面上，过 M 点引一条曲线，假定曲线 Γ 的参数方程：
M ′ ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z )
则割线 M M ′ 的方程为：
x − x0 y − y 0 z − z 0 = = ∆x ∆y ∆z
……………………割线方程
割线的极限位置就是曲线在 当点 M ′ 沿着曲线趋近与 M 时， M 点的切线 用△t 除上各分母：
当 M ′ →M 时，即：△t→0 时， 上式变为：
y = φ ( x) z = ϕ ( x)
且两个函数在定义域上可导，取 x 为参数，可变换为参数方 程：
x=x
y = φ ( x) z = ϕ ( x)
则曲线在 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 点的切线方程为：
x − x0 y − y0 z − z0 = = y′ z′ 1 x ( x0 ) x ( x0 )
得到：
Fy , FZ Fz , Fx Fx , Fy , T = ( , ) M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) G y , G z G z , G x G x , G y
2、 曲面的切平面与法线方程 1） 隐函数确定的曲面方程：
F (φ (t ), ϕ (t ), w(t )) = 0
对方程两边同时对 t 求导：
dF (φ (t ), ϕ (t ), w(t )) =0 t = t0 dt
根据全导数公式，得到：
Fx′( x0 , y0 , z0 )φ ′(t0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )ϕ ′(t0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 ) w′(t0 ) = 0
x = φ (t ) y = ϕ (t ) z = w(t )
在 t = t 0 时，对应的点 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 的切向量为：
T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 ))
切线方程为：
x − x0 y − y 0 z − z 0 = = φ ′(t 0 ) ϕ ′(t 0 ) w′(t 0 )
x − x0 y − y 0 z − z 0 = = ∆x ∆y ∆z ∆t ∆t ∆t
x − x0 y − y 0 z − z 0 = = φ ′(t 0 ) ϕ ′(t 0 ) w′(t 0 )
既得：曲线的切向量
……………………切线方程
T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 ))
……………………切线方程
′ ( x − x 0 ) + y′ x ( x0 ) ( y − y0 ) + z x ( x0 ) ( z − z 0 ) =0
…………………法平面方程
3）设空间曲线 Γ 的方程为：
F ( x, y , z ) = 0 G ( x, y , z ) = 0
曲线在 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 点的切向量为： 根据隐函数关于上式的求偏导数的方法，接合一定的 《向量与空间解析几何》知识，可求得:
推理 1: 在曲面∑上通过点 M 且在点 M 处具有切线的任何曲线， 它们在 M 处的切线在同一个平面上。 法向量：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
证明：
∵ F ( x, y , z ) = 0 点 M 在曲面上，则：
……………………………两向量点乘的坐标式 简化为：
T •n = 0
即得到曲面的法向量 ：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
可以得到切平面的方程：
Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
而通过一点，法向量为 T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 )) 的法平面 方程为：
φ ′(t 0 ) ( x − x 0 ) + ϕ ′(t0 ) ( y − y0 ) + w′(t0 ) ( z − z0 ) =0
…………………法平面方程
2）设空间曲线 Γ 的方程为：
T = (1, φ ′( x0 ), ϕ ′( x0 )) 为曲线在 M 处的一个切向
量。 把上述切向量同时乘以
∂F ∂F , ∂ ( F , G ) ∂y ∂z M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) j= = ∂ ( y, z ) ∂G ∂G ∂y , ∂z
微分法在几何上的应用
1、 空间曲线的切线与法平面
M′
M
1）设空间曲线 Γ 的参数方程为：
x = φ (t ) y = ϕ (t ) z = w(t )
且三个函数都可导，曲线 M
Γ
上 当 t= t 0 时 对 应 的 一 点 所 对 应 的 点
( x0 , y 0 , z 0 )
以 及
t=
t 0 + ∆t
法线方程为：
x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx ( M 0 ) FY ( M 0 ) FZ ( M 0 )
2）
曲面方程由显函数表示
z = f ( x, y )
可以设一个隐函数
F ( x, y , z ) = f ( x, y ) − z
3、 方向余弦
F ( x, y , z ) = 0
n
所确定：
z = f ( x, y )
在曲面 ∑由方程 F ( x, y, z ) = 0 给出， M ( x0 , y 0 , z 0 ) 是 曲面上的一点， 并设函数 F ( x, y , z ) 的偏导数在该点连续
且不同时为零，在曲面上，过 M 点引一条曲线，假定曲线 Γ 的参数方程：
M ′ ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z )
则割线 M M ′ 的方程为：
x − x0 y − y 0 z − z 0 = = ∆x ∆y ∆z
……………………割线方程
割线的极限位置就是曲线在 当点 M ′ 沿着曲线趋近与 M 时， M 点的切线 用△t 除上各分母：
当 M ′ →M 时，即：△t→0 时， 上式变为：
y = φ ( x) z = ϕ ( x)
且两个函数在定义域上可导，取 x 为参数，可变换为参数方 程：
x=x
y = φ ( x) z = ϕ ( x)
则曲线在 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 点的切线方程为：
x − x0 y − y0 z − z0 = = y′ z′ 1 x ( x0 ) x ( x0 )
得到：
Fy , FZ Fz , Fx Fx , Fy , T = ( , ) M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) G y , G z G z , G x G x , G y
2、 曲面的切平面与法线方程 1） 隐函数确定的曲面方程：
F (φ (t ), ϕ (t ), w(t )) = 0
对方程两边同时对 t 求导：
dF (φ (t ), ϕ (t ), w(t )) =0 t = t0 dt
根据全导数公式，得到：
Fx′( x0 , y0 , z0 )φ ′(t0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )ϕ ′(t0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 ) w′(t0 ) = 0
x = φ (t ) y = ϕ (t ) z = w(t )
在 t = t 0 时，对应的点 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 的切向量为：
T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 ))
切线方程为：
x − x0 y − y 0 z − z 0 = = φ ′(t 0 ) ϕ ′(t 0 ) w′(t 0 )
x − x0 y − y 0 z − z 0 = = ∆x ∆y ∆z ∆t ∆t ∆t
x − x0 y − y 0 z − z 0 = = φ ′(t 0 ) ϕ ′(t 0 ) w′(t 0 )
既得：曲线的切向量
……………………切线方程
T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 ))