由一道高考题解法引发思考论文

由一道高考题的解法引发的思考摘要：本文对一道高考题的解法进行了探索，通常的做法是构造函数后再利用导数，但本文用了高等数学中的一个定理从另一个角度解决了问题，巧妙地回避了构造函数，并就与导数有关的高等数学的知识在高中如何发挥作用谈了一点体会。

关键词：拉格郞日定理；构造函数；导数

新课程把导数摆在了一个全新的位置，教材没有把导数的概念建立在形式化的极限定义及相关知识的基础之上。这样引入还能让学生更深刻地理解变量数学的本质，对函数这一核心概念的深入理解是很有帮助的。

导数是高中数学教材新增加的内容，从2005年开始，导数成了高考中必考的一个内容。从这六年（2005-2010）的高考题目中涉及导数的题目来看，没有超出利用一阶导数研究函数单调性、求函数极值和最值、不等式问题以及优化问题。这就要求学生掌握并学会利用一阶导数来讨论函数的单调性、极值、最值不等式问题。以下笔者用该定理给出2009年高考辽宁的理科第21题第二问的一种简便做法。

首先通过下面一道题目来看一下如何通过构造函数来应用导数解决问题的

一、比较ｅ∏和∏ｅ的大小

分析：有的学生肯定认为用计算器不就可以解决了，但高考时不允许使用计算器，而且∏和ｅ都是无理数，根本没法取近似值去

比较大小，那能不能根据中间量法和图像法得到解决呢？答案也是否定的。分析一下，要比较ｅ∏和∏ｅ的大小，可比较其对数值的大小，即ｉｎｅ∏和ｉｎ∏ｅ的大小，进而比较∏ｉｎｅ和ｅｉｎ∏的大小，即比较■和■的大小关系，于是想到了构造函数ｆ（ｘ）＝■，这里我们要把■和■看作函数ｆ（ｘ）＝■的两个函数值，然后利用函数的单调性去比较大小，由于函数不是我们熟悉的基本初等函数，所以我们想到利用导数这个有力工具先求函数的导数，在根据导数的符号判断函数的单调性。

先求导＝■解不等式组ｆ＇（ｘ）＜０ｘ＞０得ｘ＞ｅ，故函数ｆ（ｘ）＝■在（ｅ，＋∞）上单调递减，所以ｆ（ｅ）＞ｆ（∏）；即■＞■→∏ｉｎｅ＞ｅｉｎ∏→ｉｎｅ∏＞ｉｎ∏ｅ，所以ｅ∏＞∏ｅ。

从以上解题过程中不难看出，构造函数是解决问题的关键，但对学生而言如果没有积累足够的解题技巧很难想到如此的构造方法。

既然构造函数是一个用导数解决有关问题的难点，那么如果有的题目可以回避构造函数的话，而用其他知识来解决的话那一定会事半功倍的。为了下面解决问题的需要，先给出

拉格朗日定理的内容：

定理【1】（拉格朗日定理）若函数ｆ（ｘ）满足

（１）在（ａ，ｂ）连续；

（２）在（ａ，ｂ）可导；

则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ，使ｆ＇（ξ）＝■。

下面我们看这样一道题

题目（2009辽宁理21）已知函数ｆ（ｘ）＝■ｘ２－ａｘ＋（ａ－１）ｉｎｘ，ａ＞１

（１）讨论函数ｆ（ｘ）的单挑性；

（２）证明；若（ａ＞５），则对任意ｘ１，ｘ２∈（ｅ，＋∞），ｘ１≠ｘ２，

有■＞－１。

证明：（1）略解：当ａ＝２时，ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调增加；当１＜ａ＜２时，ｆ（ｘ）在（ａ－１，１）上单调减少，在（０，ａ－１），在（１，＋∞）上单调增加；当（ａ＞２）时，ｆ（ｘ）在（１，ａ－１）上单调减少，在（０,１），（ａ－１，＋∞）上单调增加。

（2）考虑函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＝■ｘ２－ａｘ＋（ａ－１）ｉｎｘ＋ｘ

ｇ＇（ｘ）＝ｘ－（ａ－）＋■

则≥■－（ａ－１）

＝１－（■－１）２

由于１＜ａ＜５，故ｇ＇（ｘ）＞０，即ｇ＇（ｘ）在（０，＋∞）上单调增加，从而当ｘ１＞ｘ２＞０时有ｇ（ｘ１）－ｇ（ｘ２）＞０，即ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＋ｘ１－ｘ２＞０故■＞－１；当０＜ｘ１＜ｘ２时有■＝■＞－１。

以上第二问的解决又构造了函数，下面用定理【1】给出第（2）问另外一种简便的做法，可以不用构造函数

不失一般性，假设０＜ｘ１＜ｘ２

则ｆ（ｘ）＝■

由于函数ｆ（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）上连续，在（ｘ１，ｘ２）上可导，则由定理【1】可知一定存在ξ∈（ｘ１，ｘ２）使得ｆ＇（ξ）＝■

要证明■＞－１只需证明ｆ＇（ξ）＝■＞－１，ξ∈（０，８）即证明ξ２＋（１－ａ）ξ＋ａ－１＞０，ξ∈（０，８）

令ｇ（ξ）＝ξ２＋（１－ａ）＋ａ－１，ξ∈（０，８）

当１＜ａ＜５时，ｇ（０）＝ａ－１＞０

对称轴直线ξ＝■∈（０，２）

ｇ（ξ）ｍｉｎ＝■＞０

即ξ２＋（１－ａ）ξ＋ａ－１＞０，ξ∈（０，８）

故ｆ＇（ξ）＝■＞－１成立，这样就证明了第二问。

一点体会：由以上的证明过程不难看出使用定理1要比构造函数的思路更加直接，既然我们把许多高等数学的内容放到高中，并且只是作为工具而很少给出严格的理论证明，那么我们也可以通过直观让学生把拉格朗日定理作为一个解决问题的理解并运用而不

必给出严格的理论证明，为某些问题的解决提供更多的思路。

本文从一道高考题出发，用学生可以直观接受的拉格朗日中值定理给出了此题第二问的一种新的方法，回避了构造函数的繁琐技

巧，某种程度上降低了题目的难度，使学生更容易理解和接受。笔者觉得既然将导数等内容放到高中，那么我们可以适度的将一些涉及到的高等数学的内容作为结论介绍给学生，这将会在某些问题上降低难度，给学生以不同的思考角度和方式，拓宽学生的思路。

【参考文献】

[1]复旦大学数学系陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中编数学分析（第二版）上册．高等教育出版社．1983年7月第二版．

[2]人民教育出版社．课程教学研究所中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2a版.北京．人民教育出版社．2007．

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