大学物理第一章课后习题答案

第一章质点运动学
1.1一质点沿y 方向运动，它在任意时刻t 的位置由式1052+=t y 给出，式中t 以
s 计，y 以m 计算下列各段时间内质点的平均速度大小：(1)2s 到3s (2)2s 到2.1s (3)2s 到2.001s (4)2s 到2.0001s 解：
(1)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 32=，则质点的平均速度大小为：
{}s
m s
m t t y y /25)23(]10)2(5[10)3(5221212=−+−+=−−=υ(2)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 1.22=，则质点的平均速度大小为：
{}s
m s
m t t y y /5.20)21.2(]10)2(5[10)1.2(5221211=−+−+=−−=υ(3)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 001.22=，则质点的平均速度大小为：
{}s
m s
m
t t y y /005.20)2001.2(]10)2(5[10)001.2(5221212=−+−+=−−=υ(4)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 0001.22=，则质点的平均速度大小为：
s
m s
m
t t y y /0005.20)20001.2(]10)2(510)0001.2(5[221212=−−−+=−−=υ1.2一质点沿Ox 轴运动,其运动方程为2653t t x +−=;式中t 以s 计，x 以m 计，试求：
(1)质点的初始位置和初始速度；(2)质点在任一时刻的速度和加速度；(3)质点做什么运动；
(4)做出t x −图和t −υ图；(5)质点做匀加速直线运动吗？解：
（1）设质点初始时刻00=t ，则质点的初始位置为：
m
m x 3]06053[20=×+×−=
即质点的初始位置在Ox 轴正方向3m 处。

因为质点的速度为：t
dt dx
125+−==υ所以质点的初始速度为：2
20
/5/)0125(s m s m dt dx
t −=×+−==
=υ质点的初始速度大小为2/5s m ，方向沿Ox 轴负方向。

（2）质点任一时刻的速度为：
t
t t dt
d dt dx 125)653(2+−=+−==υ质点任一时刻速度的大小等于上面表达式数值大小，方向由其数值的正负标定，如果上面表达式小于零则速度方向沿Ox 轴负方向，反之则沿Ox 轴正方向。

质点任一时刻的加速度为：
2
/12)125(s m t dt d dt d a =+−==υ即质点任一时刻的加速度大小为2/12s m ，方向沿Ox 轴正方向。

（3）由（2）的结果表明质点在加速度大小为2/12s m ，方向沿Ox 轴正方向的匀加速直线运动。

速度方向为：前s t 12
5
~0~内沿x 轴负方向运动，此后反回沿x 轴正方向运动。

（4）
t(s)
图
t x −
)
(s t 图
t −υ（5）是。

1.3一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为t A a ωωcos 2−=，在0=t 时，
,,0A x x ==υ其中ω,A 均为正常数，求此质点的运动方程。

解：
由质点的加速度公式dt
d a υ
=得adt d =υ，两边积分：
∫
∫
′
′−=
′t t t d t A d 0
cos 2
ωωυυ
υ
因为0=t 时，0=x υ即00=t ，0
=o υ所以任一时刻质点的速度为:
t A ωωυsin −=由dt
dx =
υ即dt dx υ=，两边积分：
∫
∫
−=
x x
t t o
tdt
A dx 0
ω其中0x 为0=t 时刻的位移，则A x =0所以质点的运动方程为t A x ωcos =1.4
一同步卫星在地球赤道平面内运动，用地心参考系，以地心为坐标原点，
以赤道平面为xoy 平面。

已知同步卫星的运动函数可写成.sin ,cos t R y t R x ωω==(1)求卫星的运动轨道以及任一时刻它的位矢，速度和加速度；
(2)以1541027.7,1023.4−−×=×=s km R ω，计算卫星的速率和加速度的大小。

解：
根据已知条件，同步卫星的运动函数为：
t
R y t R x ωωsin ,cos ==(1)卫星的运动轨道以及任一时刻它的位矢为：
j
t R i t R j y i x r ����ωωsin cos +=+=速度为：j
t R i t R j dt dy i dt dx j i y x �������
ωωωωυυυcos sin −+−=+=+=加速度为：j
t R i t R j dt d i dt d j a i a a y x y x �
�����ωωωωυυsin cos 22−+−=+=+=（2）
卫星的速率
22y
x υυυ+=2
2)cos ()sin (t R t R ωωω+−=ω
R =1
571027.71023.4−−×××=s m s m /101.33×≈加速度的大小
22y
x a a a +=2222)sin ()cos (t R t R ωωωω−+−=R
2ω=m s 72151023.4)1027.7(×××=−−2
/224.0s m =1.5列车沿一水平直线运动，刹车后列车的加速度为kx a −=，k 为正常数，刹车时的初速度为0υ,求刹车后列车最多能行进多远？
解：设列车最多行进的距离为s ，初始时刻0=t ，初始位置0=s ，列车停止的速度为0
=υ由列车的加速度为:
kx dx
d dt dx dx d dt d a −====
υυυυ得kxdx d −=υυ两边积分
∫
∫−=0
υυυs
kxdx
d 可得得列车刹车后列车运行的距离为:
01υk
s =
1.6一质点沿半径为R 的圆周按规律22
1
bt t s o −=υ而运动,o υ，b 都是常数.求:
(1)t 时刻质点的总加速度；
(2)t 为何值时总加速度在数值上等于b ?
(3)当加速度达到b 时,质点以圆周运行了多少圈?解：
（1）总加速度可写为切向加速度与法向加速度矢量和，即
n
t a a a +=其中，切向加速度大小：b
dt s
d a t −==22法向加速度大小2
2
dt a n υ=线速度大小bt dt
ds
−==
0υυ所以有：n
t t R
bt t b a 2
0)(−+−=υ（2）总加速度大小为2
2n t a a a +=，当其值为b 时，即
2
202
]
)([)(R
bt b b −+−=υ时间t 为b
t 0
υ=（3）加速度达到b 时，所用时间为b
t 0
υ=此时质点运动的轨迹总圆周长是
b
b b b s 2212
22000υυυυ=
⋅−×=总
质点以圆周运行的圈数为：bR
r s n πυπ422
=
=总1.7在水平桌面上放置B A ,两物体用一根不可伸长的绳索按图所示的装置把它们连接起来,C 点与桌面固定.已知物体A 的加速度
2/5.0s m a =,求物体B 的加速度.
解：设绳索上的拉力为T ，移动长度为x ∆，
那么物体A 的运动距离是x
s A ∆=31
物体B 的运动距离是x
s B ∆=4
1
因为2
21
at s =所以B A ,加速度大小比等于其位移大小比，即
B
A
B A s s a a =所以
2/375.05.0433
141s m a x x a s s a A A A B B =⋅=∆∆==1.8有一自由落体,它在最后1s 内所通过的路程等于全程一半,问该物体是从多高的地方落下的?物体下落其用多少时间?设物体下落共一用时间为t 。

解：
如图所示，设自由落体运动的总高度为h ，落地总时间为t ，根据题意有：
2
21gt h =2)1(21
2−=t g h 下落所用时间为（1>t ）：s
s s s t 414.3)22(1
2)
12(21
22
≈+=−+=−=
则该物体初时时刻所在高度为：m gt h 12.57)414.3(8.92
1
2122≈××==.
h
s
2
11
1.9电梯以s m /1的匀速率下降，小孩在电梯跳离地板m 50.0高，问当小孩再次落到地板上时电梯下落了多长距离？
解：因电梯均速直线运动，所以它是惯性参照系中经过的时间间隔是相等，即小孩从起跳到落地所用时间t 为：
212
1gt h =
s g h t t 6388.08
.95.02222
21≈×===电梯下落：m
s s m t H 6388.06388.0/1=×==υ1.10通过岸崖上的绞车拉动纤绳湖中的小船拉向岸边，如图所示，如果绞车以恒定的速率u 拉动纤绳,绞车定滑轮离水面的高度为h ，求小船向岸边移动的速度和加速度。

解：
设滑轮到小船的绳长为ℓ，小船移动的位移大小为x ，那么直角三角中：
2
2
2h
x
+=ℓ两边进行对时间导数：
dt dx x dt d h x dt d
dt d 22)()(222=+=ℓℓℓ已知条件
u dt
d =ℓ
υ=dt
dx
是我们该求的小船速度大小υ
x u =ℓ
u x
h x u x 2
2+=
=ℓυυx u =ℓ等式两边再次对时间求导数
dt
d x dt dx dt d u
υυ+=ℓ即dt
d x
u υ
υ+=22其中a dt d =υ，为小船的加速度大小
因此得小船的速度和加速度大小为：
u
x h x 2
2+=υ23222u
x h x u a −=−=υ方向均向岸边水平直线运动。

1.11在打靶实习中，炮筒与地面的仰角为°30，炮弹以s m /300=υ的初始速度脱离炮筒，射向离地面m 2的靶心：靶应置于地面何处，炮弹刚好击中靶心。

解：根据题意建立直角坐标系，如图所示。

根据抛体运动，运动学方程
炮弹水平运动位移大小设为靶的位置：ℓ=x 同时炮弹竖直运动位移大小为：θυθ2202
cos 21gx xtg y −
=由上面两式可得，靶的位置为：
023
3
27259.42=+−×ℓℓm m 9.7527
259.4227259
.48
313
3=××
×−±=ℓy
1.12一人乘摩托车跳跃一个大坑走,如图1.12所示.它以与水平成°5.22夹角的初速度为s m /65,从西边起跳,准确地落在坑的东边,已知东边比西边低m 4,忽略空气阻力,且取2/10s m g =.问:
(1)坑有多宽?他跳跃的时间有多长？（2）他在坑边落地时的速度多大？解：（1）
s m /650=υ为摩托车跳跃时速率，�5.22=θ为其跳跃速度与水平方向夹角，
m h 4=为落地前后高度差，t 为跳跃到落地的时间，由已知条件坑的宽度即为摩
托车水平方向的位移大小为：
t
x )(cos 0θυ=落地前后高度差为摩托车竖直方向的位移大小
202
1sin 0gt t h h −
=−=∆θυ可得跳跃的时间（舍去负根）为：
s s g gh t 132.51041025.22sin 655.22sin 652sin sin 22200≈××++=++=��θυθυ，
坑的宽为：
m m t x 2.308132.55.22cos 65)5.22cos (0≈×°×=°=υ（2）
落地时水平速度大小为：θυυcos 0=x 落地时竖直速度大小为：gt y −=θυυsin 0坑边落地时的速度大小为：
题1.12图
2
2y
x υυυ+=2022
0)sin (cos gt −+=θυθυ2
2020sin 2t g t g +⋅−=θυυs m /)132.510(132.55.22sin 10652)65(22×+×°×××−=s
m /61.65≈坑边落地时的速度方向与水平夹角为：由θ
υθθυθυυυθcos tan cos sin tan 000gt
gt x
y −
=−=
=
′得°
=′77.23θ1.13一无风的下雨天，一列火车以s m /20的速度前进，在车内游客看见玻璃上的雨滴和垂线成°75下降。

求雨滴落下的速度（设下降的雨滴做匀速运动）。

解：
如图用直角三角形表示火车速度0υ�
，雨滴速度υ�和车内游客看到雨滴速度υ′�
的关系，有
υ
υ075=
°tg 雨滴落下的速度大小为：
s m /36.575tan 0
=°
=
υυ1.14一人能在静水中以s m /1.1的速度划船前进。

今欲横渡宽为m 4000，水流速度为s m /55.0的大河。

（1）他若要从出发点横渡这河，而到达对岸的一点，那么应如何确定，划行方向？到达正对岸需多长时间？（2
）如果希望最短的时间过
0′
河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？
解：（1）如图所示建立直角坐标系，设0υ为
水流速度，υ′为船静水中速度，υ为船
的实际速度，θ为υ′和υ的夹角，根据题
意有：υυυ′
+=0υυθ′=0
sin 即
211.155.0sin ==θ°
=30θ到达对岸的一点，的划行方向应与横渡方向呈°30角。

达正对岸需长时间，由
t
y υ=θ
υυtan 0=
得s y y t 55
.030tan 4000tan 0°×===υθυh
s 1664.191.4198≈=（2）
由（1）中可得，当°=90θ时所需时间最短
o ′
m y x t x t y 20001
.1400055.00min
0min
=×=′⋅==′=υυυυ。