材料物理导论(熊兆贤着)课后习题答案第一章习题参考解答

第一章 材料的力学
1. 一圆杆的直径为
2.5 mm 、长度为25cm 并受到4500N 的轴向拉力，若直径拉细至2.4mm ，
且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，并比较讨论这些计算结果。

解：根据题意可得下表
由计算结果可知：真应力大于名义应力，真应变小于名义应变。

2. 一试样长40cm,宽10cm,厚1cm ，受到应力为1000N 拉力，其杨氏模量为
3.5×109
N/m 2
，
解：
3. 一材料在室温时的杨氏模量为3.5×108
N/m 2
,泊松比为0.35，计算其剪切模量和体积模量。

解：根据
可知：
拉伸前后圆杆相关参数表 )(0114.0105.3101014010009
40000cm E A l F l E
l l =⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=
⋅=
⋅=∆-σ
ε0816.04.25.2ln ln ln 2
2
001====A A l l T ε真应变)
(91710909.44500
60MPa A F =⨯==-σ名义应力0851
.010
0=-=∆=A A l l ε名义应变)
(99510524.445006MPa A F T =⨯==
-σ真应力)21(3)1(2μμ-=+=B G E )
(130)(103.1)
35.01(2105.3)1(288
MPa Pa E G ≈⨯=+⨯=+=μ剪切模量)
(390)(109.3)
7.01(3105.3)21(388
MPa Pa E B ≈⨯=-⨯=-=μ体积模量
4. 试证明应力-应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。

证：
5. 一陶瓷含体积百分比为95%的Al 2O 3 (E = 380 GPa)和5%的玻璃相(E = 84 GPa)，试计算其
上限和下限弹性模量。

若该陶瓷含有5 %的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。

解：令E 1=380GPa,E 2=84GPa,V 1=0.95,V 2=0.05。

则有
当该陶瓷含有5%的气孔时，将P=0.05代入经验计算公式E=E 0(1-1.9P+0.9P 2
)可得，其上、
下限弹性模量分别变为331.3 GPa 和293.1 GPa 。

6. 试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图，并算出t = 0,t = ∞ 和t = τ时
的纵坐标表达式。

解：Maxwell 模型可以较好地模拟应力松弛过程：
V oigt 模型可以较好地模拟应变蠕变过程：
.
,.,1
1
2
1
212
12
1
2
1
21
S W VS d V ld A Fdl W W S W V
Fdl V
l dl A F d S l l l l l l ∝====∝=
===⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰亦即做功或者：
亦即面积εεεεεεεσεσεσ)(2.36505.08495.03802211GPa V E V E E H =⨯+⨯=+=上限弹性模量)
(1.323)84
05.038095.0()(1
12211GPa E V E V E L =+=+=--下限弹性模量).
1()()(0)0()
1)(()1()(10
//0
----=
=
∞=-∞=-=e E
E
e e E
t t t στεσεεεσεττ；；则有：其蠕变曲线方程为：.
/)0()(;0)();0()0((0)e (t)-t/e στσσσσσστ==∞==则有：：其应力松弛曲线方程为0
1
2
3
4
5
0.0
0.20.40.60.81.0
σ(t )/σ(0)
t/τ
应力松弛曲线
012345
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ε(t )/ε(∞)
t/τ
应变蠕变曲线
以上两种模型所描述的是最简单的情况，事实上由于材料力学性能的复杂性，我们会用到用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。

如采用四元件模型来表示线性高聚物的蠕变过程等。

7. 试述温度和外力作用频率对聚合物力学损耗角正切的影响并画出相应的温度谱和频率谱。

解：（详见书本）。

8. 一试样受到拉应力为1.0×103
N/m 2
,10秒种后试样长度为原始长度的1.15倍,移去外力后
试样的长度为原始长度的1.10倍,若可用单一Maxwell 模型来描述,求其松弛时间τ值。

解：根据Maxwell 模型有：
可恢复 不可恢复 依题意得：
所以松弛时间τ=η/E=1.0×105
/2×104
=5(s).
9. 一非晶高聚物的蠕变行为可用一个Maxwell 模型和一个Voigt 模型串联描述，若t=0时施
以拉伸应力为 1.0×104
N/m 2
至10小时,应变为0.05,移去应力后的回复应变可描述为
100/)3(10t e -+=ε,t 为小时，请估算该力学模型的四个参数值。

解：据题即求如图E 1,E 2,η2和η3四参数。

如图所示有 其中ε1立即回复，ε2逐渐回复，ε3不能回复。

⎪⎩
⎪
⎨⎧
+=+===t
E ησσεεεσσσ2121t e E E t 3
/2
1
321)1(ησσσεεεετ+
-+
=
++=-⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=--==+=⋅⨯===+-==⇒∞--01.001.003.005.0100/)3(36000100.101.0100/)3(05.02103
430310
10101εηησεσεe t e E ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅⨯=⨯⨯==⨯=⨯==
)(1011.010100.1)(10205.0100.153
243
1s Pa t Pa E εσηεσ
Voigt 的回复方程为：)/ex p(0)(τεεt t -=，这里t 为从回复时算起，而题目的t 为从开始拉伸时算起，所以此题的回复方程为：)10exp(
0)(τ
εεt
t -=
排除立即恢复后的应变，应变的回复方程就可写成
s
Pa E Pa E e e t
t t ⋅⨯==⨯=∴=⨯∴+---=--92262102
4210)(106.3,100.1,01.0)1E 100.1100/)3s 3600,03.0)10exp(
)03.001.005.0(τηεεττ
ε－（＝相比）
＋＝（，（与＝得出
10. 当取Tg 为参考温度时log ()
()
s s T T T c T T c -+--=
21α中的C 1=17.44,C 2=51.6，求以Tg+50℃为参
考温度时WLF 方程中的常数C 1和C 2。

解：
11. 一圆柱形Al 2O 3晶体受轴向拉力F ，若其临界抗剪强度τf 为135
MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小拉力值，并求滑移面的法向应力。

解：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅⨯=⨯⨯=⨯=⨯=⇒)(102.103.036000100.1)(100.101.0100.1104
3
641s Pa Pa E η
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⨯===︒+∴=+=⇒-+=⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧====+6.1016.516.516.10186.86
.51/6.10144.17506
.516
.10150)()(6.51)
(44.17303.2215021C C C T f B f f T T B f f T B B f C T f B f B
C g g
f g g g f g g f f g g g g
为参考时有以又有以上的热膨胀系数是自由体积在时的自由体积百分数是是常数， )(112)(1012.160cos /0015.060cos 1017.3)(1017.360cos 53cos 0015.060cos 0015.053cos 8
2
3
32min 2
MPa Pa N F F f =⨯=︒
︒⨯⨯=⨯=︒⨯︒⨯=⇒︒⨯︒
=
πσπτπτ：此拉力下的法向应力为为：
系统的剪切强度可表示由题意得图示方向滑移
12. 拉伸某试样得到如下表的数据,试作εσ-曲线图,并估算杨氏模量、屈服应力和屈服时的
伸长率以及抗张强度。

σ*104
P a
ε*10
3
扬氏模量ε
σ
=
E ,由图中未达屈服点时线段的斜率可求出:E=500 Pa 。

屈服应力：由于无明显的屈服点，则取应变为0.2％时说对应的2.0p σ为名义屈服应力点，作图可得：屈服应力1530×10-4
Pa ，伸长率为48×10-3。

抗张强度：为强化阶段曲线最高点：b σ＝1690×10-4
Pa
13. 氦原子的动能是E=
2
3kT(式中波尔兹曼常数k=1.38x10-23
J/K)，求T = 1 K 时氦原子的物质波的波长。

解：
)
(6.12)(1026.111038.110
02.61043106.63//212392323
3
34
2nm m mkT h P h h mv P mv kT E =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
==⇒⎪⎩⎪⎨⎧
====----λλ根据
14. 利用Sommerfeld 的量子化条件，求一维谐振子的能量。

解：
15. 波函数的几率流密度()
ψψψψ∇-∇=
**m
i 2
J ，取球面坐标时，算符 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r r r r
k j i ，求定态波函数ikr
e r
1=ψ的几率流密度。

解：
16. 一粒子在一维势阱中运动，势阱为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=a
x a
x U x U o ,0,0)(求束缚态(0 < E < U 0)的能级所满足的方程。

解：粒子满足波函数：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧>-=-<<-=--<-=-a x x U E dx x d m a x a x E dx x d m a x x U E dx x d m )()()
(2)()
(2)()()
(2302
032222
0222102
0122ϕϕϕϕϕϕ
即：
)
,3,2,1(2/221/222122
2
222
22 ==⇒==⋅=∴=+⇒+=⎰⎰n n E dx P nh E m E mE x d P Sommerfeld m E x mE P x m m P E x x
ωω
πωπωω相当于椭圆的面积）（这时量子化条件有：根据相当于一个椭圆一维谐振子的能量()
r
r ikr r
ikr r ikr
ikr mr
k
r ikr m i m i e r ikr e r ikr e r
e r i i J i i 232
*
2*)2(221,11
,1 =-=∇-∇=∴⋅--=∇⋅-=∇==**--ψψψψψψψψ且
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+⋅+-⋅==+⋅+-⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧'='-'=-'=-=-⎪⎩⎪
⎨⎧>=<<-+⋅=-<=⎪⎩⎪
⎨⎧+=+⋅=+=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=-⇒-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=--<<-=+-<=---------)4()cos()3()cos()2()sin()1()sin()()sin()()()()sin()()(0)()
(0)()(0)()
(22)(0)(2)()(0)(2)(0)(2)()(322132213
212232111322
032222
022122
01222
22032
02032222
02212
02012 a a
a
a x x x x x x Be k a C k a C e
A Be k a C k a C Ae a a a a a a a a a x Be x a x a k x C x a x Ae x x e
B e A x k x
C x e B e A x x dx x d x dx x d x dx x d m E m E U a x x m
E U dx
x d a x a x m
E dx
x d a x x m
E U dx
x d αααααααααααββββαββϕϕϕϕϕϕϕϕϕβϕϕϕϕβϕϕϕαϕϕβϕϕαϕβ
αϕϕϕϕϕϕ则可得到以下方程：
）（）（
）（）（）
（）（）
（）（根据波函数的连续性：）为有限函数，则：
（由于＝、＝令
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
-+⇒-+⇒++-⇒+-⇒)6(1)(142)5()(1131 αβπβαββαβπβββαarctg n k a k a tg arctg n k a k a tg ＝＝）（）（＝＝）（）（
)7(21222)(212)5()6(02
2
20
）（＝、＝代入E U E arctg n E m a
m E m E U arctg n a a --=⋅⇒--=⇒-πβααβ
πβ
即粒子能级需满足方程（7）
《量子力学》哈尔滨工业大学出版社。