第三讲 正态分布及其应用要点

例题2.17：已知u1=-1.76，u2=-0.25， 求标准正态曲线下（-1.76，-0.25）范围内 的面积。
解：查附表1，得； Φ(u1)=0.0392,同理，Φ(u2)=0.4013, 则(-1.76,-0.25)范围内的面积为 D= Φ(u2)-Φ(u1)=0.4013-0.0392=0.3621
f ( X )称为概率密度函数（probabilit y density function ）
以f ( X )为纵坐标，X为横坐标，绘制的曲线就是
正态曲线（normal curve ）
分析三条正态曲线的共同特征：
①均数处最高 （一个最高点） ②左右对称（一个对称轴x=µ）
观察以上三条正态曲线，归纳出正态曲线的性质
正态分布及其应用
一、正态分布的概念和特征
（一）、正态分布的概念和图形
频 数 f（x）
5岁女孩身高的直方图
身高x（cm）
频 数 f（x）
5岁女孩身高的直方图
身高X（cm）
频数
ab
组段
频 数 f（x）
5岁女孩身高的频数分布曲线
身高x（cm）
f(X)
X
m
正态分布以均数为中心，左右两侧对称， 靠近均数两侧的频数较多，而距均数两侧较远 处，频数逐渐减少，形成的钟形分布。
因为医学卫生领域中，有许多变量为连 续的随机变量，并呈现正态分布。如，身高 、体重，血压。
（二）、正态分布的特征
百度文库
正态分布曲线的密度函数：
f (X)

1
2
exp

(
X
2
m
2
)2
,
X
＝3.14159，exp 是以2.72818为底的自然对数指数
X ~ N (m, 2 ), m为X的总体均数，为总体标准差
正态曲线下面积分布规律
正态分布 μ±σ μ±1.96σ μ±2.58σ
面积或概率 68.27% 95.00% 99.00%
标准正态分布的意义
标准正态曲线下面积分布有规律，统计 学家将曲线下所有的U值对应的的面积全部计 算出来，并做成一个表，叫“标准正态分布 表”，供查用。见P261附表1。
借助于“标准正态分布表”，任何正态 分布都可以进行正态变换，计算出曲线任意 两个变量值之间的面积。
曲线下面积
0.5
-∞
0.4
u 0.3
f(X)
(u)
1
u
u 2
e 2 du
2
0.2
附表1（P261）
0.1
就是根据此公式
和图形制定的 0.0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
X
F(X)

1
2
X
( X m)2
e
2( 2 )dX
正态曲线下面积
标准正态曲线下面积分布规律
标准正态分布N (0,1); 即令u X m
f (u)
1
2
exp
u2 2
,
f(X)
X
X
a
mσ
标准正态分布 (standard normal distribution) 的两个参数为：μ=0,σ=1 记为 N(0,1)
一般正态分布为一个分布族:N(m,2) ；标准 正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了便 于应用 。
例题2.18：已知u1=-1.2，u2=1.6， 求标准正态曲线下（-1.2，1.6）范围内的面 积。
请同学们不看书，自己试做一下。 题目有什么不同，如何解决？
例题2.19：已知120名5岁女孩身高X=110.15， S=5.86，现欲估计该市城区某年身高界于 104.0~108.0cm范围内的5岁女孩所占比例和人 数。
①当曲线m 一在定x轴时的，上曲方线，的与形x状轴由不相确交定．． 越大，曲线越“矮 胖示”总②，曲表线示关总于体直的线分布x 越m分对散称；，且越在小x，曲m时线位越于“最瘦高高点”.，表
体的③分当布时越x集中m．，曲线上升；当时 x m，曲线下降．并且当
曲线向左µ、为右正两态边无曲限线延的伸时位，置以参x轴数为渐近线，向它无限靠
（一）估计频数分布
例题2.20 某项研究显示，某地婴儿出生体重均数 为3100g，标准差为300g，试估计该地当年出生低体 重儿（≤2500g）所占比例。
解：已知婴儿出生体重服从正态分布。记做变
量X， 则当X ≤2500时，其对应于标准正态分布的u
值为：
u X m 2500 3100 2.00
近．
0.6
0.5
曲线1
0.4
曲线2
0.3
曲线3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
4
5
6
三条不同μ和σ的正态分布曲线
当σ相同时,正态分布曲线的位置由μ来决定.
σ为正态曲线的形态参数
③正态分布有两个参数，一个正态分布
可以表示为N(µ,σ2)
④正态曲线下面的面积分布有一定规律
二、标准正态分布
经标准正态变量u变换：一般正态分布 N (m, 2 )被变为
解：第一步，将该分布进行标准正态变换，以样本均数和 标准差代替总体均数和标准差，进行U变换。
U1=(104.0-110.15)/5.86 =-1.05 , U2=(108.0-110.15)/5.86 =-0.37
第二步，查附表1得： Ф(u1)=0.1469 ,Ф(u2)=0.3557
D=0.3557-0.1469=0.2088
f=120×0.2088=25(人)
三、正态分布的应用
正态分布是一种重要的分布，它是许多统计处理 方法的基础。对于服从正态分布或近似正态分布或对 数正态分布的资料，都可以借助于正态分布的规律来 解决问题。其在医药卫生领域的应用有以下方面： （一）估计频数分布 （二）制定医学参考值范围 （三）质量控制 （四）作为许多统计方法的基础
正态分布
正态分布是应用最 广德泛莫的佛一最种早连发续现型了分二布项. 概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
高斯
正态分布（normal distribution）也 叫高斯分布（Gaussian distribution）， 是最常见、最重要的一种连续型分布。

300
查表得：Φ(-2.00)=0.0228=2.28%,即该地当 年低体重出生儿的比例为2.28%
（二）制订医学参考值范围
定义：指包括绝大多数正常人的人体形态、功能 和代谢等各种生理生化指标的波动范围，也可以 看作是常数，又称“正常值”