中职数学.三角函数的诱导公式
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1x
tan(2 k＋ )＝tan .
公式一：
sin(2k ) sin
cos(2k ) cos (k z)
tan(2k ) tan
例1 求下列各三角函数的值：
(1)sin13； (2) cos19 ； (3) tan405．
2
3
解 (1)
sin 13π sin( π 6π) sin π 1;
2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π －α的三角函数值，等于α的同名函数值，
再放上将α当作锐角时原函数值的符号.
总结：
2k (k Z ),, 的三角函数， 等于的 同名函数值， 前面加上一个把看成锐角时 原函数值的符号。
三、应用
例 1 求下列各角的三角函数值。
（1） sin( 7 )
4
（3）cos( 31 )
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
3
3
3
3
cos（π - π） cos π 1；
3
32
(3) tan( 10π ) tan10π tan(π 3π)
3
3
3
tan(π π) tan π 3；
3
3
(4) sin 930 sin(30 5180) sin(30 180)
sin 30 1 ． 2
（4）sin( 7π). 3
解 （1）sin( π ) sin π 1；
6
62
（2）cos( π ) cos π 2 ；
4
42
（3）tan( π ) tan π 3；
3
3
（4）sin( 7π ) sin 7π sin( π 2π) sin π 3 .
3
3
3
32
3. 角 与 - 的三角函数间的关系
cos x
P(x，y)
Ox
tan y (x 0)
x
诱导公式
1. 角与 ＋ k·2 (k Z)的三角函数间的关系
角与 ＋ k·2 (k Z)的终边相同，根据三角
函数定义，它们的三角函数值相等.
y P
MO
公式 （一）
sin(2 k＋ )＝sin ；
cos(2 k＋ )＝cos (k Z) ；
sin( 2k ) sin
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
例 求下列各三角函数的值：
(1) sin 4 π ； (2) cos( 8π )； (3) tan( 10π )； (4) sin 930．
3
3
3
解 (1) sin 4 π sin( π π) sin π 3 ；
3
3
32
(2) cos( 8π ) cos 8π cos（2π 2π） cos 2π
三角
Baidu Nhomakorabea
三
三角
角
函数
5.5 三角函数的诱导公式
同角三角函数的基本关系
平方关系: sin 2 cos2 1
商数关系:
tan sin cos
( k , k Z )
2
同一个角 的正弦、余弦的平
方和等于1，商等于角 的正
切。
问题提出
1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
sin y α的终边 y
2
2
2
(2) cos19π cos( π 6π) cos π 1 ;
3
3
32
(3) tan405 tan(45 360) tan45 1.
2. 角 与 － 的三角函数间的关系
探究 若 与 － 的终边关于 x 轴对称，
它们的三角函数之间有什么关系？
y
P (cos ，sin )
公式 （二）
6
（2） cos 2
3
解 : (1)sin( 7 ) sin 7
4
4
sin(2 ) ( sin ) sin
4
4
4
2 2
(2) cos 2 cos( ) cos 1
3
3
32
(3) cos( 31 ) cos 31 cos(4 )
6
6
6
cos( )
6
cos
探究 2 若 与 + 的终边关于原点对称，
它们的三角函数之间有什么关系？
y
P(x，y)
O
x
P (-x，-y)
公式 （四）
sin ( + ) ＝－sin cos（ + ) ＝－cos tan (+ ) ＝ tan
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
探究 若 与 - 的终边关于y轴对称，
它们的三角函数之间有什么关系？ 公式 （三）
sin (- ) ＝sin cos (- ) ＝－cos tan (- ) ＝— tan
公式三：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
4. 角 与 + 的三角函数间的关系
6
3 2
方法总结：
由诱导公式可将任意的三角函数化为锐角三角函数， 一般步骤如下：
（1）化负角的三角函数为正角的三角函数。
~ （2）化为 0 360 的三角函数。
（3）化为锐角的三角函数。
概括为：“负化正，正化小，化到锐角就终了。”
用框图表示为：
任意角的三角函数 锐角三角函数
任意正角的三角函数
0~2的角的三角函数
O －
P (cos (-) ，sin(- ) )
sin sin
x
cos cos tan tan
公式二 sin() sin cos() cos
tan() tan
例 2 求下列各三角函数的值：
（1）sin( π) 6
（3）tan( π )； 3
（2）cos( π )； 4
tan(2 k＋ )＝tan .
公式一：
sin(2k ) sin
cos(2k ) cos (k z)
tan(2k ) tan
例1 求下列各三角函数的值：
(1)sin13； (2) cos19 ； (3) tan405．
2
3
解 (1)
sin 13π sin( π 6π) sin π 1;
2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π －α的三角函数值，等于α的同名函数值，
再放上将α当作锐角时原函数值的符号.
总结：
2k (k Z ),, 的三角函数， 等于的 同名函数值， 前面加上一个把看成锐角时 原函数值的符号。
三、应用
例 1 求下列各角的三角函数值。
（1） sin( 7 )
4
（3）cos( 31 )
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祝您成功！
3
3
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3
cos（π - π） cos π 1；
3
32
(3) tan( 10π ) tan10π tan(π 3π)
3
3
3
tan(π π) tan π 3；
3
3
(4) sin 930 sin(30 5180) sin(30 180)
sin 30 1 ． 2
（4）sin( 7π). 3
解 （1）sin( π ) sin π 1；
6
62
（2）cos( π ) cos π 2 ；
4
42
（3）tan( π ) tan π 3；
3
3
（4）sin( 7π ) sin 7π sin( π 2π) sin π 3 .
3
3
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3. 角 与 - 的三角函数间的关系
cos x
P(x，y)
Ox
tan y (x 0)
x
诱导公式
1. 角与 ＋ k·2 (k Z)的三角函数间的关系
角与 ＋ k·2 (k Z)的终边相同，根据三角
函数定义，它们的三角函数值相等.
y P
MO
公式 （一）
sin(2 k＋ )＝sin ；
cos(2 k＋ )＝cos (k Z) ；
sin( 2k ) sin
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
例 求下列各三角函数的值：
(1) sin 4 π ； (2) cos( 8π )； (3) tan( 10π )； (4) sin 930．
3
3
3
解 (1) sin 4 π sin( π π) sin π 3 ；
3
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(2) cos( 8π ) cos 8π cos（2π 2π） cos 2π
三角
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三
三角
角
函数
5.5 三角函数的诱导公式
同角三角函数的基本关系
平方关系: sin 2 cos2 1
商数关系:
tan sin cos
( k , k Z )
2
同一个角 的正弦、余弦的平
方和等于1，商等于角 的正
切。
问题提出
1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
sin y α的终边 y
2
2
2
(2) cos19π cos( π 6π) cos π 1 ;
3
3
32
(3) tan405 tan(45 360) tan45 1.
2. 角 与 － 的三角函数间的关系
探究 若 与 － 的终边关于 x 轴对称，
它们的三角函数之间有什么关系？
y
P (cos ，sin )
公式 （二）
6
（2） cos 2
3
解 : (1)sin( 7 ) sin 7
4
4
sin(2 ) ( sin ) sin
4
4
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2 2
(2) cos 2 cos( ) cos 1
3
3
32
(3) cos( 31 ) cos 31 cos(4 )
6
6
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cos( )
6
cos
探究 2 若 与 + 的终边关于原点对称，
它们的三角函数之间有什么关系？
y
P(x，y)
O
x
P (-x，-y)
公式 （四）
sin ( + ) ＝－sin cos（ + ) ＝－cos tan (+ ) ＝ tan
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
探究 若 与 - 的终边关于y轴对称，
它们的三角函数之间有什么关系？ 公式 （三）
sin (- ) ＝sin cos (- ) ＝－cos tan (- ) ＝— tan
公式三：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
4. 角 与 + 的三角函数间的关系
6
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方法总结：
由诱导公式可将任意的三角函数化为锐角三角函数， 一般步骤如下：
（1）化负角的三角函数为正角的三角函数。
~ （2）化为 0 360 的三角函数。
（3）化为锐角的三角函数。
概括为：“负化正，正化小，化到锐角就终了。”
用框图表示为：
任意角的三角函数 锐角三角函数
任意正角的三角函数
0~2的角的三角函数
O －
P (cos (-) ，sin(- ) )
sin sin
x
cos cos tan tan
公式二 sin() sin cos() cos
tan() tan
例 2 求下列各三角函数的值：
（1）sin( π) 6
（3）tan( π )； 3
（2）cos( π )； 4