三角形“垂心”定理的7种证法

三角形“垂心”定理的7种证法

李小飞

摘要：用赛瓦定理、作辅助线、三角形外接圆、向量法证明三角形垂心定理，形成典型的一题多解，到达异曲同工之妙，体现数学的内在联系。

关键词:三角形、垂心、垂线、圆、向量

目录：

三角形“垂心”定理的证法

1.1定理---------------------------------------------------------2

1.2预备定理---------------------------------------------------2

1.3定理的证法------------------------------------------------2

1.3.1证法1-----------------------------------------------------2

1.3.2证法2-----------------------------------------------------2

1.3.3证法3-----------------------------------------------------3

1.3.4证法4-----------------------------------------------------3

1.3.5证法5-----------------------------------------------------4

1.3.6证法6-----------------------------------------------------4

1.3.7证法7-----------------------------------------------------5

引注和参考资料-----------------------------------------------------------5

B'

C'

F

E

D

C

B

A

图（ 1 ）

三角形“垂心”定理的证法

1.1定理：

三角形三条高相交于一点，这点叫做三角形的垂心（该定理俗称三角形“垂心”定理）. 已知，如图（1）ABC ∆中,AD,BE,CF

分别是边BC,CA,AB 上的高.

求证: AD,BE,CF 相交于一点

1.2预备定理:

1.塞瓦(Ceva)定理:设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边BC 、CA 、AB 上的点,若

1=••EA

CE

DC BD FB AF ,则AD,BE,CF 交于一点. 2.三角形“外心”定理:三角形三边的中垂线相交于一点,此点与三顶点等距,这点叫做三角形的外心.

3. 三角形“内心”定理:三角形三内角平分线交于一点,此点与三边等距,这点叫做三角形的内心.

1.3定理的证法 1.3.1证法1

如图（1），由已知可得，CAF ∆∽BAE ∆⇒

ABD AB

AC

AE AF ∆=,∽CBF ∆⇒ CB AB BF BD =，ACD ∆∽BCE ∆⇒.AC BC

CD CE =三式相乘得：

.1.1=••=••=••AE

CE

CD BD BF AF AC BC CB AB AB AC CD CE BF BD AE AF 即由塞瓦定理可得AD ，BE ，CF 相交于一点.

1.3.2证法2

如图（2）分别过A 、B 、C 做它们所在高的垂

线，使

之相交'''C B A ∆.

则

AB '

CB AB =∴∴

B

同理，'',','CB C A C A AB C ABA =∴=∴为平行四边形四边形 可见，CF 为边''B A 的中垂线。同理可得，BE 为边''A C 的中垂线，AD 为边''C B 的中垂线.CF BE AD ,,∴为'''C B A ∆三边上的中垂线.由“外心”定理可知，AD 、BE 、CF 相交于一点.

1.3.3证法3

如图（3）连结DE ，EF ，FD ， 则A 、B 、D 、E .21∠=∠∴在ABE Rt ∆易知32∠=∠，1=∠∴又A 、F 、D 、C 4

3∠=∠∴，41∠=∠∴.可见，

AD 平分EDF ∠.同理可得，BE 平分DEF ∠，CF 平分EFD ∠.在DEF ∆中，

由“内心”定理可得，BE ，CF 相交于一点.

1.3.4证法4

如图（4）设AB 边上的高CF 与BC 边上的高AD 相交于H ，连结BH 并延长交AC 于E.

连结DF ，因A 、F 、D 、C 21∠=∠∴又B 、D 、H 、F 32∠=∠∴，

31∠=∠∴在 BAE ∆和中CAF ∆可知090=∠=∠AFC AEB ，

AC BE ⊥∴，

∴BE 为边AC 上的高.

由此可见，高AD 、BE 、CF 相交于一点.

1.3.5证法5

如图（5）设边BC ，AC 上的高BE 相交于H.

连结DE ，作AB HF ⊥于F 。 连结CH ，

则A 、B 、D 、E 四点共圆，

21∠=∠∴又1∠与3∠互余，∠43∠=∠∴又C 、E 、H 、D 54∠=∠∴，53∠=∠∴。又01805=∠+∠BHC ，

01803=∠+∠∴BHC ，

∴C 、H 、F 三点共线。

即AB 边上的高CF 经过H 点。因而三条高AD 、BE 、CF 相交于一点.

1.3.6证法6

如图（6）设BC 边上的高AD 与AB 边上的高CF 相交于H ，连结BH 并延长交AC 于E.建立如图所示的直角坐标系，并设A 、B 、C 三点的坐标分别为： A （0，a ），B （b,0），C （c,0）,则