假设检验的基本概念
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成立(=0.05)?
21
解 设H0:=32.50. 如果H0正确, 则样本(X1,..., X6)来
自正态总体N(32.50, 1.12), 令
Z X 32.50 ~ N (0,1) 1.1/ 6
对给定的 0.05, 查表得z/2 1.96
使P( |Z | z/2 ) ,即
(
z
/2
)1
2
计算求出Z的样本值为
(5) 若|z|> 则否定H0, 否则接收H0.
20
例1 根据长期经验和资料的分析, 某砖瓦厂生产
砖的"抗断强度"x 服从正态分布, 方差s2=1.21.
从该厂产品中随机抽取6块, 测得抗断强度如下( 单位: kg/cm2): 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03 检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg/cm2是否
(1) 提出待检假设H0:=0(0已知);
(2) 选取样本(X1,...,Xn)的统计量, 如H0成立,则
T X 0 ~ t(n 1)
S/ n
(3) 根据检验水平, 查表确定临界值t/2 , 使 P(|T|>t/2 )=;
(4) 根据样本观察值计算统计量T的值t并与临界 值t/2比较; (5) 若|t|> t/2 则否定H0, 否则接收H0.
/2
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
/2 H0 真
60 62.5 65 67.5 70 72.5 75
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
H0 不真
67.5 70 72.5 75 77.5 80 82.5
注 一般,作假设检验时,先控制犯第一
1类错误的概率,在此基础上使 尽量 地小.要降低 一般要增大样本容量. 当H0不真时,参数值越接近真值, 越大
19
方差已知对期望值的检验步骤:
(1) 提出待检假设H0:=0(0已知);
(2) 选取样本(X1,...,Xn)的统计量, 如H0成立,则
Z X 0 ~ N (0,1) s0 / n
(s
为已知
0
)
(3) 根据检验水平, 查表确定临界值 , 使
即
(4) 根据样本观察值计算统计量Z的值z并与临 界值 比较
出厂检验问题的数学模型
对总体X ~ f (x ; p) px(1 p)1x, x 0,1 提出假设
H0 : p 0.04; H1 : p 0.04
要求利用样本观察值
12
( x1 , x2 , , x12 ) ( xi 3 or 1 ) i 1
对提供的信息作出接受H0 (可出厂) , 还 是接受 H1 (不准出厂) 的判断.
P(拒绝H0|H0为真)
No Image
0.05
若H0为真, 则 X ~ N ( 68 , 3.62 / 36 )
所以,拒绝 H0 的概率为, 又称为显 著性水平, 越大,犯第一类错误的概
率越大, 即越显著.
下面计算犯第二类错误的概率
14
=P(接受H0|H0不真) H0不真,即 68,可能小于68,也可能大于
任何检验方法都不能完全排除犯错 误的可能性.理想的检验方法应使犯两类 错误的概率都很小,但在样本容量给定的 情形下,不可能使两者都很小,降低一个, 往往使另一个增大.
假设检验的指导思想是控制犯第一类
错误的概率不超过, 然后,若有必要,通 过增大样本容量的方法来减少 .
引例2 中，犯第一类错误的概率
(V V1 )
P(V V )
右边检验
(V V )
根据样本值计算,并作出相应的判断.
§8.2 一个正态总体的假设检验
设总体为x~N(,s2). 关于总体参数,s2的假设检验
问题, 本节介绍下列三种:
(1) 已知方差s2, 检验假设H0:=0; (2) 未知方差s2, 检验假设H0:=0; (3) 未知期望, 检验假设H0:s2=s02; 其中H0中的s02, 0都是已知数.
s
2 0
~
2(n 1)
(3) 由给定的检验水平查表求a2,b2满足:
P
(
n
1)
s
2 0
S
2
2 b
P
(
n
1)
s
2 0
S
2
2 a
2
(4) 计算2的值与a2,b2比较; (5) 若2>b2或2<a2拒绝H0否则接收H0;
27
例4 某炼铁厂的铁水含碳量x在正常情况下服从正
态分布. 现对操作工艺进行了某些改进, 从中抽取5 炉铁水测得含碳量数据如下:
之间作一选择
现从整批螺钉中取容量为36的样本, 其均值为 x 68.5,问原假设是否正确?
若原假设正确, 则 X ~ N(68 , 3.62 / 36)
因而 E( X ) 68 ,即 X 偏离68不应该太远,
故 X 68 取较大值是小概率事件. 因此,
3.6 / 6
可以确定一个常数c
使得
P
X 68 3.6 / 6
4.412, 4.052, 4.357, 4.287, 4.683 据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方
差仍为0.1082(=0.05).
解： 建立待检假设H0:s2=0.1082; 在H0成立时, 样本来自总体N(,0.1082), 这时
2
(n 1)S2 0.1082
~
2(n 1)
28
注. 备择假设可以是单侧,也可以双侧. 2引例2中的备择假设是双侧的.若根据以
往生产情况,0=68.现采用了新工艺,关 心的是新工艺能否提高螺钉强度,越大
越好.此时可作如下的右边假设检验:
H0 : = 68； H1 : > 68
注 关于原假设与备择假设的选取 3
H0与H1地位应平等,但在控制犯第一类 错误的概率 的原则下,使得采取拒 绝H0 的决策变得较慎重,即H0 得到特
钢索的断裂强度为800kg/cm2 (=0.05)
解
首先建立H0
:
800.
如H
成立则
0
Z ( X 800) 9 / 40 ~ N (0,1),
因 0.05则z 1.96
2
| z | 780 800 1.5 1.96 40 / 3
可以接受H0, 认为断裂强度为800kg/cm2
23
方差未知对期望值的检验步骤:
总体N(,s2), 问题就是判断=Ex=3140是否成立
?
25
解 待检假设H0:=3140. 由于s2未知, 自然想到用S2
代表s2. 则如果H0成立, 则
T X 3140 ~ t(19) S / 20
由给定的检验水平 0.01, 查表得t0.005 (19) 2.861,
即
P
X S/
H0: = 68
由引例2可见,在给定的前提下, 接受还是拒绝原假设完全取决于样本 值, 因此所作检验可能导致以下两类 错误的产生：
第一类错误 第二类错误
弃真错误 取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
接受 H0
拒绝 H0
H0 为真
正确 第一类错误
(弃真)
H0 为假
第二类错误
(取伪)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
24
例3
从1975年的新生儿(女)中随机地抽取20个, 测得 其平均体重为3160克, 样本标准差为300克. 而根 据过去统计资料, 新生儿(女)平均本重为3140克. 问现在与过去的新生儿(女)体重有无显著差异(
假设新生儿体重服从正态分布)?(=0.01)
若把所有1975年新生儿(女)体重体现为一个正态
| z | 31.13 32.50 3.05 1.96 1.1/ 6
因此否定H0, 即不能认为这批产品的平均抗断强 度是32.50kg/cm2.
22
例2 假定某厂生产一种钢索, 它的断裂强度
x(kg/m2)服从正态分布N(,402). 从中选取一个容量
为9的样x 本, 得 =780kg/m2. 能否据此样本认为这批
解 假设 p 0.04 , p 0.04 代入
P12 (3)
C3 12
p3 (1
p)9
0.0097
0.01
这是 小概率事件 , 一般在一次试验中
是不会发生的, 现一次试验竟然发生, 故认
为原假设不成立, 即该批产品次品率p 0.04
则该批产品不能出厂.
P12 (1)
C1 12
p1 (1
p)11
c
取 0.05 ,则
c
z 2
z0.025
1.96
X 68
由
1.96
3.6 / 6
X 69.18 或 X 66.824
即区间( ,66.824 ) 与 ( 69.18 , + ) 为检验的拒绝域
称 X 的取值区间 ( 66.824 , 69.18 )
为检验的接受域 (实际上没理由拒绝), 现 x 68.5 落入接受域,则接受原假设
假设检验的内容
参数检验 非参数检验
总体均值, 均值差的检验
总体方差, 方差比的检验 分布拟合检验 符号检验 秩和检验
假设检验的理论依据
假设检验所以可行,其理论背景为实际
推断原理,即“小概率原理”
引例1 某产品出厂检验规定: 次品率p不 超过4%才能出厂. 现从一万件产品中任意 抽查12件发现3件次品, 问该批产品能否出 厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否出厂？
§8.1 假设检验的基本概念
若对参数 一无所知
用参数估计 的方法处理
若对 参数 有所 了解
但有怀 疑猜测 需要证 实之时
用假设 检验的 方法来 处理
何为假设检验?
假设检验是指施加于一个或多个总 体的概率分布或参数的假设. 所作假设 可以是正确的,也可以是错误的.
为判断所作的假设是否正确, 从总 体中抽取样本,根据样本的取值,按一定 原则进行检验, 然后作出接受或拒绝所 作假设的决定.
68, 的大小取决于 的真值的大小.
设 66, n 36, X ~ N ( 66,3.62 / 36)
66 P( 66.82 X 69.18 66 )
69.18 66 66.82 66 0.6 0.6
(5.3) (1.37) 1 0.9147 0.0853
3140 20
2.861
0.01
而 | t | 3160 3140 0.298 2.861 300 / 20
因此接收H0 ,认为现在的新生儿体重 与过去没有 明显差异.
26
未知期望对正态总体方差的假设检验步骤:
(1) 建立待检假设H0:s2=s02;
(2) 如H0成立, 则
2
(n 1)S2
0.306
0.3
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,
从而接受原假设, 即该批产品可以出厂.
注1 直接算 1/12 0.083 0.04
若不用假设检验, 按理不能出厂.
注2 本检验方法是 概率意义下的反证法， 故拒绝原假设是有说服力的, 而接受 原假设是没有说服力的. 因此应把希 望否定的假设作为原假设.
别的保护.
因而,通常把有把握的、有经验的结论 作为原假设,或者尽可能使后果严重的 错误成为第一类错误.
假设检验步骤(三部曲)
根据实际问题所关心的内容,建立H0与 H1在H0为真时,选择合适的统计量V,由H1
确 定拒绝域形式
给定显著性水平,其对应的拒绝域
双侧检验
(V
V1
2
)
(V
V 2
)
其中
左边检验
引例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为
68/mm2, 而实际生产的强度X 服N(,3.62 ). 若E(X)==68,则认为这批螺钉符合要求,否
则认为不符合要求.为此提出如下假设:
H0 : = 68
称为原假设或零假设
原假设的对立面:
H1 : 68
称为备择假设
假设检验 必须在原假设与备择假设
的任务
21
解 设H0:=32.50. 如果H0正确, 则样本(X1,..., X6)来
自正态总体N(32.50, 1.12), 令
Z X 32.50 ~ N (0,1) 1.1/ 6
对给定的 0.05, 查表得z/2 1.96
使P( |Z | z/2 ) ,即
(
z
/2
)1
2
计算求出Z的样本值为
(5) 若|z|> 则否定H0, 否则接收H0.
20
例1 根据长期经验和资料的分析, 某砖瓦厂生产
砖的"抗断强度"x 服从正态分布, 方差s2=1.21.
从该厂产品中随机抽取6块, 测得抗断强度如下( 单位: kg/cm2): 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03 检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg/cm2是否
(1) 提出待检假设H0:=0(0已知);
(2) 选取样本(X1,...,Xn)的统计量, 如H0成立,则
T X 0 ~ t(n 1)
S/ n
(3) 根据检验水平, 查表确定临界值t/2 , 使 P(|T|>t/2 )=;
(4) 根据样本观察值计算统计量T的值t并与临界 值t/2比较; (5) 若|t|> t/2 则否定H0, 否则接收H0.
/2
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
/2 H0 真
60 62.5 65 67.5 70 72.5 75
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
H0 不真
67.5 70 72.5 75 77.5 80 82.5
注 一般,作假设检验时,先控制犯第一
1类错误的概率,在此基础上使 尽量 地小.要降低 一般要增大样本容量. 当H0不真时,参数值越接近真值, 越大
19
方差已知对期望值的检验步骤:
(1) 提出待检假设H0:=0(0已知);
(2) 选取样本(X1,...,Xn)的统计量, 如H0成立,则
Z X 0 ~ N (0,1) s0 / n
(s
为已知
0
)
(3) 根据检验水平, 查表确定临界值 , 使
即
(4) 根据样本观察值计算统计量Z的值z并与临 界值 比较
出厂检验问题的数学模型
对总体X ~ f (x ; p) px(1 p)1x, x 0,1 提出假设
H0 : p 0.04; H1 : p 0.04
要求利用样本观察值
12
( x1 , x2 , , x12 ) ( xi 3 or 1 ) i 1
对提供的信息作出接受H0 (可出厂) , 还 是接受 H1 (不准出厂) 的判断.
P(拒绝H0|H0为真)
No Image
0.05
若H0为真, 则 X ~ N ( 68 , 3.62 / 36 )
所以,拒绝 H0 的概率为, 又称为显 著性水平, 越大,犯第一类错误的概
率越大, 即越显著.
下面计算犯第二类错误的概率
14
=P(接受H0|H0不真) H0不真,即 68,可能小于68,也可能大于
任何检验方法都不能完全排除犯错 误的可能性.理想的检验方法应使犯两类 错误的概率都很小,但在样本容量给定的 情形下,不可能使两者都很小,降低一个, 往往使另一个增大.
假设检验的指导思想是控制犯第一类
错误的概率不超过, 然后,若有必要,通 过增大样本容量的方法来减少 .
引例2 中，犯第一类错误的概率
(V V1 )
P(V V )
右边检验
(V V )
根据样本值计算,并作出相应的判断.
§8.2 一个正态总体的假设检验
设总体为x~N(,s2). 关于总体参数,s2的假设检验
问题, 本节介绍下列三种:
(1) 已知方差s2, 检验假设H0:=0; (2) 未知方差s2, 检验假设H0:=0; (3) 未知期望, 检验假设H0:s2=s02; 其中H0中的s02, 0都是已知数.
s
2 0
~
2(n 1)
(3) 由给定的检验水平查表求a2,b2满足:
P
(
n
1)
s
2 0
S
2
2 b
P
(
n
1)
s
2 0
S
2
2 a
2
(4) 计算2的值与a2,b2比较; (5) 若2>b2或2<a2拒绝H0否则接收H0;
27
例4 某炼铁厂的铁水含碳量x在正常情况下服从正
态分布. 现对操作工艺进行了某些改进, 从中抽取5 炉铁水测得含碳量数据如下:
之间作一选择
现从整批螺钉中取容量为36的样本, 其均值为 x 68.5,问原假设是否正确?
若原假设正确, 则 X ~ N(68 , 3.62 / 36)
因而 E( X ) 68 ,即 X 偏离68不应该太远,
故 X 68 取较大值是小概率事件. 因此,
3.6 / 6
可以确定一个常数c
使得
P
X 68 3.6 / 6
4.412, 4.052, 4.357, 4.287, 4.683 据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方
差仍为0.1082(=0.05).
解： 建立待检假设H0:s2=0.1082; 在H0成立时, 样本来自总体N(,0.1082), 这时
2
(n 1)S2 0.1082
~
2(n 1)
28
注. 备择假设可以是单侧,也可以双侧. 2引例2中的备择假设是双侧的.若根据以
往生产情况,0=68.现采用了新工艺,关 心的是新工艺能否提高螺钉强度,越大
越好.此时可作如下的右边假设检验:
H0 : = 68； H1 : > 68
注 关于原假设与备择假设的选取 3
H0与H1地位应平等,但在控制犯第一类 错误的概率 的原则下,使得采取拒 绝H0 的决策变得较慎重,即H0 得到特
钢索的断裂强度为800kg/cm2 (=0.05)
解
首先建立H0
:
800.
如H
成立则
0
Z ( X 800) 9 / 40 ~ N (0,1),
因 0.05则z 1.96
2
| z | 780 800 1.5 1.96 40 / 3
可以接受H0, 认为断裂强度为800kg/cm2
23
方差未知对期望值的检验步骤:
总体N(,s2), 问题就是判断=Ex=3140是否成立
?
25
解 待检假设H0:=3140. 由于s2未知, 自然想到用S2
代表s2. 则如果H0成立, 则
T X 3140 ~ t(19) S / 20
由给定的检验水平 0.01, 查表得t0.005 (19) 2.861,
即
P
X S/
H0: = 68
由引例2可见,在给定的前提下, 接受还是拒绝原假设完全取决于样本 值, 因此所作检验可能导致以下两类 错误的产生：
第一类错误 第二类错误
弃真错误 取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
接受 H0
拒绝 H0
H0 为真
正确 第一类错误
(弃真)
H0 为假
第二类错误
(取伪)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
24
例3
从1975年的新生儿(女)中随机地抽取20个, 测得 其平均体重为3160克, 样本标准差为300克. 而根 据过去统计资料, 新生儿(女)平均本重为3140克. 问现在与过去的新生儿(女)体重有无显著差异(
假设新生儿体重服从正态分布)?(=0.01)
若把所有1975年新生儿(女)体重体现为一个正态
| z | 31.13 32.50 3.05 1.96 1.1/ 6
因此否定H0, 即不能认为这批产品的平均抗断强 度是32.50kg/cm2.
22
例2 假定某厂生产一种钢索, 它的断裂强度
x(kg/m2)服从正态分布N(,402). 从中选取一个容量
为9的样x 本, 得 =780kg/m2. 能否据此样本认为这批
解 假设 p 0.04 , p 0.04 代入
P12 (3)
C3 12
p3 (1
p)9
0.0097
0.01
这是 小概率事件 , 一般在一次试验中
是不会发生的, 现一次试验竟然发生, 故认
为原假设不成立, 即该批产品次品率p 0.04
则该批产品不能出厂.
P12 (1)
C1 12
p1 (1
p)11
c
取 0.05 ,则
c
z 2
z0.025
1.96
X 68
由
1.96
3.6 / 6
X 69.18 或 X 66.824
即区间( ,66.824 ) 与 ( 69.18 , + ) 为检验的拒绝域
称 X 的取值区间 ( 66.824 , 69.18 )
为检验的接受域 (实际上没理由拒绝), 现 x 68.5 落入接受域,则接受原假设
假设检验的内容
参数检验 非参数检验
总体均值, 均值差的检验
总体方差, 方差比的检验 分布拟合检验 符号检验 秩和检验
假设检验的理论依据
假设检验所以可行,其理论背景为实际
推断原理,即“小概率原理”
引例1 某产品出厂检验规定: 次品率p不 超过4%才能出厂. 现从一万件产品中任意 抽查12件发现3件次品, 问该批产品能否出 厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否出厂？
§8.1 假设检验的基本概念
若对参数 一无所知
用参数估计 的方法处理
若对 参数 有所 了解
但有怀 疑猜测 需要证 实之时
用假设 检验的 方法来 处理
何为假设检验?
假设检验是指施加于一个或多个总 体的概率分布或参数的假设. 所作假设 可以是正确的,也可以是错误的.
为判断所作的假设是否正确, 从总 体中抽取样本,根据样本的取值,按一定 原则进行检验, 然后作出接受或拒绝所 作假设的决定.
68, 的大小取决于 的真值的大小.
设 66, n 36, X ~ N ( 66,3.62 / 36)
66 P( 66.82 X 69.18 66 )
69.18 66 66.82 66 0.6 0.6
(5.3) (1.37) 1 0.9147 0.0853
3140 20
2.861
0.01
而 | t | 3160 3140 0.298 2.861 300 / 20
因此接收H0 ,认为现在的新生儿体重 与过去没有 明显差异.
26
未知期望对正态总体方差的假设检验步骤:
(1) 建立待检假设H0:s2=s02;
(2) 如H0成立, 则
2
(n 1)S2
0.306
0.3
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,
从而接受原假设, 即该批产品可以出厂.
注1 直接算 1/12 0.083 0.04
若不用假设检验, 按理不能出厂.
注2 本检验方法是 概率意义下的反证法， 故拒绝原假设是有说服力的, 而接受 原假设是没有说服力的. 因此应把希 望否定的假设作为原假设.
别的保护.
因而,通常把有把握的、有经验的结论 作为原假设,或者尽可能使后果严重的 错误成为第一类错误.
假设检验步骤(三部曲)
根据实际问题所关心的内容,建立H0与 H1在H0为真时,选择合适的统计量V,由H1
确 定拒绝域形式
给定显著性水平,其对应的拒绝域
双侧检验
(V
V1
2
)
(V
V 2
)
其中
左边检验
引例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为
68/mm2, 而实际生产的强度X 服N(,3.62 ). 若E(X)==68,则认为这批螺钉符合要求,否
则认为不符合要求.为此提出如下假设:
H0 : = 68
称为原假设或零假设
原假设的对立面:
H1 : 68
称为备择假设
假设检验 必须在原假设与备择假设
的任务