假设检验的基本概念

(1) 提出待检假设H0:=0(0已知);
(2) 选取样本(X1,...,Xn)的统计量, 如H0成立,则
T X 0 ~ t(n 1)
S/ n
(3) 根据检验水平, 查表确定临界值t/2 , 使 P(|T|>t/2 )=;
(4) 根据样本观察值计算统计量T的值t并与临界 值t/2比较; (5) 若|t|> t/2 则否定H0, 否则接收H0.
§8.1 假设检验的基本概念
若对参数 一无所知
用参数估计 的方法处理
若对 参数 有所 了解
但有怀 疑猜测 需要证 实之时
用假设 检验的 方法来 处理
何为假设检验?
假设检验是指施加于一个或多个总 体的概率分布或参数的假设. 所作假设 可以是正确的,也可以是错误的.
为判断所作的假设是否正确, 从总 体中抽取样本,根据样本的取值,按一定 原则进行检验, 然后作出接受或拒绝所 作假设的决定.
成立(=0.05)?
21
解 设H0:=32.50. 如果H0正确, 则样本(X1,..., X6)来
自正态总体N(32.50, 1.12), 令
Z X 32.50 ~ N (0,1) 1.1/ 6
对给定的 0.05, 查表得z/2 1.96
使P( |Z | z/2 ) ,即
(
z
/2
)1
2
计算求出Z的样本值为
19
方差已知对期望值的检验步骤:
(1) 提出待检假设H0:=0(0已知);
(2) 选取样本(X1,...,Xn)的统计量, 如H0成立,则
Z X 0 ~ N (0,1) s0 / n
(s
为已知
0
)
(3) 根据检验水平, 查表确定临界值 , 使
即
(4) 根据样本观察值计算统计量Z的值z并与临 界值 比较
别的保护.
因而,通常把有把握的、有经验的结论 作为原假设,或者尽可能使后果严重的 错误成为第一类错误.
假设检验步骤(三部曲)
根据实际问题所关心的内容,建立H0与 H1在H0为真时,选择合适的统计量V,由H1
确 定拒绝域形式
给定显著性水平,其对应的拒绝域
双侧检验
(V
V1
2
)
(V
V 2
)
其中
左边检验
(5) 若|z|> 则否定H0, 否则接收H0.
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例1 根据长期经验和资料的分析, 某砖瓦厂生产
砖的"抗断强度"x 服从正态分布, 方差s2=1.21.
从该厂产品中随机抽取6块, 测得抗断强度如下( 单位: kg/cm2): 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03 检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg/cm2是否
0.306
0.3
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,
从而接受原假设, 即该批产品可以出厂.
注1 直接算 1/12 0.083 0.04
若不用假设检验, 按理不能出厂.
注2 本检验方法是 概率意义下的反证法， 故拒绝原假设是有说服力的, 而接受 原假设是没有说服力的. 因此应把希 望否定的假设作为原假设.
4.412, 4.052, 4.357, 4.287, 4.683 据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方
差仍为0.1082(=0.05).
解： 建立待检假设H0:s2=0.1082; 在H0成立时, 样本来自总体N(,0.1082), 这时
2
(n 1)S2 0.1082
~
2(n 1)
28
68, 的大小取决于 的真值的大小.
设 66, n 36, X ~ N ( 66,3.62 / 36)
66 P( 66.82 X 69.18 66 )
69.18 66 66.82 66 0.6 0.6
(5.3) (1.37) 1 0.9147 0.0853
(V V1 )
P(V V )
右边检验
(V V )
根据样本值计算,并作出相应的判断.
§8.2 一个正态总体的假设检验
设总体为x~N(,s2). 关于总体参数,s2的假设检验
问题, 本节介绍下列三种:
(1) 已知方差s2, 检验假设H0:=0; (2) 未知方差s2, 检验假设H0:=0; (3) 未知期望, 检验假设H0:s2=s02; 其中H0中的s02, 0都是已知数.
之间作一选择
现从整批螺钉中取容量为36的样本, 其均值为 x 68.5,问原假设是否正确?
若原假设正确, 则 X ~ N(68 , 3.62 / 36)
因而 E( X ) 68 ,即 X 偏离68不应该太远,
故 X 68 取较大值是小概率事件. 因此,
3.6 / 6
可以确定一个常数c
使得
P
X 68 3.6 / 6
解 假设 p 0.04 , p 0.04 代入
P12 (3)
C3 12
p3 (1
p)9
0.0097
0.01
这是 小概率事件 , 一般在一次试验中
是不会发生的, 现一次试验竟然发生, 故认
为原假设不成立, 即该批产品次品率p 0.04
则该批产品不能出厂.
P12 (1)
C1 12
p1 (1
p)11
| z | 31.13 32.50 3.05 1.96 1.1/ 6
因此否定H0, 即不能认为这批产品的平均抗断强 度是32.50kg/cm2.
22
例2 假定某厂生产一种钢索, 它的断裂强度
x(kg/m2)服从正态分布N(,402). 从中选取一个容量
为9的样x 本, 得 =780kg/m2. 能否据此样本认为这批
出厂检验问题的数学模型
对总体X ~ f (x ; p) px(1 p)1x, x 0,1 提出假设
H0 : p 0.04; H1 : p 0.04
要求利用样本观察值
12
( x1 , x2 , , x12 ) ( xi 3 or 1 ) i 1
对提供的信息作出接受H0 (可出厂) , 还 是接受 H1 (不准出厂) 的判断.
c
取 0.05 ,则
c
z 2
z0.025
1.96
X 68
由
1.96
3.6 / 6
X 69.18 或 X 66.824
即区间( ,66.824 ) 与 ( 69.18 , + ) 为检验的拒绝域
称 X 的取值区间 ( 66.824 , 69.18 )
为检验的接受域 (实际上没理由拒绝), 现 x 68.5 落入接受域,则接受原假设
任何检验方法都不能完全排除犯错 误的可能性.理想的检验方法应使犯两类 错误的概率都很小,但在样本容量给定的 情形下,不可能使两者都很小,降低一个, 往往使另一个增大.
假设检验的指导思想是控制犯第一类
错误的概率不超过, 然后,若有必要,通 过增大样本容量的方法来减少 .
引例2 中，犯第一类错误的概率
总体N(,s2), 问题就是判断=Ex=3140是否成立
?
25
解 待检假设H0:=3140. 由于s2未知, 自然想到用S2
代表s2. 则如果H0成立, 则
T X 3140 ~ t(19) S / 20
由给定的检验水平 0.01, 查表得t0.005 (19) 2.861,
即
P
X S/
s
2 0
~
2(n 1)
(3) 由给定的检验水平查表求a2,b2满足:
P
(
n
1)
s
2 0
S
2
2 b
P
(
n
1)
s
2 0
S
2
2 a
2
(4) 计算2的值与a2,b2比较; (5) 若2>b2或2<a2拒绝H0否则接收H0;
27
例4 某炼铁厂的铁水含碳量x在正常情况下服从正
态分布. 现对操作工艺进行了某些改进, 从中抽取5 炉铁水测得含碳量数据如下:
钢索的断裂强度为800kg/cm2 (=0.05)
解
首先建立H0
:
800.
如H
成立则
0
Z ( X 800) 9 / 40 ~ N (0,1),
因 0.05则z 1.96
2
| z | 780 800 1.5 1.96 40 / 3
可以接受H0, 认为断裂强度为800kg/cm2
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方差未知对期望值的检验步骤:
假设检验的内容
参数检验 非参数检验
总体均值, 均值差的检验
总体方差, 方差比的检验 分布拟合检验 符号检验 秩和检验
假设检验的理论依据
假设检验所以可行,其理论背景为实际
推断原理,即“小概率原理”
引例1 某产品出厂检验规定: 次品率p不 超过4%才能出厂. 现从一万件产品中任意 抽查12件发现3件次品, 问该批产品能否出 厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否出厂？
H0: = 68
由引例2可见,在给定的前提下, 接受还是拒绝原假设完全取决于样本 值, 因此所作检验可能导致以下两类 错误的产生：
第一类错误 第二类错误
弃真错误 取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
接受 H0
拒绝 H0
H0 为真
正确 第一类错误
(弃真)
H0 为假
第二类错误
(取伪)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
P(拒绝H0|H0为真)
No Image
0.05
若H0为真, 则 X ~ N ( 68 , 3.62 / 36 )
所以,拒绝 H0 的概率为, 又称为显 著性水平, 越大,犯第一类错误的概
率越大, 即越显著.
下面计算犯第二类错误的概率
14
=P(接受H0|H0不真) H0不真,即 68,可能小于68,也可能大于
24
例3
从1975年的新生儿(女)中随机地抽取20个, 测得 其平均体重为3160克, 样本标准差为300克. 而根 据过去统计资料, 新生儿(女)平均本重为3140克. 问现在与过去的新生儿(女)体重有无显著差异(
假设新生儿体重服从正态分布)?(=0.01)
若把所有1975年新生儿(女)体重体现为一个正态
注. 备择假设可以是单侧,也可以双侧. 2引例2中的备择假设是双侧的.若根据以
往生产情况,0=68.现采用了新工艺,关 心的是新工艺能否提高螺钉强度,越大
越好.此时可作如下的右边假设检验:
H0 : = 68； H1 : > 68
注 关于原假设与备择假设的选取 3
H0与H1地位应平等,但在控制犯第一类 错误的概率 的原则下,使得采取拒 绝H0 的决策变得较慎重,即H0 得到特
/2
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
/2 H0 真
60 62.5 65 67.5 70 72.5 75
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
H0 不真
67.5 70 72.5 75 77.5 80 82.5
注 一般,作假设检验时,先控制犯第一
1类错误的概率,在此基础上使 尽量 地小.要降低 一般要增大样本容量. 当H0不真时,参数值越接近真值, 越大
3140 20
2.861
0.01
而 | t | 3160 3140 0.298 2.861 300 / 20
因此接收H0 ,认为现在的新生儿体重 与过去没有 明显差异.
26
未知期望对正态总体方差的假设检验步骤:
(1) 建立待检假设H0:s2=s02;
(2) 如H0成立, 则
2
(n 1)S2
引例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为
68/mm2, 而实际生产的强度X 服N(,3.62 ). 若E(X)==68,则认为这批螺钉符合要求,否
则认为不符合要求.为此提出如下假设:
H0 : = 68
称为原假设或零假设
原假设的对立面:
H1 : 68
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
称为备择假设
假设检验 必须在原假设与备择假设
的任务