天津市大港区2021届新高考数学第一次押题试卷含解析

天津市大港区2021届新高考数学第一次押题试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）

A ．16

B ．18

C ．20

D ．15

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数. 【详解】

输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算

320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320

的最大公约数为16， 故选:A. 【点睛】

本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易. 2．下列不等式正确的是（ ） A ．3sin130sin 40log 4>> B ．tan 226ln 0.4tan 48<< C ．()cos 20sin 65

lg11-<<

D ．5tan 410sin 80log 2>>

【答案】D 【解析】 【分析】

根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>，利用排除法，即可求解．

【详解】

由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>， 可排除A 、B 、C 选项，

又由551

tan 410tan 501sin80log 5log 22

=>>>=>， 所以5tan 410sin 80log 2>>． 故选D ． 【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．设α为锐角，若3cos 45

πα??

+= ??

?，则sin 2α的值为（ ） A ．

1725

B ． 725

-

C ． 1725

-

D ．

725

【答案】D 【解析】 【分析】

用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】

2237

sin 2cos(2)cos 2()[2cos ()1][2()1]244525

ππααααπ=-+=-+=-+-=-?-=．

故选：D ． 【点睛】

本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 4．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{

}

2

B=|y y x x R =-∈，，则A B ?=（ ） A ．{}|02x x ≤≤ B ．{}2|x x ≤

C ．{}2|0x x -≤≤

D ．?

【答案】C 【解析】

试题分析：化简集合

故选C ．

考点：集合的运算．

5．函数()2sin()f x x ω?=+(0,0)ω?π><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）

A ．

12

B ．1

C ．

3

π D ．

2

π 【答案】B 【解析】 【分析】

根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和?，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于

y 轴对称，求得m 的最小值.

【详解】

由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期

32T =，所以263

T ππωω==?=， 又()1,2A -，0?π<<，则有2sin 123π

??

?

-?

+= ??

?

，可得56π?=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x π

ππ

πππ????=+

=++=+

? ?

????

， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】

该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.

6．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为

(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n

等于（ ）．

A ．21

B ．22

C ．23

D ．24

【答案】C 【解析】

从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C. 7．函数()x

f x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】 【分析】

根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果. 【详解】

由题可知：0a <，

所以当0x <时，()0f x >， 又()'

x f

x e a =+，

令()'

0f x >，则()ln x a >- 令()'

0f

x <，则()ln x a <-

所以函数()f x 在()()

,ln a -∞-单调递减 在()()

ln ,a -+∞单调递增， 故选：B 【点睛】

本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.

8．函数2()ln(1)

x x e e f x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】 【分析】

先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】

函数2()ln(1)

x x

e e

f x x --=+，

则2

()()ln(1)x x

e e

f x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2

()ln x

e f x x

≈→+∞，所以排除A 选项；

当1x =时，11

2.720.37

(1) 3.4ln(11)ln 20.69

e e e e

f -----=

=≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】

本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题. 9．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）

A ．12

B ．2

C ．

2

3

D ．

163

【答案】C 【解析】 【分析】

过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知

1

83

3P BCD B PCE D PCE PCE

PCE V V V S

BD S ---=+=?=，当PCE S 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2

112

PCE S PC EF PE =?=-PE 的最大值即可.

【详解】

在BPD △和BCD 中，PB BC PD CD BD BD =??

=??=?

，所以BPD BCD ≌，则PBD CBD ∠=∠，

过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PE

CE E =，所以BD ⊥平面PCE ，

所以183

3

P BCD B PCE D PCE PCE

PCE

V V V S BD S ---=+=?=，

当PCE

S

最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，

所以21

12

PCE

S PC EF PE =

?=- 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，

所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ?最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223

?162

3

=. 故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 10．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?的最小值为 （ ）

A ．

2116

B ．

32

C ．

2516

D ．3

【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ?分拆，设

(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD 为等边三角形，3BD =(01)DE tDC t =≤≤

AE BE ?2

23

()()()2

AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+?+=?+?++=

+?+ =2

33

322

t t -

+(01)t ≤≤ 所以当1

4t =时，上式取最小值

2116

，选A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。

同时利用向量共线转化为函数求最值。 11．已知函数()0,1

ln ,1x f x x x

，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围

是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞

C ．[)0,1

D ．(]1,0-

【答案】A 【解析】 【分析】

先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1

ln ,1

x f x x x

≥?和

()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.

【详解】

当1x ≥时，()'

'1

ln ,()(1)1f x x f x f x

=?=

?=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .

在同一直角坐标系内画出函数()0,1

ln ,1x f x x x

和()g x x k =-的图象如下图的所示：

利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】

本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 12．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）

A ．正方体

B ．球体

C ．圆锥

D ．长宽高互不相等的长方体

【答案】C 【解析】 【分析】

根据基本几何体的三视图确定． 【详解】

正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ． 【点睛】

本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC 中，BC 为定长，23AB AC BC +=，若ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】

设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，

()223,33AB AC a x y a +=--=，利用求向量模的公式，可得2

22

23a x y a ??-+= ?

?

?()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求. 【详解】

解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，

则()223,33AB AC a x y a +=--=

=，

即2

22

23a x y a ??-+= ??

?()0y ≠，

由12ABC

S

BC y =?，可得2222

a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2. 【点睛】

本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.

14．我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、

物价各几何？”设人数、物价分别为x 、y ，满足83

74

x y x y =+??=-?，则x =_____，y =_____．

【答案】7 53 【解析】 【分析】

利用已知条件，通过求解方程组即可得到结果． 【详解】

设人数、物价分别为x 、y ，满足83

74

x y x y =+??=-?，解得7x =，53y =.

故答案为：7；53. 【点睛】

本题考查函数与方程的应用，方程组的求解，考查计算能力，属于基础题．

15．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90CAB ∠=?，2AC AB ==，12CC =，P 是1BC 的中点，则三棱锥11C A C P -的体积为________.

【答案】23

【解析】 【分析】

证明AB ⊥平面11AAC C ，于是1111111

2

C A C P P A C C B A C C V V V ---==，利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】

1AA ⊥平面ABC ，AB

平面ABC ，

1AA AB ∴⊥，又1,AB AC AA AC A ⊥?=.

AB ∴⊥平面11AAC C ，

P 是1BC 的中点，

111111

11112

2222

2323

C A C P P A C C B A C C V V V ---∴===?????=.

故答案为：2

3

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.

16．设变量x ，y 满足约束条件2024030x y x y y -+≤??

+-≥??-≤?

，则目标函数2z x y =-的最小值为______．

【答案】-8 【解析】 【分析】

通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线122

z

y x =-在y 轴截距最大的问题，通过图像解决. 【详解】

由题意可得可行域如下图所示：

令122

z

y x =

-，则min z 即为在y 轴截距的最大值 由图可知：

当122

z

y x =

-过()2,3A -时，在y 轴截距最大 min 2238z ∴=--?=-

本题正确结果：8- 【点睛】

本题考查线性规划中的z ax by =+型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在y 轴截距的问题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin

2

A C

b A B

c ++=.

（1）求B ；

（2）若ABC

8，求b. 【答案】（1）π

3B =；（2）134

b =

【解析】 【分析】

（1）通过正弦定理和内角和定理化简sin()sin

2

A C

b A B

c ++=，再通过二倍角公式即可求出B ； （2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b 的表达式后即可求出b 的值. 【详解】

（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得sin cos 2

B b

C c =， 结合正弦定理，得sin cos 2

B B =， 由π

022B <

<及二倍角公式，得1sin 22

B =， 即

π26

B =，故π3B =；

（2

）由题设，得1

sin 2

ac B =4ac =，

由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即()2

212b a c =+-， 又8a b c ++=，所以()2

2812b b =--， 解得134

b =

. 【点睛】

本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题. 18．已知正项数列{}n a 的前n 项和22,*n n S a n N +=-∈. （1）若数列{}n a 为等比数列，求数列{}n a 的公比q 的值；

（2）设正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，若11b =，且2

121n n T b n +=--.

①求数列{}n b 的通项公式； ②求证：

123

1

22i

n

i b i a a a a =++<∑. 【答案】（1

）q =（2）①n b n =；②详见解析. 【解析】 【分析】

（1）依题意可表示1S ，2S ，相减得243a a a =-，由等比数列通项公式转化为首项与公比，解得答案，并由其都是正项数列舍根；

（2）①由题意可表示2n T ，12n T +，两式相减得22

12121n n n b b b +++=--，由其都是正项并整理可得递推关

系211n n b b ++-=，由等差数列的通项公式即可得答案；

②由已知22,*n n S a n N +=-∈关系，表示132n n S a ++=-并相减即可表示递推关系21++=+n n n a a a ，显然当1,2,3n =时，123

2

n a a a P ++<

成立，当4n ，*n ∈N 时，表示

12323343221

234512222222n n n n n n n

a a a a a a a a a a a P -----++++=+++++?++，由分组求和与正项数列性质放缩

不等式得证. 【详解】

解：（1）依题意可得132S a =-，242S a =-，两式相减，得243a a a =-，所以2

222a a q a q =-，

因为0n a >，所以2

10q q --=，且0q >

，解得12

q +=

. （2）①因为2

121n n T b n +=--，所以21222n n T b n ++=--，

两式相减，得2212121n n n b b b +++=--，即()2

2

211n n b b ++=+.

因为0n b >，所以211n n b b ++=+，即211n n b b ++-=.

而当1n =时，2

1222T b =-，可得22b =，故211b b -=，

所以11n n b b +-=对任意的正整数n 都成立， 所以数列{}n b 是等差数列，公差为1，首项为1， 所以数列{}n b 的通项公式为n b n =.

②因为22n n S a +=-，所以132n n S a ++=-，两式相减，得132n n n a a a +++=-，即312n n n a a a +++=+， 所以对任意的正整数2n ，都有21++=+n n n a a a . 令123451234511

22222222i n

i n n

n b n n i a a a a a a a a P --==

=+++++?++∑， 而当1,2,3n =时，123

2

n a a a P ++<

显然成立，

所以当4n ，*n ∈N 时，12

323343221

234512222222n n n n n n n

a a a a a a a a a a a P -----++++=+++++?++ 123233234

2123

45145

122222222222n n n n n n n n a a

a a a a a a a a a ------????

=++++++

+++++

+ ? ??

???

1232332121234

2123

45123234512222222222222

22n n n n n n n n a a

a a a a a a a a a a a a a ------????

=++++++

+--++++++

+ ? ?????

123121123

321231

21232333451

23451

222222222222222

22n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ------????

=

++---+++++

+++++++

+ ? ?????

12312312321333

11113

24224224n n n n n a a a a a a a a a P P P P P --++++++=

++<++=+， 所以1233

324n n a a a P P ++<+，即123

2n a a a P ++<， 所以

123

1

2

2

i

n

i

b i a a a a =++<

∑，得证.

【点睛】

本题考查由前n 项和关系求等比数列公比，求等差数列通项公式，还考查了由分组求和表示数列和并由正项数列放缩证明不等式，属于难题.

19．已知函数2()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，其中a R ∈.

（1）函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，求实数a 的值； （2）若函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <. ①求实数a 的取值范围； ②求证：()()12100f x f x ++>. 【答案】（1）1

2

；（2）①01a <<；②详见解析. 【解析】 【分析】

（1）由函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，即可得1

(1)12

f '?=-，对其求导并表示(1)f '，代入上述方程即可解得答案；

（2）①已知要求等价于2()22(3)0a

f x x a x

'=+-+

=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <，即222(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x ，由二次函数的图象与性质构建不等式组，

解得答案，最后分析此时单调性推及极值说明即可；

②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，由韦达定理可表达根与系数的关系，进而用含的式子表示()()12f x f x +，令()()12()g a f x f x =+，对()g a 求导分析单调性，即可知道存在常数(

)

3

,1t e -∈使()g a 在(0,)t 上单调递减，在(,1)t 上单调递增，进而求最值证明不等式成立. 【详解】

解：（1）依题意，2

()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，0x >，

故2()22(3)a

f x x a x

'=+-+

，所以(1)44f a '=-， 据题意可知，1

(44)12a -?=-，解得12a =.

所以实数a 的值为1

2

.

（2）①因为函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <， 所以2()22(3)0a

f x x a x

'=+-+

=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <， 即2

22(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x .

所以2

2(3)0,224(3)160,20,a a a -?->????=-->??>??

解得01a <<.

当01a <<时，若10x x <<或2x x >，2

22(3)20x a x a +-+>，()0f x '>，函数()f x 在()10,x 和

()1,x +∞上单调递增；若1

2x

x x <<，222(3)20x a x a +-+<，()0f x '<，函数()f x 在()12,x x 上单调

递减，故函数()f x 在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且12x x <. 所以，实数a 的取值范围是01a <<.

②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，

所以1212

3,,x x a x x a +=-??=?其中01a <<.

故()()2

2

121112222(3)2ln 2(3)2ln f x f x x a x a x x a x a x +=+-+++-+

()()2

1212121222(3)2ln x x x x a x x a x x =+-+-++

22(3)22(3)(3)2ln 2ln 49a a a a a a a a a a =--+--+=-+-，

令2

()2ln 49g a a a a a =-+-，其中01a <<.故()2ln 26g a a a '=-+，

令()()2ln 26h a g a a a '==-+，2

()20h a a

'=->，()()h a g a '=在(0,1)上单调递增. 由于()3

3

20h e

e

--=-<，(1)40h =>，

所以存在常数(

)

3

,1t e -∈，使得()0h t =，即ln 30t t -+=，ln 3t t =-， 且当(0,)a t ∈时，()()0h a g a '=<，()g a 在(0,)t 上单调递减； 当(,1)a t ∈时，()()0h a g a '=>，()g a 在(,1)t 上单调递增，

所以当01a <<时，222

()()2ln 492(3)4929g a g t t t t t t t t t t t =-+-=--+-=--，

又(

)

3

,1t e -∈，22

29(1)1010t t t --=-->-，

所以()10g a >-，即()100g a +>， 故()()12100f x f x ++>得证. 【点睛】

本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立，属于难题.

20．已知函数()f x x a x 2=-++．

()1当a 1=时，求不等式()f x 3≤的解集；

()02x R ?∈，()0f x 3≤，求a 的取值范围．

【答案】（1）{}

21x x -≤≤； （2）[]5,1-. 【解析】 【分析】 【详解】

（1）当1a =时，()12f x x x =-++， ①当2x -≤时，()21f x x =--，

令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，

②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，所以21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，

令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x =， 综上所述，不等式的解集为{}

21x x -≤≤．

（2）因为()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+， 因为0x R ?∈，有()3f x ≤成立， 所以只需23a +≤， 解得51a -≤≤，

所以a 的取值范围为[]5,1-． 【点睛】

绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

21．已知抛物线C :()2

20y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3420x y+=-的距离为1d ，

焦点F 到抛物线C 的准线的距离为2d ，且121

2

d d =. （1）求抛物线C 的标准方程；

（2）若x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且22

11

||||PM QM +为定值，

求点M 的坐标. 【答案】（1）2

4y x = （2）()2,0 【解析】 【分析】

（1）先分别表示出12,d d ，然后根据

121

2

d d =求解出p 的值，则C 的标准方程可求； （2）设出直线l 的方程x my t =+并联立抛物线方程得到韦达定理形式，然后根据距离公式表示出

2211||||PM QM +并代入韦达定理形式，由此判断出22

11

||||PM QM +为定值时M 的坐标.

【详解】

（1）由题意可得，焦点,02p F ??

???

，0p >，则 13232

2255

p

p d ?+?+=

=

，2d p =， ∴1

2

322

152

p d d p ?

+=

=

解得2p =. 抛物线C 的标准方程为2

4y x =

（2）设(),0M t ，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，显然直线l 的斜率不为0. 设直线l 的方程为x my t =+

联立方程2

4x my t y x

=+??

=?，整理可得2

440y my t --= ()2

160t m ?=+>，124y y m +=，12

4y y t

∴1||PM y =

，2||QM =

∴()()()

22

122222222221212

1111

||||111y y PM QM m y m y m y y ++=+=+++ ()()2

212

12

222

2

2

212

42221y y y y m t t m t m y

y +-+==++ 要使

2211||||PM QM +为定值，必有22

222t

t t

=，解得2t =， ∴

22

11

||||PM QM +为定值时，点M 的坐标为()2,0

【点睛】

本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题，难度一般.（1）处理直线与抛物线相交对应的定值问题，联立直线方程借助韦达定理形式是常用方法；（2）直线与圆锥曲线的问题中，直线方程的设法有时能很大程度上起到简化运算的作用。

22．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c

向量()

2m a =，向量s )(co ,n B cosC =，且

//m n .

（1）求角C 的大小； （2

）求()3

y sinA B π

=-的最大值.

【答案】（1）6

π

（2）2 【解析】 【分析】

（1

）转化条件得()2sin cos A C B C =+

，进而可得cos C =

，即可得解； （2）由56A B π+=化简可得2sin 3y A π+=?

? ???，由50,

6

A π??

∈ ???

结合三角函数的性质即可得解. 【详解】 （1）

//m n ，

∴(

)

2cos cos a C B =，

由正弦定理得2sin cos cos cos A C B C C B =，

∴)2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+

即()2sin cos A C B C =+，

又 B C A +=π-，

∴2sin cos A C A ， 又 ()0,A π∈，∴sin 0A ≠，

∴cos C =， 由()0,C π∈可得6

C π

=

.

（2）由（1）可得56A B π+=

，∴56B A π

=

-，

∴5()()3632()y sinA B sinA A sinA A πππ

π

=-+=---=

2sin 3sinA A A π?

?=+ ??

?=，

50,

6A π

??

∈ ???

，∴7,336A πππ??+∈ ???

，∴(]2sin 1,23A π?

?+∈- ???，

∴()3

y sinA B π

=-的最大值为2.

【点睛】

本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题. 23．已知函数()31f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；

（2）设()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足224a b M +=，证明：24a b ab +≥. 【答案】（1）[]

1,5-（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()6f x ≤的解集.

（2）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值M ，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式

24a b ab +≥成立.

【详解】

（1）()42,1

2,1324,3x x f x x x x -≤??

=<

，

不等式()6f x ≤，即1426x x ≤??

-≤?或3246x x ≥??-≤?或13

26

x <

即有11x -≤≤或35x ≤≤或13x <<，

所以所求不等式的解集为[]1,5-.

（2）()31312f x x x x x =++-≥--+=，2M =， 因为0a >，0b >，

所以要证24a b ab +≥，只需证()2

22216a b a b +≥， 即证22224416a b ab a b ++≥，

因为2242a b +=，所以只要证222416ab a b +≥， 即证()2

8210ab ab --≤，

即证()()41210ab ab +-≤，因为410ab +>，所以只需证12

≤ab ， 因为22244a b ab =+≥，所以1

2

≤ab 成立， 所以24a b ab +≥. 【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.