大学数学毕业论文

江西师范大学数学与信息科学学院

学士学位论文

可测集的判定方法及其性质

Determination Methods and Properties of

the Measurable Set

姓名：

学号：

学院：数学与信息科学学院

专业：数学与应用数学指导老师：

完成时间：2011 年 4 月20 日

可测集的判定方法及其性质

【摘要】在本论文中，我们介绍了基于Caratheodory 测度理论上的Lebesgue 测度理论.从可测集的定义出发，我们讨论可测集的性质. 我们还讨论了可测集和Borel 集之间的关系.为了更好地了解可测集的性质，我们在文中给出一些例子.通过写这篇论文，我对可测集的性质及其结构有了更深刻全面的了解.

【关键字】测度可测集性质

Determination Methods and Properties of the

Measurable Set

[Abstract] In this paper, we introduce the Lebesgue measure theory which is based on the Caratheodory measure theory. From the definitions of measurable set, we discuss the properties of measurable set. We also discuss the relationship between measurable set and Borel set. In order to obtain a good understanding the properties of measurable set, we give some examples in the paper. Through writing this paper, I get a comprehensive and profound understanding about the construction and properties of measurable set.

[Keywords] Measure Measurable set Properties

1.引言 (1)

2.可测集的定义 (2)

3.可测集的性质 (4)

(1) .......................................................................................................................................... 零测集.. (4)

(2) .......................................................................................................................................... 可测集关于集合的运算性质 .. (5)

(3) .......................................................................................................................................... 单调的可测集序列. (9)

4.可测集类及可测集的构成 (11)

(1)可测集类 (11)

(2)可测集与Borel集的关系 (14)

参考文献、致谢 (20)

1引言

实变函数论的核心问题是对我们在数学分析中已学过的黎曼( Riemann )积分进行推广，而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论.

数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展，Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函数的连续性要求太强，以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此，无论在理论方面还是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.为此,数学家通过努力建立了一种新型的积分—Lebesgue积分.

Lebesgue积分和Riemann积分的思路相反,不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和.19 世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索,逐渐形成测度概念.它作为建立Lebesgue积分的基础,是要对R n中一般点集E给出一种度量.它是长度、面积和体积等概念的推广.从1898 年开始, Borel建立了一维Borel点集的测度.法国数学家Lebesgue在20 世纪初叶系统地建立了测度论,并成功地建立起新的积分理论.1915 年法国数学家M.Frechet提出在一般代数上建立测度，开始创立抽象测的理论.1918 年左右希腊数学家Caratheodory提出关于现代测度理论的关键理论.本文要介绍基于Caratheodory外测度理论上的Lebesgue测度理论.

2可测集的定义

定义2.1[1]称

inf{|I k||{I k}是E的可数开覆盖}

k=1

为点集E的Lebesgue外测度，简称外测度，记作m*E.

定理2.1[1]外侧度具有如下性质：

（1）对任意E R n都有m*E0且m*=0 （非负性）；

（2）设B A R n，则m*B m*A（单调性）；

（3）设A R n，则m*（A）m*A（次可加性）；

i =1 i =1

（4）设A, B R n，若（A,B）0，则m*（A B）=m*A+m*B（距离可加性）.

定义2.2[1]称R n中的点集E为可测集，如果对于任意T R n，都有

m*T =m*（T I E）+m*（T I E c）（1）可测集的外测度就称为它的Lebesgue测度，简称测度，记作mE .测度为零的集合称为零测集. R n中所有可测集组成的集合称为可测集类.

上述（1）式称为Caratheodory条件，它等价于：对任意A E,B E c都有

m*（A U B）= m*A+ m*B（2）事实上，若（1）式成立，则取T=（A U B），即可取得（1）式；反之，若（2）式成立，令A=T I E, B=T I E c ,便有（1）式成立.

注: 要证明点集E可测,只需证明不等式