ROBOTICS TEACHING PLAN-CH04(机器人学-机器人运动学正解)20100520

一、连杆参数
连 杆 i–1 是 由 关 节 轴 线 i–1 和 关 节 轴 线i的公法线长度 ai-1 ， 以 及 两 关 节 轴 线 的 夹 角 αi-1 所 规定。 规定。 1、连杆长度——ai-1为连杆 的长度； 、连杆长度 为连杆i–1的长度 的长度； 2、连杆扭角——αi-1为连杆 的扭角。 、连杆扭角 为连杆i–1的扭角 的扭角。 公法线a 由关节i–1指向关节 指向关节i， 的指向规定为轴线i–1绕公 公法线 i-1由关节 指向关节 ，αi-1的指向规定为轴线 绕公 法线转至轴线i时所转Байду номын сангаас的角度。 法线转至轴线 时所转过的角度。 时所转过的角度
二、建立连杆坐标系的步骤
1、找出并画出各个关节轴线； 、找出并画出各个关节轴线； 2、 找出并画出相邻两轴线 和 i+1的公垂线 i （ 或两轴线的交 、 找出并画出相邻两轴线i和 的公垂线 的公垂线a 找出公垂线a 与轴线i的交点 选为坐标系{i}的原点 的交点， 的原点O 点）。找出公垂线 i与轴线 的交点，选为坐标系 的原点 i+1； 3、Zi轴规定为与关节 轴重合； 、 轴规定为与关节i轴重合 轴重合； 4、Xi轴规定为与公垂线 i重合。若Zi与Zi+1相交，规定 i是Zi与 、 轴规定为与公垂线a 重合。 相交，规定X Zi+1所张平面的法线； 所张平面的法线； 5、按右手法则决定Yi=Zi×Xi(建立右手坐标系 ； 、按右手法则决定 建立右手坐标系)； 建立右手坐标系 6、当第一个关节变量为零时，规定{0}与{1}重合； 、当第一个关节变量为零时，规定 与 重合 重合； 7、末端坐标系{n}，原点和 n的方向可以任取，但应使连杆参 、末端坐标系 ，原点和X 的方向可以任取， 数尽可能为零。 数尽可能为零。
§3.2 机器人坐标系设定
一、标准坐标系
1、基坐标系{B}：与操作臂的基座固接，也称为坐标系{0}，与连 、基坐标系 ：与操作臂的基座固接，也称为坐标系 ， 固接； 杆o固接； 固接 2、工作(站)坐标系 ：与工作位姿相联系； 、工作 站 坐标系 坐标系{S}：与工作位姿相联系； 3、腕坐标系 、腕坐标系{W}：固定在机器人操作臂的末端连杆 上，也称为 ：固定在机器人操作臂的末端连杆n上 连杆n坐标系 坐标系{N}； 连杆 坐标系 ； 4、工具坐标系{T}：固结在所握工具的端部； 、工具坐标系 ：固结在所握工具的端部； 5、目标坐标系{G}：用来描述机器人移动工具所应到达的位姿。 、目标坐标系 ：用来描述机器人移动工具所应到达的位姿。
连杆参数
（1）连杆偏置 ）
两条公法线的距离 称为连杆的偏置， 称为连杆的偏置 ， 记为d 表示连杆i 记为 i ， 表示连杆 相对于连杆i–1的偏 相对于连杆 的偏 置。 （2）连杆转角 ） 两条公法线之间的夹角称为关节角，记为θ 表示连杆i 两条公法线之间的夹角称为关节角，记为 i，表示连杆 相对于连杆i–1绕该轴线 的旋转角度。 绕该轴线i的旋转角度 相对于连杆 绕该轴线 的旋转角度。
连杆参数与坐标系
除第一个和最后一个连杆外， 除第一个和最后一个连杆外，每个连杆两端的轴线各有一条 法线，分别为前、后相邻连杆的公共法线。 法线，分别为前、后相邻连杆的公共法线。这两法线间的距 离即为d 离即为 i。 ai 为 连 杆 长 度 ； αi 为 连 杆 扭 角 ； di 为两连杆距 离 ； θi 为 两 连杆夹角。 连杆夹角。
广义变换矩阵
这种关系可由表示连杆i对连杆 相对位置的四个齐次 这种关系可由表示连杆 对连杆i–1相对位置的四个齐次 对连杆 变换来描述，并叫做A 矩阵。此关系式为： 变换来描述，并叫做 i矩阵。此关系式为：
展开上式可得： 展开上式可得：
移动关节坐标系建立
如图所示，距离 di 为 联 轴 节 （ 关 节）变量，而联 轴节轴线的方向 即为此联轴节移 动的方向。 动的方向。 对于棱柱联轴节 来 说 ， 其 长 度 ai 没有意义，令其 为零。 为零。
2010-11-29 华南农业大学工程学院
坐标变换过程
连个坐标系i–1与 之间的相对关系 之间的相对关系： 连个坐标系 与i之间的相对关系： 轴旋转θ 轴转到与x 同一平面内。 （1）绕zi–1轴旋转 i角，使xi–1轴转到与 i同一平面内。 ） 轴平移一距离d 移到与x 同一直线上。 （2）沿zi–1轴平移一距离 i，把xi–1移到与 i同一直线上。 ） 轴平移一距离a 把连杆i–1的坐标系移到使其 （ 3）沿 i轴平移一距离 i–1 ， 把连杆 的坐标系移到使其 ） 轴平移一距离 原点与连杆n的坐标系原点重合的地方。 原点与连杆 的坐标系原点重合的地方。 的坐标系原点重合的地方 轴旋转α 转到与z 同一直线上。 （4）绕xi–1轴旋转 i–1角，使zi–1转到与 i同一直线上。 ）
对于转 动关节， 动关节 ， θi 为 关 节变量。 节变量 。
连杆i的坐标系：原点， 轴 连杆 的坐标系：原点，z轴，x轴； 的坐标系 轴 连杆i+1的坐标系：原点， 轴 连杆 的坐标系：原点，z轴，x轴。 的坐标系 轴
中间连杆坐标系建立
连杆i的坐标系： 原点位于关节i和i+1的公共法线与关节 轴 连杆 的坐标系：原点位于关节 和 的公共法线与关节i+1轴 的坐标系 的公共法线与关节 线的交点上。 如果两相邻连杆的轴线相交于一点， 线的交点上 。 如果两相邻连杆的轴线相交于一点 ， 那么原点 就在这一交点上。 如果两轴线互相平行， 就在这一交点上 。 如果两轴线互相平行 ， 那么就选择原点使 对下一连杆（其坐标原点已确定）的距离d 为零。 对下一连杆（其坐标原点已确定）的距离 i+1为零。 连杆i的z轴与 关节i+1的轴线 关节 的轴线 在一直线上， 而 x轴则在连杆 轴则在连杆 i和i+1的公共法 和 的公共法 线上，其方向 指向i+1， 从i指向 ，如 指向 图所示。 图所示。
广义变换矩阵
对于棱柱关节， 矩阵为 矩阵为： 对于棱柱关节，A矩阵为：
当各连杆的坐标系被规定之后， 就能够列出各连杆的常量 当各连杆的坐标系被规定之后 ， 参数。旋转关节：常量参数为d 棱柱联轴节： 参数 。旋转关节 ：常量参数为 i， ai–1和αi–1；棱柱联轴节： 常量参数为θ 常量参数为 i和αi。 这样， 矩阵就成为关节变量 的函数（旋转关节）或变量d 矩阵就成为关节变量θ的函数 这样，A矩阵就成为关节变量 的函数（旋转关节）或变量 的函数（棱柱联轴节） 的函数（棱柱联轴节）。
坐标变换过程
连杆坐标系建立之后， 连杆坐标系建立之后，按照下列顺序由两个旋转和两个 平移来建立相邻两连杆i–1与 之间的相对关系 之间的相对关系。 平移来建立相邻两连杆 与i之间的相对关系。 （1）绕zi–1轴旋转θi角，使xi–1轴转到与xi同一平面内。 ） 轴旋转 轴转到与 同一平面内。 轴平移一距离d 移到与x 同一直线上。 （2）沿zi–1轴平移一距离 i，把xi–1移到与 i同一直线上。 ） 轴平移一距离a 把连杆i–1的坐标系移到使其 （ 3） 沿 i轴平移一距离 i–1 ， 把连杆 的坐标系移到使其 ） 轴平移一距离 原点与连杆n的坐标系原点重合的地方。 原点与连杆 的坐标系原点重合的地方。 的坐标系原点重合的地方 轴旋转α 转到与z 同一直线上。 （4）绕xi–1轴旋转 i–1角，使zi–1转到与 i同一直线上。 ）
三、连杆坐标系
1、首端连杆坐标系的建立 、
2、末端连杆的坐标系
坐标系的原点置于夹手指尖的中心，由矢量p表示。 坐标系的原点置于夹手指尖的中心，由矢量 表示。 表示 （1）z轴：处于夹手进人物体的方向上，并称之为接 ） 轴 处于夹手进人物体的方向上， 近矢量a； 近矢量 ； （ 2） y轴 ： 从一个指尖 ） 轴 指向另一个指尖， 指向另一个指尖 ， 处于 规定夹手方向上， 规定夹手方向上 ， 称为 方向矢量o； 方向矢量 ；
末端连杆的坐标系
最后一个矢量叫做法线矢量n， 最后一个矢量叫做法线矢量 ， 它与矢量o和 一起构成一个右手 它与矢量 和 a一起构成一个右手 矢量集合， 矢量集合 ， 并由矢量的交乘所规 定 ： n=o×a。因此 ， 变换 6 具有 × 。 因此， 变换T 下列元素： 下列元素：
3、中间连杆的坐标系建立
连杆i的坐标系：原点， 轴 连杆 的坐标系：原点，z轴，x轴； 的坐标系 轴 连杆i+1的坐标系：原点， 轴 连杆 的坐标系：原点，z轴，x轴。 的坐标系 轴
移动关节坐标系建立
坐标系i：原点与下一个规定的连杆原点重合； 坐标系 ：原点与下一个规定的连杆原点重合； z轴在关节 的轴 轴在关节i+1的轴 轴在关节 线上； 线上； xi 轴平行或反向平 行于棱柱联轴节方 向矢量与z 向矢量与 i 矢量的 交积。 交积。 当 di=0时 ， 我们定 时 义该联轴节的位置 为零。 为零。
连杆参数
当两关节轴线 平行时， 和 i平行时 ， αi平行时
1=0
， 此 时 αi-1
的指向不定， 可以任意规定 。
当两关节轴线相交时，连杆长度为零。 当两关节轴线相交时，连杆长度为零。
连杆连接时的参数
1、首、末端连杆的描述 、 2、中间连杆连接的描述 、 相邻两连杆之间 有一个共同的关 节轴线。所以每 一个关节轴线有 两条公法线和它 垂直，每条公法 线相应于一条连 杆。
§4.1 连杆参数与关节变量
机器人操作臂可以看成是由一系列连杆通过 关节顺次相连的开式运动链。 关节顺次相连的开式运动链 。 关节决定两相 邻构件之间的连接关系，称为运动副。 邻构件之间的连接关系，称为运动副。 通常操作臂都是由旋转关 节和移动关节构成的低副， 节和移动关节构成的低副 ， 具有一个自由度， 因此6个 具有一个自由度 ， 因此 个 自由度的操作臂是由6个杆 自由度的操作臂是由 个杆 个关节组成的。 和6个关节组成的。 个关节组成的
§4.3 机器人运动方程的表示
机器人可看作是由关节连接起来的连杆系统。 机器人可看作是由关节连接起来的连杆系统 。 为机器人的每 一连杆建立一个坐标系， 一连杆建立一个坐标系 ， 并用齐次变换来描述这些坐标系间 的相对位置和姿态。 的相对位置和姿态。 把一个连杆与下一个连杆间齐次变换叫做A矩阵 。 一个A 把一个连杆与下一个连杆间齐次变换叫做 矩阵。 一个 矩阵 矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变 换。 A1表示第一个连杆对于基系的位置和姿态，A2表示第二个 表示第一个连杆对于基系的位置和姿态， 连杆相对于第一个连杆的位置和姿态， 连杆相对于第一个连杆的位置和姿态，那么第二个连杆在 基系中的位置和姿态可由下列矩阵的乘积给出 T2=A1A2
中间连杆坐标系建立
当两关节轴线相交时， 轴的方向与两矢量的交积 轴的方向与两矢量的交积z 当两关节轴线相交时，x轴的方向与两矢量的交积 i–1×zi平 行或反向平行， 轴的方向总是沿着公共法线从转轴 轴的方向总是沿着公共法线从转轴i指向 行或反向平行 ， x轴的方向总是沿着公共法线从转轴 指向 i+1。 。 当 两 轴 xi–1 和 zi 平行且 同向时， 第i个转动 关节的θ 关节的 i为 零。
移动关节坐标系
移动关节时， αi–1 ， ai–1 ， di ， θi 四个参数中 ， 四个参数中， 扭 角 αi–1 、 杆 长 ai–1 、 关 节 转 角 θi 为常量 ； 偏置 为常量； di 为变量 ， 称关 为变量， 节位移量。 节位移量。
移动副连接的两杆件(坐标系前量) 移动副连接的两杆件(坐标系前量)
Chapt.4
机器人运动学（正解） 机器人运动学（正解）
张建瓴
机器人运动学
根据关节变量q 根据关节变量 i（i=1,2,3,…）的值，利用 ）的值， 运动学方程， 运动学方程，可以计算出手爪相对于基座 工作站）的位姿。 （工作站）的位姿。 通常把关节矢量构成的空间称为关节空间， 通常把关节矢量构成的空间称为关节空间， 而把手爪位姿构成的空间称为操作空间。 而把手爪位姿构成的空间称为操作空间。 由关节空间向操作空间的映射称为正向运 动学，其逆映射称为反向运动学。 动学，其逆映射称为反向运动学。
连杆参数及坐标系
（ 1） 需要用 ） 两个参数来 描述一个连 杆，即公共 法线距离a 法线距离 i和 垂直于a 垂直于 i所在 平面内两轴 的夹角α 的夹角 i； （2）需要另外两个参数来表示相邻两杆的关系，即两连杆 ）需要另外两个参数来表示相邻两杆的关系， 的相对位置d 和两连杆法线的夹角θ 如图所示。 的相对位置 i和两连杆法线的夹角 i，如图所示。