第三章-三维波动方程的定解问题-2

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§3.2 三维波动方程的定解问题
2u utt 20
a2
2u x 2
(x, y, z)
2u y 2
2u z 2
,
- x, y, z
u (x, y, z)
t t0
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球坐标下的三维波动方程
z
r
x r sin cos
y
r
sin
sin
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第三章：行波法与积分变换法
§3.2 三维波动方程的定解问题
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本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式 • 三维波动方程的定解问题 • 拉普拉斯变换法 • 傅立叶变换法 • 积分变换法举例
参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
y r sin sin
,
0
z
z r cos .
, 0 2 .
0y
x
d
dS r2
sin dd
球立体角元
dS r 2 sin d d 球 面 上 的 面 积 元
dV dSdr r 2dr sin d d 球 的 体 积 元
dV dSdr r 2dr sin d d 球 的 体 积 元 r 2drd 球 的 体 积 元
r
r 2
u r
a
2
2u r 2
2 r
u r
a2
1 rΒιβλιοθήκη 2 (ru) r 22 ru a 2 2 (ru)
以 ru为函 数的一维
t 2
r 2 波动方程
ru f1(r at) f2 (r at)
u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
(ru) u r u
r
r
(3.29)
上式中令r 0，得
u(0, t) F(a t) G(a t)
(3.30)
（3.28）式两边对t 分别求导，得
r u aF (r a t) aG(r a t) t
上式中令r 0，得
F(a t) G(a t)
上式的结果代入（3.30）式，得 u(0, t) 2F(a t)
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3) 依 据 初始 条 件 确 定F 、G ， 定 解—— 泊 松 公式 。
(3.28)式两边对 r 分别求导，得
r u (r,t) F(r a t) G(r a t) （3.28）
(r u ) u(r, t) r u F (r a t) G(r a t)
r
r
2 (ru) r 2
u r
u r
r
2u r 2
2u u r r 2 2 r
f1 、f2 是两个二阶连续可微的 函数，它们可以通过给 定的初始条件来确定。
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球对称解的物理意义
u(r,t) f1(r at) f2 (r at)
r
r
f1(r at) r
f2 (r at) r
(3.31) (3.32)
(3.33)
(r u) u(r,t) r u
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F (r a t) G(r a t)
(3.29)
r
r
r u aF (r a t ) aG(r a t) t
（3.31）式两边同除以a ，得
r u F (r a t) G(r a t) a t
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1) 引入球面平均值函数u(r, t)
它是 u(M ,t) 在以 M
为中心，r
为半径的球面
S
M r
上的平均值。
u (r,t) 1 u(M ,t)dS 1 u(M ,t)d
4 r 2 SrM
4 SrM
(3.23)
dS r 2 sin d d 球 面 上 的 面 积 元
能够证明（ru）满足一维波动方程
2ru(r,
t2
t )
a2
2ru(r,
r2
t )
其通解为：r u (r,t) F(r a t) G(r a t)
证明从略，可参考王元明书P65-67
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S
M r
M( ,, )
r
x r sin cos ,
M(x, y, z)
步骤：
y 1.以M点为中心，以r为半径作一
个球面
S
M r
x
2.求出波函数在球面上的平均值：
3.在 r 0 情况下求极限：
lim u (x, y, z,t, r) u(x, y, z,t)
r 0
u (x, y, z,t, r) 1
u(M ', t) dS
4 r 2 SrM
给出最后结果
M' 表示球面上的动点
d
dS r2
sin dd
球立体角元
显然：球半径r 和时间 t 是两个独立变量，u(r, t) 是它们的函数；
M 则是一个参变量；
u(r, t) 的自变量个数，比起u( x, y, z, t) 的自变量个数少，所以研究起来比较方便。
另 外 一方 面 ： 很 容 易看出 ，u(r, t) 和 我 们所 求 的 u(M , t) 有很密切的联 系：如果取 r 0，
以速度 a沿 r增加的方向 传播的波形 与以 f2 (r at) / r 相同速度沿r减小的方向 传播的波形 f1(r at) / r 的叠 加
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二、一般情况：泊松球面平均法
z
M'
M
r
目的：求任意 t 时刻在任意点M (x, y, z) 的波函数 u(x, y, z,t) u(M ,t)
y z r cos
x
2u t 2
a 2
2u x2
2u y 2
2u z 2
1 r2
r
r 2
u r
1
r 2 sin
s in
u
r2
1
sin 2
2u
2
1 a2
2u t 2
一、球对称情况
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球对称：u 与 , 无关，则波动方程可化简为
2u t 2
a2
1 r2
那
么
在
S
M r
上的 平均 值，也就 是u(M , t).
即 u(0, t) u(M, t).
(3.24)
因此，以下我们将先求出u(r, t) 。
S
M r
M( ,, )
r
M(x, y, z)
z
（这比求解u(M , t) 方便得多了）。 0 y x
2) 求出u(r, t) 的通解
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更进一步地，将（3.29）与（3.34）式相加，并令t 0，得
(3.31) (3.34)
即为
(ru ) r u 2F(r a t)
r a t t0
t0
2F(r) (ru ) r u
r a t t0
(3.35)
考 虑 到先 前 有 一 个动 作： 令 r 0， 得 到 了（3.33） ：