2.1.3 分层抽样

张喜林制

2.1.3 分层抽样

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考点知识清单

1．将总体中各个个体按某种特征分成若干个____的几部分，每一部分叫做 ，在各层中按____进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样． 2．当总体是由 组成时，往往选用分层抽样的方法． 3．分层抽样的优点是 ，

要点核心解读

1.分层抽样

(1)分层抽样的概念．

当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)分层抽样的步骤．

①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样（方法可以不同）；④汇合成样本． (3)分层抽样的特点及适用范围．

①分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的情况；②分成的各层互不重叠；③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即,N

n

其中n 为样本容量，N 为总体容量；④分层的各层采用简单随机抽样或系统抽样，

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是，在抽样过程中每一个个体被抽取的可能性相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性．其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法，抽样方法经常交叉起来应用，对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽样．

3．三种抽样中的数据关系和抽样的进一步理解 (1)三种抽样中数据之间的关系，

①在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样中，若总体个数为N ，抽取的样本容量为n ，则每个个体被抽取到的机会为,N

n

p

对于这三个待定系数，我们可以知二求一． ②若已知总体数，且样本容量已知，采用系统抽样（分层抽样）方法进行抽样，如果要剔除一些个体，那么需要剔除的个体数为总体数除以样本容量所得的余数． (2)对抽样进一步理解，

在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，则称这样的抽样为不放回抽样，简单随机抽样、系统抽样、分层抽样均属于不放回抽样，不放回抽样应用广泛．在抽样中，如果每次抽出个体后再将它放 回总体，则称这样的抽样为放回抽样，放回抽样在理论研究中用得较多．

简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，关系密切，对抽取样本来说，可谓异曲同工． 无论采取哪一种抽样方法，必须保证在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，

典例分类剖析

考点1分层抽样的概念

[例1] (1)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能人样，必须进行( )．

A ．每层等可能抽样．

B ．每层不等可能抽样

C ．所有层按同一抽样比等可能抽样

D ．所有层抽同样多样本，等可能抽样

(2)如果采用分层抽样，从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，那么每个个体被抽到的可能性为( )．

N A 1.

n B 1. N n C . n

N D . [试解]____．（做后再看答案，发挥母题功能）

[解析] (1)保证每个个侉等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特征．为了保证这

一点，分层时同一抽样比是必不可少的，故选C ．

(2)根据每个个体都等可能入样，所以其可能性为样本容量与总体容量的比，故选C ． [答案] (1)C(2)C

1．某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为().

25,5,15.A 15,15,15.B 30,5,10.C 20,10,15.D

考点2 分层抽样的步骤设计

[例2] 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人，教育部门为了了解学校机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出抽样过程．

[答案] 因为本题样本总体分成三类：行政人员、教师、后勤人员，符合分层抽样的特点，故选用分层抽样方法．

因为

,8116020=所以从行政人员中抽取28116=⨯（人），从教师中抽取148

1

112=⨯（人），从后勤人员中抽取=⨯8

1

324（人）．

因为行政人员和后勤人员较少，可将他们分别按1～16编号和1～32编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对教师从000，001，…，111编号，然后用随机数表法抽取14人．

[点拨] (1)当已知总体是由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常采用分层抽样法．

(2)分层抽样是将总体分成几层，分层进行抽取，抽取时可采用抽签法或随机数表法．

(3)分层抽样中每个个体被抽到的机会均等且均为

,N

n

弄清这一点才能进行分层抽样． [例3] 某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表：

电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？

[解析] 因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样，又由于持不同态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样法，而以分层抽样法为妥．

[答案] 可用分层抽样方法，其总体容量为12000.“很喜爱”占

,2400

487

120002435=应抽取

12240048760≈÷⨯（人）；“喜爱”占

,12000

4567

应抽取2312000456760=÷⨯（人）；“一般”占

,12000

3926应抽取2012000392660=÷⨯（人）；“不喜爱”占,120001072

应抽取5

12000107260=÷⨯（人）．因此采用分层抽样在“很喜爱”“喜爱”“一般”和“不喜爱”的2435人、4567人、3926人和

1072A 中分别抽取12人、23人、20人和5人．

[点拨] 本题的总体有明显的差异，应采用分层抽样的方法才能更准确的代表总体，另外，本题在确定每层的抽样人数时，采用了“≈”，其实质与在系统抽样中剔除个体的思想一致．

2．某中学有高一学生600人，高二学生500人，高三学生400人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为150的样本，每个年级应分别抽取多少人？ 考点3 三种抽样的比较

[例4] 为了考查某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩进行考查，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）．

①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考查他们的学习成绩； ②每个班都抽取1人，共计20人，考查这20个学生的成绩；

③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中抽取100名学生进行考查（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）． 根据上面的叙述，试回答下列问题：

(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？

(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽取样本的方法？

(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．[解析]本题主要考查数理统计中一些基本的概念和基本方法，做这种题目时，应该注意叙述的完整和条理．

[答案] (1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩，

第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20； 第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20； 第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.

(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．

(3)第一种方式抽样的步骤如下：

首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班，然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考查其考试成绩．

第二种方式抽样的步骤如下：

首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a ，然后在其余的19个班中，选取学号为a 的学生，共计20人． 第三种方式抽样的步骤如下：

首先分层，因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次．

然后确定各个层次抽取的人数．因为样本容量与总体的个数比为,10:11000:100 所以在每个层次抽取的个体数依次为

.25,60,15,10

250

,10600,10150即 再按层次分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．

[点拨] 仔细阅读题设，分清总体、样本容量，并观察其特点，选择最佳的抽样方法． 3．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．

(1) 30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个人样．

(2)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个人样．

(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个人样．

(4)有乙厂生产的300个篮球，抽取30个人样．

优化分层测训

学业水平测试，

1．某镇有四所中学，为了了解该镇中学生视力情况，用什么方法抽取人数（四所中学视力有一定的差距）

( )．

A ．抽签法

B ．随机数表法

C ．系统抽样法

D ．分层抽样法 2．下面属于分层抽样特点的是( )．’ A ．从总体中逐个抽取

B ．将总体分成几层，分层进行抽取

C ．将总体分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取

D ．将总体随意分成几个部分，然后再进行随机选取

3．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现在进行分层抽样抽取30人，则各职称人数分别为( )．

15,10,5.A 18,9,3.B 17,10,3.C 16,9,5.D

4．分层抽样适用于 的总体．

5．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=____．

6．某企业共有3200名职工，其中中、青、老年职工的人数比例为5:3:2，从职工中抽取一个容量为400的样本，应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？

高考能力测试

（测试时间：45分钟测试满分：100分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)，则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )． A ．分层抽样法，系统抽样法 B ．分层抽样法，简单随机抽样法 C ．系统抽样法，分层抽样法 D ．简单随机抽样法，分层抽样法 2．某地区为了了解居民家庭生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽

100

1

的居民家庭进行调查，这种抽样是( )．

A ．简单随机抽样

B ．系统抽样

C ．分层抽样

D ．分类抽样 3．（2008年重庆高考题）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )． A ．简单随机抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法 D ．分层抽样法 4．（2008年陕西高考题）某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分

层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )．． 30.A 25.B 20.C 15.D 5．（2009年陕西高考题）某单位共有老、中、青年职工共430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则 该样本中的老年职工人数为( )． 9.A 18.B 27.C 36.D 6．（2007年陕西高考题）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40

种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )．

4.A

5.B

6.C

7.D

7．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为l，2，…，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：

,

88

,

61

①

,

,7

34

,

115

223

,

142

;

,

250

196

169

,

,

,

111

,

107

,9,5

121

②

100

,

265

,

,

;

,

200

180

,

195

,

92

119

65

③

,

11

,

38

,

,

227

,

254

146

,

;

200

173

,

,

111

,

,

138

84

,

④

30

57

,

,

246

,

165

.

,

270

,

219

192

,

关于上述样本的下列结论中，正确的是( )．

A．②③都不可能为系统抽样

B．②④都不可能为分层抽样

C．①④都可能为系统抽样

D．①③都可能为分层抽样

8．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，则应在这三校分别抽取学生( )．

A.30人，30人，30人 B．30人，45人，15人

C．20人，30人，10人 D.30人，50人，10人

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题后的相应位置）

9．（2011年山东高考题）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为____．

10．（2007年浙江高考题）某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则应从中抽取高三学生的人数为．

11．（2010年上海高考题）将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5:3:2，若采用分层抽样抽取一个容量为100的样本，则应从C中抽取个个体．

12.（2009年天津高考题）某学院的A、B、C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情

况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取名学生，

三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

13. -批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样和分层抽样的方法，从

这批产品中抽取一容量为20的样本．

14.某地区共有5个乡镇，其人口比例为3:2:5:2:3，现要从总数为30000的人口中抽取300人进行某种疾

病的发病分析．已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问：应采取什么样的抽样方法？请写出具体过程．

15.某社区小学各班级人数如下表所示，学校计划召开学生代表座谈会，请根据上述基本数据设计一个样本容量为总体容量的

1

的抽样方案．

16.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%．登山组的职工占参加活动总人数的

,4

1

且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定：

(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．