电磁场课后习题第五章

Kx Bz dx 320T 0 4 ( x 2 52 ) B 0 (44.1e x 32e z )T
10
3-3 真空中一通有电流(密度 J J 0e z )、半径为 b 的无限长圆柱内，有一半径 为 a 的不同轴圆柱形空洞，两轴之间相距 d ，如图所示。求空洞内任一点的 B
0
3-7半径为 a ，长度为 l 的圆柱，被永久磁化到磁化强度为 M 0 e z ( Z 轴
就是圆柱的轴线)。
⑴求沿轴各处的 B 及 H;
⑵求远离圆柱 (
a, l )处的磁场强度。
解： 先分析该圆柱的磁化现象。由于是均匀磁 化， 0是常数。在圆柱内部磁化电流面密度为 M

0 J 0
2 0 J 0 x1 x1 h h [( 1 2 )e x ( 1 2 )e y ] 2 1 2 1 2 0 J 0 0 J 0 B ( x1 x2 )e y de y 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 式中为P点到x轴的垂直距离， x1 为1到x轴上的投影，x2 为 2在x轴上的投影，
3-8
有一圆形截面铁环，环的内外半径分别为 10cm 与 12cm ，铁环的 r
500
环上绕有50匝通有2A电流的线圈，求环的圆截面内外的磁场强度与磁感应强度(忽略漏
磁，且环外的磁导率为 0 )。
解： 从对称性分析，此题可用安培环路定律求解。圆环的截面之外即
10 及
12cm 处，作以圆环中心为圆心的安培环路，则
l
解： 利用安培环路定律
Hdl I
l
I (k n )dl 2aK0 e
l
H l 2aK0 d
l
3-6 如图所示的两个无限大电流片，试分别确定区域①、②、③中的 B ,H, M 。
设已知：⑴所有区域中 r 中
有
2 e x d d B1 0 J 0 ye x y 2 2 J d 0 0 ex d y 2 2 J J 0 e z 的无限长直圆柱产生的磁感应强度，也可利用安培环路定律求出
0 J 0 d
d y 2
B2＝
0 J 0 2
2
其方向也由右手螺旋法则判断，只是电流沿(e z ) 方向。若设大圆柱与小圆柱中
心连线为x的正方向，则P点的磁感应强度应为两圆柱各自在P点产生的磁感应强
度的矢量和
B B1 B2 B1x B2 x B1 y B2 y
J0 ez
和
( J 0 e z ) 的电流，求各点处的磁感应强度可视为 一个无限大均匀载流 J 0 e z 的平板与一个载流为 ( J 0 e z ) 的无限长直圆柱各自在该处产生的磁感
应强度的矢量和。
J J 0 e z 的无限大平板在该点产生的磁感应强度，可以利用安培环路定律求出
3 2
l l z z 0 M 0 2 2 1 1 2 2 2 2 l 2 2 l 2 a z a z 2 2
6 0.9980 80e y 100.9 10 e y T
H2 B2 80e y A / m

B2 M2 H 2 0.16e y A / m

⑵在区域①，③内与上面的结论一致，在区域②内
磁感应强度的方向沿 e z 的方向，故 z a
l l z z 0 M 0 2 2 B e 1 1 z 2 2 2 2 2 2 2 l l a z a z 2 2
dI m＝Kmdz=M 0dz
式中 dz是小圆环的宽度，每个小圆环电流在轴线上某点均产生磁感应强度。利
用圆环电流在其中心轴线一点的磁感应强度的表达式，可以写出 dI m 在轴线上产
生沿轴线方向的磁感应强度为
B
l 2 l 2
0 a 2 M 0 dz
a 2 z z 2 2
0.998 ；⑵区域②中 r 1000，区域①、③
0 。
解：⑴由于两个无限大电流片的电流方 向相反，因此在区域①，③内
H1 H 3 0 B1 B3 0 M1 M 3 0
在区域②内
K K B 2 B B ey ey 2 2 2 2
H2
B2

80e y A / m
B2 H 2 10000 80e y 0.1005e y T
B 2 M2 H 2 1000 80e y 80e y 79920e y A / m
垂直向下，大小为
2 0 I B cos 45 a 2 a

4 0 I
3-2
真空中，在
z 0 平面上的 0 x 10和 y 0 范围内，有以线密度
K 500e y A / m 均匀分布的电流，求在点(0,0,5)所产生的磁场感应强度。
解： 如图所示，选择 dI 无
kdx
0 J 0 a 2 2( x 2 y 2 ) [ yex xe y ] B2 0 J 0 [ ye xe ] x y 2
各处的场强为它们的矢量和
a a
B B1 B2
3-5 一电流密度为 K K0 e z 的无限大电流片，置于 x 0平面，如取 Z 0 平面上半径为 a的一个圆为积分回路，求 Hdl
Hdl 0
l
所以环的截面以外各处
B 0 ， 0。在环的截面内可认为磁场分布均匀，选 H
12 10 11cm 为半径，作一安培环路 2
Hdl NI
l
2 NI
第 5 章 恒定磁场
3-1四条平行的载流 I 无限长直导体垂直地通过一边长为 a 的正方形定点，求正
方形中心点P处的磁感应强度值。 解：利用无限长直导线，若有线电流 I通过，在真空中产
生的磁感应强度为
0 I B 2
再利用叠加定理可求出四条平行载流长直导线载 P点所产生的
磁感应强度。
由右手螺旋法则，可以判断出其方向如图所示
H
B
0
M
l l Z 时 2 2 l l z z M 0 2 2 H e M 0 ez 1 1 z 2 2 2 2 l 2 2 l 2 a z a z 2 2 l l 当 Z 或 Z 时，M 0 2 2 l l z z M 0 2 2 H e 1 1 z 2 2 2 2 a z 2 2 2 l a z 2
J M M e z 0
磁化电流线密度为
K m M en
其 e n为表面的法向方向。在圆柱的两个端面其外法线方向分别为 e z ，代入上 式可知端面上 K 0 ，不存在磁化电流线密度。在圆柱的侧面 e e ，故侧 m n
[( 1 sin 1 2 sin 2 )e x ( 1 cos 1 2 cos 2 )e y ]
d 为两圆柱轴线的距离。
3-4
真空中由一厚度为 d 的无限大载流(均匀密度
J 0 e z )平板，在其中心位置由
一半径等于 a的圆柱形空洞，如图所示。求各处的磁感应强度。 解： 与上题思路相同，假设空洞中存在
当
⑵当远离圆柱时，即
偶极矩
l z ， a 时，可将此圆柱视为一个磁偶极子，磁 2
2 m I m S e z M 0l a e z 它在空间中产生的磁场可用磁矩 m 表示为 0 m 0 a 2lM 0 2cos er sin e 2cos er sin e B 3 4 4r B B a 2lM 0 2cos er sin e H M 3 0 0 4r l 若仍求轴线上 z 上的磁感应强度，由于 r z ， 0， 1，则 cos sin 2 0M 0 a 2 0 m B e 3 3 z 2z 2 z
利用安培环路定律，半径为 b 的大圆柱在空洞内P点产生的磁感应强度大小为
BdS 0 JdS
S S
2 B1＝0 J 012
B1＝
0 J 0 1
2
其方向用右手螺旋法则判断，它以大圆柱轴线为中心，1为半径圆环的切线方 向。对半径为 a的小圆柱，在空洞内P点所产生的磁感应强度大小为
dBz dB sin
4 ( x 5 )
2 2
0 Kx
dx
利用叠加定理，P点的磁感应强度的x分量和z分量分别为
Bx
10
0
5 0 K dx 2 2 4 ( x 5 )
Bx
10
0
5 0 K dx 2 2 4 ( x 5 )
5 0 K 1 x 10 arctan 0 4 5 5 0 K arctan 2 44.10T 4
解： 若假设空洞处有一大小同为 J ，但流向
分别为 e 方向和 (e z ) z
方向的电流，这样
可将此问题视为半径为 b 的无限长圆柱内整 体载有电流 J
e 和半径为 a 的无限长圆柱内 载有电流 ( J 0 e z ) 的两个圆柱在P点产生的
0 z
磁感应强度的叠加。
，视为半
线长直导线，它在P点产生的磁感应强度的 大小为
1 0dI 0 K dB dx 2 2 4
其中
x 2 52
。由右手螺旋法则可判断 dB的方向，并将分解为x方向和z
方向两个分量
5 0 K dBx dB cos dx 2 2 4 ( x 5 )
面上的磁化电流线密度为
由此可见，要求永久磁化圆柱沿轴线的磁场，就是求磁化电流线密度 K m M 0 e
在空间沿轴各处的磁感应强度。圆柱面上的磁化电流可以视为若干个小圆环电 流，每个小圆环电流为
K m e z e M 0 e