二次函数图像和性质5

a x2
b a
x
c a
ax2b ax2ba22ba2a c
ax2ba2
4acb2 4a2
ax2ba2
4acb2 4a
所以抛物线 yax2bxc的顶点坐标是
b 4ac b2
2a
,
4a
，对称轴是直线 x b
2a
。
二次函数图像和性质5
例2 用公式法把 y 1x2 x5化为
2
2
yaxh2 k的形式，求出对称轴和顶点
轴。
答案：y2x12 5，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
二次函数图像和性质5
2．用配方法把抛物线 yax2bxc化为
yaxh2k 的形式。
把 yax2bxc变形为 yaxh2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ax2bxc0 ”类似．
二次函数图像和性质5
yax2
bxc
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
二次函数图像和性质5
（4）最值：
如果a＞0，当
x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b2
,
如果a＜0，当 x b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
4ac 4a
wk.baidu.comb2
;
二次函数图像和性质5
（5）增减性：
①若a＞0，当 x
二次函数图像和性质5
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
二次函数图像和性质5
解：列表 y 2x28x60 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
∴图象开口向上，顶点为（1，1）， 对称轴为：直线x=1
x … －1 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 5…
二次函数图像和性质5
y=x2－2x＋2
x=1
二次函数图像和性质5
4．二次函数 yax2bxc的性质：
（1）顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
二次函数图像和性质5
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由 于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x b ，故
2a
①若b＝0对称轴为y轴， ②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
b 2a
时，y随x的增大而增大；
当x
b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大。
二次函数图像和性质5
(6)抛物线 yax2bxc与坐标轴的交点 ①抛物线 yax2bxc与y轴的交点坐标 为（0，c） ②抛物线 yax2 bxc与x轴的交点坐标为 x1,0,x2,0，其中 x 1 , x 2 为方程ax2bxc0 的两实数根
y3x212x7，那么如何将抛物线 y 3 x 2的图 像移动，得到的 y3x212x7 图像呢？
那么一般地，函数y a x 2 的图象怎样平
移就得到 yax2 bxc 的图象呢？
二次函数图像和性质5
1．用配方法把 yax2bxc 化为
yaxh2k 的形式。
例1 用配方法把 y 1x2 3x5 化为
2
2
yaxh2 k的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解： y 1x2 3x5 1 x2 6x5 1 x26x995
2
22
2
1 2
x32
4
1 x 32 2
2
顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
二次函数图像和性质5
练习1 用配方法把 y2x24x7化为
yaxh2 k的形式，求出顶点坐标和对称
二次函数图像和性质5
(7)抛物线 yax2 bxc与x轴的交点情况 可由对应的一元二次方程ax2bxc0 的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴不相交 （相离）。
二次函数图像和性质5
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
二次函数图像和性质5
新课
我们复习了将抛物线 y 3 x 2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y3x22 5的图 象，将 y3x22 5 化为一般式为
坐标．
解：在 y1x2 x5 中，a1,b1,c5
2
2
2
2
b 1 1, 4acb241 25 21242
2a 21 2
4a
41 2
2
y1x122 ，
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
二次函数图像和性质5
练习2 用公式法把y2x28x6化成
yaxh2 k的形式，并求出顶点坐标和
对称轴。
答案：y2x222 ，顶点坐标为
26.1 二次函数图象和性质(5)
二次函数图像和性质5
复习提问 1．yaxh2 k 的顶点坐标是_（__h_，__k_）_，
对称轴是__直__线__x_＝__h_ 2．怎样把 y 3 x 2的图象移动，便可得到
y3x22 5 的图象？
二次函数图像和性质5
3．y3x22 5的顶点坐标是(－2，－5)，
（2，2）对称轴是直线 x＝2
二次函数图像和性质5
3． yax2bxc图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把 yax2 bxc
化为yaxh2 k的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对 称描点画图。
二次函数图像和性质5
例3 画出 y2x28x6 的图像，利用函 数图像回答： (1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
二次函数图像和性质5
y
·（2,2） y2x28x6
由图像知：
· · （1,0）
（3,0）
x
(1)当x＝1或x＝3时， y＝0；
(2)当1＜x＜3时，
y＞0；
(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；
x=2
(4)当x＝2时，
· · （0,－6）
（4,－6）
y有最大值2。
二次函数图像和性质5
练习3 画出 yx2 2x2 的图像。 解：y=(x－1)2＋1