基于非参数GARCH模型的一种波动率估计方法

案例13

基于非参数GARCH 模型的一种波动率估计方法

一、文献及研究综述

波动率（volatility ）是资产收益不确定性的衡量，它经常用来衡量资产的风险。一般来说，波动率越大，意味着风险越高。由于波动率在投资分析，期权定价等方面的重要性，近20年来一直是金融领域的一个研究热点，出现许多描述金融市场波动率的模型，最为典型的是Bollerslev （1986）提出的广义自回归条件异方差模型（GARCH 模型），而在实证中得到广泛应用的是其中的GARCH(1,1)模型，即条件方差不但依赖与滞后一期的扰动项的平方，而且也依赖于自身的滞后一期值，三者之间存在一种线形关系。针对三者之间的线形关系是否合适即能否用一种更有效的函数关系来描述的问题，人们进行了一些有意义的探索。Engel 和Gonzalez-Rivera(1991)采用半参数方法对条件方差进行建模，对扰动项的滞后值采取非参数形式，对条件方差自身的滞后值采用线形形式，两位的研究思路为人们以后的研究工作拓宽了思路。Peter Buhlmann 和Alexander J.MeNeil （2002）对三者之间的函数关系用一种非参数形式来描述，给出了一种全新的估计波动率的循环算法，并对这一全新的算法的可行性和有效性给出了证明，得出非参数形式的GARCH(1,1)对波动率的估计效果要强与参数形式的GARCH(1,1)。Antonio Cosma 和Fausto Galli （2005）利用Peter Buhlmann 和Alexander J.MeNeil 所提出的估计波动率的算法，对非参数形式的ACD 模型（Autoregressive Conditional Duration Model ）的久期(duration)进行估计，也得出用该估计算法的非参数形式比参数形式的ACD 模型的估计效果优越。

本文采用非参数方法中的非参数可加模型，对条件方差采用非参数可加模型GARCH(1,1)形式进行建模，即对条件方差的滞后值和扰动项的滞后值分别采用不同的函数形式进行建模。估计方法是基于Peter Buhlmann 和Alexander J.MeNeil(2002)对非参数GARCH 估计时的算法思想，采取模拟数据和真实收益率数据分别同参数形式的GARCH(1,1)采用极大似然估计结果进行比较。文章下面的结构是：第二部分是有关方法的描述。第三部分是模拟实验。第四部分是实证部分。第五部分是本文结束语。

二、方法描述

㈠ Bollerslev （1986）提出的标准的GARCH(1,1)形式：

t t z ε=

2101111()t t t t t V h h εααεβ---Ω==+⋅+⋅ （1）

其中，1t -Ω是时间的信息集，包含了1t ε-及其以前的信息，t ε是扰动项，t h 是条件方差，t z 是白噪声。为确保有条件的方差非负，1α和1β必须非负，且满足

111αβ+<才保证序列是宽平稳的。

传统的估计波动率的参数方法是对式（1）中的各个系数通过极大似然估计得到，本文对波动率的参数法估计亦采用此方法。

㈡本文的非参数可加GARCH(1,1)模型形式：

t t z ε=

11()()t t t h c f h g ε--=++ （2）

对式(2)进行如下推导： 221111(()())()()t t t t t t t c f h g z c f h g V εεε----=++⋅=+++

211(()())(1)t t t t V c f h g z ε--=++⋅-

因为：()0t E V =，cov[,]0,s t V V s t =<当，2111()()()t t t t E c f h g εε---=++， 这样就可以利用非参数方法对2t ε关于1t ε-和1t h -进行非参数回归。对可加模型的非参数回归方法不同与一般的非参数形式的回归，因为在可加模型中含有常数项，还要同时估计两个函数，在一定程度上给估计工作增添了难度，这里本文采用Hastie 和Tibshirani(1990)对广义可加模型估计时采用的Backfitting 算法。核函数采用高斯核，窗宽的选择方法是交错鉴定法（Cross-validation ）,采用局部多项式回归(Local Polynomial Regression)。

然而在实际应用中，波动率序列是不能被观测的隐含变量，怎样更好的逼近真实值的问题将在下面的估计算法中得到解决。

㈢估计算法：

本文的估计算法是基于Peter Buhlmann 和Alexander J.MeNeil(2002)对非参数GARCH 估计时提出的算法思想，具体思如下： 假设我们有一样本{:1t t n ε≤≤}具有GARCH 效应：

Step 1:首先采用极大似然估计进行参数估计得到波动率{t h }的估计{^,0;1t h t n ≤≤}，设m=1;

Step 2: 对2t ε关于1t ε-和^1,1t m h --做非参数回归，采用广义可加模型的Backfitting 循环算法分别得到函数f 的估计^m f ，g 的估计^m g 和c 的估计^m c ； Step 3: 通过^^^^^,1,11,1()()t m m t m t m m m h c f h g ε----=++计算出^,1t m h -的估计值^

,t m h ，对于^1,m h 的值可用^1,1m h -代替；

Step 4: m 的值加1然后返回setp 2;

最后，假设我们循环了M 次，为提高该算法的稳定性，将这M 次估计出的

波动率取平均值，即^^,*,1(1/)M t t m m h M h ==∑，然后运算最后一次非参数回归：对2t ε关于1t ε-和^1,*t h -的非参数回归得到f ，g ，c 的最终估计分别为^f ，^g ，^c ，然后用函数的最终估计形式求出波动率的最终估计值，^^^^^1,*1()()t t t t nph h c f h g ε--=++ 。

对于该算法能否向真实值逼近的问题，Peter Buhlmann 和Alexander J.MeNeil(2002)给出了证明，同时还指出经过少量的循环估计效果就会得到显著提高。

三、随机模拟实验

本文之所以采用随机模拟方法是因为对于给定的序列其真实的波动率是不可观测的，而借助计算机模拟手段可以控制程序在数据产生过程中输出真实的波动率序列，便于用参数法（极大似然估计）和非参数法估计出的波动率分别与真实波动率比较，评判两种方法的估计效果。

为了能更好地模拟金融市场上收益率等序列，捕捉到杠杆效应，本文按以下路径产生样本点：

1t t

z ε-= 2

11110.1(0.11{0}0.451{0})0.5

t t t t t h h εεε----=+⋅>+⋅≤⋅+⋅ 按此路径产生550个样本点，考虑到波动率初始值赋值的影响，舍弃前50个数据保留500个样本点，此过程在SAS9.0中实现。产生{t ε}后，分别利用极大似

然估计和前文提到的非参数可加模型对{t ε}的波动率{t h }进行估计，得到各自的波动率估计序列eh 和nph.。主要计算过程是在SAS9.0和matlab7.0中实现。 为了直观清楚地观察两种方法对波动率的估计效果，在数据产生过程中从中间随机截取了50个样本点的真实波动率。图1是标准GARCH(1,1)采用极大似然估计估计的波动率估计值与真实的波动率的比较图。图2是非参数可加GARCH 采用前文叙述的估计算法估计的波动率估计值与真实值的比较图。从图中可看出，非参数GARCH(1,1)的估计出的波动率与真实值的逼近程度要高于标准GARCH （1，1）模型。