对数函数及其性质第一课时

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2. 函数 y＝f(x)的图象同 y＝f(x± b 的关系(其中 a， a)± b>0)．
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(2013· 衡阳高一检测)函数 y＝loga(x＋2)＋1 的图象过定 点( ) A．(1，2) C．(－2，1) B．(2，1) D．(－1，1)
【解析】 令 x＋2＝1，即 x＝－1，得 y＝loga1＋1＝1， 故函数 y＝loga(x＋2)＋1 的图象过定点(－1，1)．
【答案】 D
人教A版必修一· 新课标· 数学 对数函数的定义域
求下列函数的定义域： (1)y＝ lg（2－x）； 1 (2)y＝ ； log3（3x－2） (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
【思路探究】 对于(1)首先要保证根式有意义，对于(2) 首先要保证分母不为 0，对于(3)要保证对数式有意义．
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x<2， －4x＋8>0， 1 (3)由题意得2x－1>0， 解得x>2， 2x－1≠1， x≠1. 1 故函数 y＝ log(2x － 1)(－4x＋8)的定义域为{x| <x<2 且 2 x≠1}．
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对数函数图象的识别
【练习2】已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能
是( )
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
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类型四 对数函数的图象变换
【例4】
象．
作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图
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解：第一步：作出y＝log2x的图象，如下图(1)． 第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位得y＝log2(x＋ 1)的图象，如下图(2)． 第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称
区间． 解：由题意易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原 点对称．因为f(－x)＝log2(－x)2 ＝log2x2 ＝f(x)，所以y＝log2x2 是偶函 数，它的图象关于y轴对称．当x>0时，y＝log2x2＝2log2x，因此先画 出y＝2log2x(x>0)的图象为C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2，C1与 C2构成函数y＝log2x2的图象，如右图所示． 由图象可以知道函数y＝log2x2的单调递减区间是(－∞，0)，单 调递增区间是(0，＋∞)．
25 4．已知函数 f(x)＝log5x，则 f(3)＋f( )＝________. 3 25 25 25 解析：f(3)＋f( )＝log53＋log5 ＝log5(3· )＝log525＝2. 3 3 3
答案：2
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5. 函数y＝loga(x＋1)－2 (a＞0, a≠1)
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1．函数y＝lg(x＋1)的定义域为( A．(0，＋∞)
) B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞)
解析：由x＋1>0可得． 答案：C
D．(－1,1)
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2．函数y＝log3x在[1,3]上的值域是( A．R C．[0,1] B．(－∞，1] D．[0，＋∞) )
把本例(1)变成“y＝
log1（2－x）”求定义域． 2
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【解】 由题意可知 log1（2－x）≥0， 2 2－x>0， log1（2－x）≥log11， 2 ∴ 2 2－x>0，
2－x≤1， ∴ 2－x>0，
即 1≤x<2. 故函数 y＝ log1（2－x）的定义域为{x|1≤x<2}． 2
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求与对数函数有关的定义域时应注意以下两点： (1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母 不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等． (2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底 数大于零且不等于 1；三是按底数的取值应用单调性，有针 对性的解不等式．
轴翻折到x轴的上方得y＝|log2(x＋1)|的图象，如下图(3)．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位， 得到y＝|log2(x＋1)|＋2的图象，如下图(4)．
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1．一般地，函数y＝f(x±a)±b(a、b为正数)的图象可由函数y＝ f(x)的图象变换得到．将y＝f(x)的图象向左或向右平移a个单位可得到 函数y＝f(x±a)的图象，再向上或向下平移b个单位可得到函数y＝
f(x±a)±b的图象(记忆口诀：左加右减，上加下减)．
2．含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换，一般地，y ＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部
分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的．
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【练习1】画出函数y＝log2x2的图象，并根据图象指出它的单调
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1．对数函数的定义：一般地，把函数y＝
logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数．
●想一想：如何判断一个函数是对数函
数？
提示：一个函数为对数函数的条件是：①
系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；③
自变量为真数．
人教A版必修一· 新课标· 数学 对数函数的图象和性质
解析：由y＝log3x在[1,3]上是增函数可知．
答案：C
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3.函数 y＝logax 的图象如右图所示， 则实数 a 的可能取值是( A．5 1 C. 3 1 B. 5 1 D. 2
)
解析：由图象知y＝logax为增函数，故a>1.只有A成立． 答案：A
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图 2－2－1
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4 3 1 A. 3， ， ， 3 5 10 4 1 3 B. 3， ， ， 3 10 5 4 3 1 C. ， 3， ， 3 5 10 4 1 3 D. ， 3， ， 3 10 5
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(2)函数 y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
对照 选项 ――→ y＝logax（a>0且a≠1）
符合 ――→ 即为对数函数
【自主解答】 (1)中真数不是自变量 x，不是对数函数． (2)中对数式后减 1，不是对数函数． (3)中 log7x 前的系数是 2，而不是 1.故不是对数函数． (4)中底数是自变量 x，而非常数，故不是对数函数． (5)符合对数函数的形式，是对数函数．
【问题导思】 在同一坐标系中 y＝log2x 与 y＝log1x 的图象如图所示． 2
你能大体说一下 y＝log2x 及 y＝log1x 的相关性质(定义 2 域、值域、单调性、奇偶性)吗？
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【提示】 定义域 值域 单调性 y＝log2x {x|x>0} y＝log1x {x|x>0} 2 R R 奇偶性
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1. 函数 y＝logax(a>0， a≠1)的底数 a 的变化对图象位 且 置的影响如下，如图所示：
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(1)上下比较：在直线 x＝1 的右侧，底数大于 1 时，底数 越大，图象越靠近 x 轴；底数大于 0 且小于 1 时，底数越小， 图象越靠近 x 轴． (2)左右比较(比较图象与 y＝1 的交点)：交点的横坐标越 大，对应的对数函数的底数越大．
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
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●想一想：如何利用指数函数的性质来解释对数函数的性质？ 提示：把指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)转化为对数式x＝logay， 把x和y互换即得对数函数y＝logax.
反函数
对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．
【解析】 设对数函数的解析式为 y＝logax(a>0 且 a≠1)， 又题意可知 loga4＝2， ∴a2＝4，∴a＝2， ∴该对数函数的解析式为 y＝log2x.
【答案】 A
人教A版必修一· 新课标· 数学 对数函数的图象
(1)如图 2－2－1 是对数函数 y＝logax 的图象， 4 3 1 已知 a 值取 3， ， ， ，则图象 C1，C2，C3，C4 相应的 a 3 5 10 值依次是( )
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第1课时 对数函数的概念、图象与性质
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目标要求 1.初步理解对数函数的概念．
2．掌握对数函数的图象和性质．
3．通过比较、对照的方法，对比指数函数，探索研究对数函 数的性质，学会研究函数性质的方法.
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复习引入
或 x>1}．
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对数函数的概念
指出下列函数中哪些是对数函数． (1)y＝logax2(a>0，且 a≠1)； (2)y＝log2x－1； (3)y＝2log7x； (4)y＝logxa(x>0 且 x≠1)； (5)y＝log5x.
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【思路探究】
的图象恒过定点
.
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6.已知函数y＝loga(x＋1) (a＞0, a≠1) 的定义域与值域都是[0, 1]，求a的值.
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7．求函数 y＝log2x＋
1 的定义域． log33x－2
x>0 2 2 解：由3x－2>0 ，得 <x<1 或 x>1，函数的定义域为{x| <x<1 3 3 3x－2≠1
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【自主解答】 (1)作直线 y＝1 如图所示， 显然该直线与 C1，C2，C3，C4 均相交，设 相应交点的横坐标分别为 x1，x2，x3，x4，则 x1＞x2＞x3＞x4. 又 logaa＝1，所以 x1，x2，x3，x4 的值即为 C1，C2，C3，C4 相应函数对应 a 的值．
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判断一个函数是对数函数必须是形如 y＝logax(a>0 且 a≠1)的形式，即必须满足以下条件 (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数． (3)对数的真数仅有自变量 x.
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若某对数函数的图象过点(4， 则该对数函数的解析式 2)， 为( ) A．y＝log2x C．y＝log2x 或 y＝2log4x B．y＝2log4x D．不确定
1. 指数与对数的相互转化 aFra bibliotek＝N logaN＝b.
2. 指数函数的图象和性质
a＞1
y y＝ax (a＞1) y＝1 x
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0＜a＜1
y＝ax (0＜a＜1) y (0,1) O y＝1 x
图 象
(0,1)
O
性
定义域 R；值域(0，＋∞) 过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
在R上是增函数 在R上是减函数 质 x＞0时，ax＞1; x＞0时，0＜ax＜1; x＜0时，0＜ax＜1 x＜0时，ax＞1
人教A版必修一· 新课标· 数学 对数函数的概念
【问题导思】 y＝2x 是指数函数，那么 y＝log2x(x>0)是否表示 y 是 x 的 函数？为什么？
【提示】 是． 由对数的定义可知 y＝log2x(x>0) x＝2y， 结合指数的运算可知，对于每一个 x 都有唯一的 y 与之对应， 故 y＝log2x(x>0)表示 y 是 x 的函数．
增函数 非奇非偶 减函数 非奇非偶
对数函数的性质：
a＞1
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0＜a＜1
图 象
y
O
y
x
O
x
性
定义域：(0, +∞)； 值域：R 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(0, 1)时，y>0 质 x∈(1, +∞)时，y>0. x∈(1, +∞)时，y<0.
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4 3 1 又 3＞ ＞ ＞ ，故图象 C1，C2，C3，C4 相应 a 的值为 3 5 10 4 3 1 3， ， ， . 3 5 10 (2)y＝lg(x＋1)的图象是由 y＝lg x 的图象向左平移 1 个单 位获得的，故 C 正确．
【答案】 (1)A (2)C