太原理工大学 高等代数第七章 7第七节 不变子空间

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的线性变换， 是 子空间. 设A是线性空间 的线性变换，W是A -子空间 是线性空间V的线性变换 由于W中向量在 下的 仍在W中 这就使得有可 由于 中向量在A下的像仍在 中，这就使得有可 中向量在 下的像 能不必在整个空间V中来考虑 ， 能不必在整个空间 中来考虑A，而只在不变子空 中来考虑 中考虑A，即把A看成是 的一个线性变换， 看成是W的一个线性变换 间W中考虑 ，即把 看成是 的一个线性变换， 中考虑 称为A在不变子空间 上引起的变换 为了区别起 区别起 称为 在不变子空间W上引起的变换 为了区别 在不变子空间 上引起的变换. 符号A|W来表示它；但是在很多情况下，仍 来表示它； 见，用符号 来表示它 但是在很多情况下， 然用A来表示而不致引起混淆 然用 来表示而不致引起混淆. 来表示而不致引起混淆
{
}
= (λ − λ1 )r1 L(λ − λi −1 )ri−1 (λ − λi +1 )ri+1 L(λ − λs )rs ,
及
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Vi=fi(A)V .
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值域. 由本节例 知道 知道V 则Vi是fi(A) 的值域 由本节例3知道 i是A-子空间 -子空间. 显然V 显然 i满足 (A-λiE)riVi=f(A)V={0} . {0} 下面来证明 下面来证明 V =V1⊕V2⊕L⊕Vs . 为此要证明两点， 为此要证明两点， 证明两点 第一点，要证V中每个向量α都可表成 第一点，要证 中每个向量 都可表成 α1+α2++αs=0，αi∈Vi ，i=1,2,L,s. ， L 第二点，向量的这种表示法是唯一的. 第二点，向量的这种表示法是唯一的 显然， 显然，(f1(λ), f2(λ),L,fs(λ))=1，因此有多项式 L ， u1(λ), u2(λ),L,us(λ)使 L 使
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整个空间V和零子空间{0} 对于每个线 {0}， 例1 整个空间 和零子空间{0}，对于每个线 性变换A来说都是 -子空间. 性变换 来说都是A-子空间 来说都是 例2 A的值域与核都是 -子空间 的值域与 都是A-子空间. 按定义， 的值域AV是 中的向量在 下的像 中的向量在A下的 按定义，A的值域 是V中的向量在 下的像 的集合，它当然包含 中向量的像，所以 是A 中向量的像 所以AV是 的集合，它当然包含AV中向量的 的不变子空间. 不变子空间 A的核是被 变成零的向量集合，核中向量的 的 是被A变成零的向量集合 变成零的向量集合， 因此核 像是零，自然在核中，因此核是A-子空间 是零，自然在核 -子空间.
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这一节介绍一个关于线性变换的重要概念 这一节介绍一个关于线性变换的重要概念— 关于线性变换的重要概念 不变子空间. 同时利用不变子空间的概念， 不变子空间 同时利用不变子空间的概念，来说明 线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系. 线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系 这 对前面的结果可以有进一步的了解. 样，对前面的结果可以有进一步的了解 定义7 是数域P上线性空间 定义 设A是数域 上线性空间 的线性变换， 是数域 上线性空间V的线性变换， W是V的一个子空间，如果 中的向量在 下的像 是 的一个子空间，如果W中的向量在 下的像 中的向量在A下的 仍在W中 换句话说，对于子空间W中任一向量 中任一向量ξ， 仍在 中. 换句话说，对于子空间 中任一向量 ， 有Aξ∈W，就称子空间 是A的不变子空间，简称 ∈ ，就称子空间W是 的不变子空间， A-子空间. -子空间
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2) 设V分解成若干个 -子空间的直和： 分解成若干个A分解成若干个 子空间的直和： V =W1⊕W2⊕L⊕Ws . 在每一个A-子空间W 中取基 在每一个 -子空间 i中取基 ε i1 ,ε i 2 ,L,ε ini (i = 1,2,L, s) (3) 并把它们合并起来成为V的一组基I. 则在这组基下， 合并起来成为 并把它们合并起来成为 的一组基 则在这组基下， A的矩阵具有准对角形状 的 A 1 A2 (4) O As 其中A 就是A|Wi在基(3)下的矩阵 下的矩阵 其中 i (i=1,2,L,s)就是 L 就是 下的矩阵.
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任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间. 数乘变换的不变子空间 例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间 这是由于，按定义子空间对于数量乘法是封闭的. 这是由于，按定义子空间对于数量乘法是封闭的 子空间对于数量乘法是封闭的 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密 的联系. 的联系 中任何一个非 设W是一维 -子空间，ξ是W中任何一个非 是一维A-子空间， 是 中任何一个 零向量，它构成W的一个基. 按A-子空间的定义， 的一个基 的定义， 零向量，它构成 的一个 -子空间的定义 Aξ∈W，它必定是 的一个倍数 ∈ ，它必定是ξ的一个倍数: Aξ=λ0ξ 这说明ξ是 的特征向量， 即是由ξ生成的一维 这说明 是A的特征向量，而W即是由 生成的一维 即是由 A-子空间. -子空间
如果线性空间 线性空间V 子空间W 结论 如果线性空间 的子空间 是由向量组 α1,α2,L,αs 生成的，即W=L(α1,α2,L,αs)，则W 是 L 生成的， ， A-子空间的<＝>Aα1,Aα2,L,Aαs全属于 -子空间的 ＝ 全属于W. 显然. 证明 (＝>)显然 ＝ 显然 (<＝)如果 1,Aα2,L,Aαs全属于 ，由于 中 ＝ 如果 如果Aα 全属于W，由于W中 L 每个向量ξ都可以被 1,α2,L,αs线性表示，即有 每个向量 都可以被α 都可以被 L 线性表示， ξ =k1α1+k2α2+L+ksαs . L 所以 Aξ =k1Aα1+k2Aα2+L+ksAαs∈W. L 证毕. 证毕
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必须在概念上弄清楚A与 必须在概念上弄清楚 与A|W的异同：A是V 的异同： 是 的线性变换， 中每个向量在变换 下都有确定的 中每个向量在变换A下都有 的线性变换， V中每个向量在变换 下都有确定的 不变子空间W上的线性变换，对于W 上的线性变换 像； A|W 是不变子空间 上的线性变换，对于 中任一向量ξ， 中任一向量 ，有 (A|W)ξ=Aξ 但是对于V中不属于W的向量η来说，(A|W)η是没 但是对于V中不属于W的向量η来说，(A|W)η是没 来说 有意义的. 有意义的 例如，任一线性变换在它的核上引起的变换 例如，任一线性变换在它的核 零变换0 而在特征子空间 特征子空间V 就是零变换 就是零变换 ，而在特征子空间 λ0上引起的变换 数乘变换λ 是数乘变换 0 .
下面我们应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V按 下面我们应用哈密尔顿 凯莱定理将空间 按 应用哈密尔顿 凯莱定理将空间 特征值分解成不变子空间的直和. 特征值分解成不变子空间的直和
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定理12 设线性变换 的特征多项式为f(λ)，它可 线性变换A的特征多项式为 ， 定理 分解成一次因式的乘积 分解成一次因式的乘积
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反之，如果线性变换 在基I下的矩阵是准对 反之，如果线性变换A在 下的矩阵是 线性变换 下的矩阵 角形(4)，则由(3)生成的子空间 生成的子空间W 角形 ，则由 生成的子空间 i是A-子空间 -子空间. 这个证明与1)相仿 留给大家回去作练习 这个证明与 相仿(留给大家回去作练习 相仿 留给大家回去作练习). 由此可知， 由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解 为不变子空间的直和是相当的. 为不变子空间的直和是相当的
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反过来， 是 属于特征值λ 属于特征值 反过来，设ξ是A属于特征值 0的一个特征向 以及它任一倍数 下的像 原像的λ 量，则ξ以及它任一倍数在A下的像是原像的 0倍， 以及它任一倍数在 下的 仍旧是ξ的一个倍数. 这说明ξ的倍数构成一个一维 仍旧是 的一个倍数 这说明 的倍数构成一个一维 A-子空间. -子空间 显然， 的属于特征值λ 的一个特征子空间 的属于特征值 特征子空间V 显然，A的属于特征值 0的一个特征子空间 λ0 也是A的不变子空间 也是 的不变子空间. 我们指出， -子空间的 还是A-子空间. 我们指出，A-子空间的和与交还是 -子空间 (证明留给大家回去作练习 证明留给大家回去作练习 证明留给大家回去作练习).
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(1)
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那么， 在这组基下的矩阵就 那么，A在这组基下的矩阵就具有下列形状
a11 L a1k a1, k +1 L a1n M ak 1 M M M M a kk a k ,k +1 L a kn a k + 1, k + 1 L a k + 1, n M M a n ,k +1 L a nn M = A1 O
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若线性变换A与 是可交换的 例3 若线性变换 与B是可交换的，则B的核 的 值域都是 子空间. 都是A与值域都是 -子空间 中任取一向量ξ 在B的核V0中任取一向量 ，则 的 B(Aξ)=(BA)ξ=(AB)ξ=A(Bξ)=A0=0 . 所以Aξ在 下的 是零， 下的像 这就证明V 所以 在B下的像是零，即Aξ∈V0. 这就证明 0是 ∈ A-子空间 在B的值域 中任取一向量 中任取一向量Bη ，则 -子空间. 的值域BV中任取一向量 A(Bη)=B(Aη)∈BV . ∈ 因此BV也是 -子空间. 因此 也是A-子空间 也是 因为A的多项式 是和A可交换 因为 的多项式f(A)是和 可交换的，所以 的多项式 是和 可交换的 所以f(A) 值域与 都是A-子空间. 这种A-子空间是经常 的值域与核都是 -子空间 这种 -子空间是经常 碰到的. 碰到的.
0 L 0 0 L 0
A3 A2
(2)
并且左上角的k级矩阵A1就是A|W在不变子空间W 并且左上角的 级矩阵 就是 在不变子空间 左上角 矩阵. 的基ε1,ε2,L,εk下的矩阵 L 下的矩阵
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这是因为W是线性空间V的 -子空间，所以像 这是因为 是线性空间 的A-子空间，所以像 Aε1,Aε2,L,Aεk仍在 中. 它们可以通过空间 的基 仍在W中 它们可以通过空间 空间W的 L ε1,ε2,L,εk线性表示 L Aε1=a11ε1+a21ε2+L+ ak1εk ， L Aε2=a12ε1+a22ε2+L+ak2εk ， L ……………………………， ， Aεk=a1kε1+a2kε2+L+akkεk . L 从而A在 矩阵具有形状 从而 在基ε1,ε2,L,εn下的矩阵具有形状 ，A|W在 L 下的矩阵具有形状(2)， 在 W的基 1,ε2,L,εk下的矩阵是A1. 的基ε 矩阵是 的基 L 下的矩阵 反之，如果在基 下的矩阵是 ， 下的矩阵 反之，如果在基(1)下的矩阵是 (2)，那么不难证 子空间W是 -子空间. 明，由ε1,ε2,L,εk生成的子空间 是A-子空间 L 生成的子空间
第七节 不变子空间
对于给定的n维线性空间V， p ， 对于给定的 维线性空间 ，AVp V，如何才 的一个基 关于这个 能选到V的一个 能选到 的一个基，使A关于这个基的矩阵具有尽 关于这个基 可能简单的形式. 由于一个线性变换关于不同基的 可能简单的形式 Fra Baidu bibliotek于一个线性变换关于不同基的 矩阵是相似的. 因而问题也可以这样提出 问题也可以这样提出： 矩阵是相似的 因而问题也可以这样提出：在一切 彼此相似的 阶矩阵中，如何选出一个形式尽可能 彼此相似的n阶矩阵中，如何选出一个形式尽可能 相似 简单的矩阵？ 简单的矩阵？
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下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间 下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间 的关系. 的关系
1) 设A是n维线性空间 的线性变换， W是V 是 维线性空间V的线性变换， 是 中取一组基 的A-子空间 在空间 中取一组基ε1,ε2,L,εk, 并且 -子空间. 空间W中取一组 L 把它扩充 扩充成 的 把它扩充成V的一组基 ε1,ε2,L,εk ,εk+1,L,εn .
f (λ) = (λ − λ1 )r1 (λ − λ2 )r2 L(λ − λs )rs
则V可分解成不变子空间的直和 可分解成不 V =V1⊕V2⊕…⊕Vs . ⊕ ri 其中 Vi = ξ | ( A− λi E) ξ = 0,ξ ∈V 证明 令 f (λ) fi (λ) = (λ − λi )ri