培优辅导专题3： 含参数函数不等式恒成立问题

专题三 含参数函数不等式恒成立问题

不等式问题是数学中的重要内容之一，而含参数函数不等式恒成立问题又是重点中的难点．这类问题既含参数又含变量，与多个知识有效交汇，有利于考查学生的综合解题能力，检验学生思维的灵活性与创造性，这正符合高考强调能力立意，强调数学思想与方法的命题思想，因此恒成立问题成为近年来全国各地高考数学试题的一个热点．

模块1 整理方法 提升能力

处理含参数函数不等式（一个未知数）恒成立问题，从方法上，可考虑分离参数法或猜想+最值法（必要条件法）．如果使用分离参数法，则猜想是没有作用的，对于难一点的分离参数法，可能要使用多次求导或洛必达法则．如果使用猜想法，则后续有3种可能：一是猜想没有任何作用；二是利用猜想减少分类讨论；三是在猜想的基础上强化，从而得到答案．从改造的形式上，解答题优先选择一平一曲，可利用分离参数法转化为一平一曲两个函数，也可以把函数化归为一边，考虑函数的图象与x 轴的交点情况（本质上也是一平一曲）．

洛必达法则

如果当0x x →（0x 也可以是±∞）时，两个函数()f x 和()g x 都趋向于零或都趋向于无穷大，那么极限()()

lim

x x f x g x →可能存在，也可能不存在．如果存在，其极限值也不尽相同．我们

称这类极限为

00型或∞

∞

型不定式极限．对于这类极限，一般要用洛必达法则来求． 定理1：若函数()f x 和()g x 满足条件： （1）()()0

lim lim 0x x x x f x g x →→==．

（2）()f x 和()g x 在0x 的某个去心邻域内可导，且()0g x '≠． （3）()()

lim

x x f x g x →存在或为无穷大．

则有()()

()

()

lim

lim

x x x x f x f x g x g x →→'='． 定理2：若函数()f x 和()g x 满足条件： （1）()()0

lim lim x x x x f x g x →→==∞．

（2）()f x 和()g x 在0x 的某个去心邻域内可导，且()0g x '≠．

（3）()()

lim

x x f x g x →存在或为无穷大．

则有()()

()

()

lim

lim

x x x x f x f x g x g x →→'='． 在定理1和定理2中，将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则． 使用洛必达法则时需要注意： （1）()()

lim

x x f x g x →必须是

00型或∞

∞

型不定式极限． （2）若()()0lim x x f x g x →''还是00型或∞

∞

型不定式极限，且函数()f x '和()g x '仍满足定理中()f x 和()g x 所满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即()()

()()()

()

0lim

lim

lim x x x x x x f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''． （3）若无法判定()

()

f x

g x ''的极限状态，或能判定它的极限振荡而不存在，则洛必达法则失

效，此时，需要用其它方法计算()()

lim

x x f x g x →．

（4）可以把定理中的0x x →换为0x x +→，0x x -

→，x →+∞，x →-∞，此时只要把定

理中的条件作相应的修改，定理仍然成立．

例1

已知函数()ln f x x kx k =-+（k ∈R ）． （1）求()f x 在[]1,2上的最小值；

（2）若1ln 1x a x x ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪-⎝⎭

对()1,1x ∈-恒成立，求正数a 的最大值．

【解析】（1）定义域为()0,+∞，()11

kx f x k x x

-+'=

-=

． ①当0k ≤时，()0f x '>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦． ②当0k >时，由()0f x '>可得10x k <<

，由()0f x '<可得1x k >，所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭

上递增，在1,k ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上递减．于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或()2ln 2f k =-．

（i ）当0ln2k <-，即0ln2k <<时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦． （ii ）当0ln2k ≥-，即ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．

综上所述，当ln2k <时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．

（2）令[)0,1t x =∈，则1ln 1x a x x ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪-⎝⎭

对()1,1x ∈-恒成立1ln 1t at t +⎛⎫⇔≥ ⎪-⎝⎭对[)0,1t ∈恒成立．

法1：（分离参数法）当0t =，不等式恒成立，于是1ln 1t at t +⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭

对[)0,1t ∈恒成立

1ln 1t t a t

+⎛⎫

⎪-⎝⎭⇔≤

对()0,1t ∈恒成立． 令()1ln 1t t G t t +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=，则()2221ln 11t t t t G t t +⎛⎫

- ⎪--⎝⎭'=，令()221ln 11t t H t t t +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，则

()()

()2

2

2

2

22222240111t t H t t t t +'=

-=>---，所以()H t 在()0,1上递增，于是()()00H t H >=，即()0G t '>，所以()G t 在()0,1上递增．

由洛必达法则，可得()20021lim lim 21

t t t G t ++→→-==，于是02a <≤，所以正数a 的最大值为2．

法2：（不猜想直接用最值法）构造函数()1ln 1t F t at t +⎛⎫

=- ⎪-⎝⎭

，则

()222

2211at a

F t a t t +-'=-=

--． ①当20a -≥，即2a ≤时，()0F t '>，所以函数()F t 在[)0,1上递增，所以

()()00F t F ≥=．

②当20a -<，即2a >时，由()0F t '<

可得0x ≤<

所以函数()F t

在⎡⎢⎣

上递减，于是在⎡⎢⎣

上，()()00F t F ≤=，不合题意． 综上所述，正数a 的最大值为2．

法3：（先猜想并将猜想强化）由常用不等式ln 1x x ≤-（0x >）可得