电弧等离子体光谱诊断中Abel反变换的实现

对于电弧等离子体 , 从其辐射光谱中可以接收 到被测对象的丰富信息 . 由光谱理论可知, 光谱强度 与电弧内部的温度、 粒子浓度和成分等存在密切关 系 , 即光谱强度与电弧这一热力学系统的全部状态 参量存在函数关系 . 但是获取的光谱强度都是积 分值, 无法直接得到点位的光谱强度 , Abel 反变换 就是转化积分值必不可少的方法 . 现有文献中对 Abel 反变换的计算方法很多 , 江 少恩等 利用快速傅里叶变换 ( F FT ) 利 Hankel 变
Inverse Abel Transform in Spectrum Diagnosis of Arc Plasma
ZH U Dan-p ing 1 , SH A O H ua1 , W U Y i x iong 1, 2 ( 1. Inst . o f Wel ding & Eng . , Shang hai Jiaot ong U niv . , Shanghai 200030, China; 2. St at e Key L ab . of Met al M atr ix Co mpo sit es , Shanghai Jiaot ong Univ . , Shang hai 200030) Abstract: T he t ransm ission spectrum includes the st at e paramet er s of arc plasma. T he m ost import ant pl asma param et ers, such as t emper at ure dist ribut ion, vel ocit y of part icles, and ingr edient , can be got t hr oug h spect rum diagnosis . Abel inversion is t he mo st im port ant process in spectr um diag nosis. Int egral singularit y is a diff icult problem in Abel inversion. In t his paper, a calculat io n method w as put f orw ard t o t he A ble inversion based on cubic spl ine int erpolat io n theory and cosine t ransfo rm. T his met ho d g ot some breakt hr oug h in solv ing t he pr oblem o f int egral singularit y. It prov ed to be o f go od accuracy and easy t o realize t hr oug h experiment s . Key words: arc plasm a; spect rum diagnosis; Abel inversio n; cubic spl ine interpolat ion
作者简介 : 朱丹平 ( 1972-) , 男 , 江苏丹阳人 , 博士生 , 主要研究方向为精细等离子弧、 电弧物理、 高能密度连接方法等 . 吴毅雄 ( 联系人 ) , 男 , 教授 , 博士生导师 , 电话 ( Tel. ) : 021-62932585; E -mail: yxw u@ s jt u. edu . cn.
1
∫
0
arccos
r R
dI ( y ) d dy cos
( 4)
数值分析证明该方法可以有效解决积分 奇异点问 题 . 也可以 利用该 式对 整个 区间的 数据 点进 行 Abel反变换, 但是精度较差 . 1. 4 变换中心奇异点的处理 在弧柱中心处 ( 也就是 Abel 反变换中心 奇异 点) 计算偏差相当大, 此时考虑将所 得数据沿 x 轴 左移几格, 作为新的坐标原点 , 按照上述方法计算 , 最后再去除所得这几个点的 I ( x ) 的值即可 . 降低了 边缘的函数梯度 , 使三次样条算法在 Abel 反变换的 计算中精度更高 .
2 2
∫Biblioteka Baidu
R r
( r ) rd r 2 2 r - y
( 2)
式 ( 2) 就是著名的 Abel 变换 . I ( y ) 可由诊断设备测 得 , ( r ) 则需要求得, 于是对上式进行反变换得 ( r) = 1
∫
dI ( y ) dy dy y2 - r2
( 3)
1. 2 三次样条插值计算 Abel 反变换的思路 基于三次样条插值理论 , 在离散数据点之间 , 将 I ( y ) 由三次 样条多项式 代替, 这 样每个子 区间的 dI ( y ) / dy 便可以快速得到. 实际数据处理中, 首先将等离子弧的图像数据 输入计算机, 通过 Mat lab 软件将这些数据转换成数 值矩阵 . 过滤掉由实验条件、 背景杂波等原因造成的 噪音数据点, 取出该矩阵的某一行数据. 对这些数据 点分段 , 也就是从中心点开始每隔数个点取一个插 值区间 . 在每一个小的插值区间之内由三次样条算 法得到一个插值函数, 利用这两个点的数值分别作 为积 分下 限, 进行 Abel 逆 变换 , 可得到 对应 点的
图 2 几种 A bel 反变 换计算方法的比较 F ig . 2 Co mpariso n betw een some metho ds on A bel inver sio n
由图 2 可见, 基于对数值求导的离散正则化处 理以及带权的 Gauss 积分相结合的正则 反演算法 精度最高 . 本文算法虽然精度稍差 , 但是误差也基本 上控制在 1% 以内, 一般工程上的要求能够满足. 而 且本文算法简单易实现计算机程序编制 , 对于数据 量较大的应用有明显的优势.
1. 1 Abel 反变换的理论 等离子弧弧柱是近似轴向对称的 , 顺着弧出射 方向画出某一切面的结构图 , 如图 1 所示 . 可见 , 观 察点 B 的辐射强度值实际上是沿弦 A A ′ 的弧柱内 部各点辐射强度的积分值.
奇异点, 无法积分. 引入代换 y = r / cos , 这样式( 3) 就可以转化为 ( r) = [ 5]
图 1 A bel 反变换示意图 F ig . 1 Sket ch map of A ble inver sion
1. 5 数值计算结果及分析 为验证上述方法 , 对单峰型函数 y ( x ) = 1 000( 1 - x ) ( r ) = ( 2 000/ ) ( 1) 1 - r2
2
对于非均匀、 柱对称光学薄的等离子体 , 其辐射 强度( I ) 与发射系数 ( ) 的关系为 I( y) = 2
( 5) ( 6)
进行验证 . 与该函数相应的 Abel 变换的精确解为 取中心右半部分 31 个等分点分析 , 并且令弧柱半径 R = 1. 0. 本程序验算以及与文献 [ 4] 中算法、 正则反 [ 3] 演算法 所得解的对比如图 2 所示 .
∫( r) d r
0 R y
x
由 于 I ( R ) = 0( R 为 等离 子 弧的 弧 柱半 径 ) , r = x + y , 则式( 1) 可改写为 I( y) = 2
1956
上 海 交 通 大 学 学 报
第 38 卷
2 讨 论
( 1) 三次样条的函数近似计算对于曲线梯度变 化相当敏感. 从上述函数中心点附近的验证值可以 看出 , 当与中心的距离逐渐加 大时, 由于梯度的下 降 , 所得到的值才与精确值接近 . 按照程序的设计思 想对某一图像进行操作 , 人工提取程序中所要用到 的插值点, 绘出图像发现, 出现负值的地方对应图像 的正是梯度比较大的地方 , 说明这种近似算法在实 际应用中不可避免地会出现误差 . ( 2) 某一区间的插值函数其两个端点的一阶、 二阶导数值对计算可能有很大的影响 . 在确定插值 点以后 , 作为前一个插值区间和后一个插值区间的 交点, 三次样条算法要求在这个点的一阶、 二阶导数 值相等 , 也就是说 , 前一个插值区间的插值函数在该 点的一阶、 二阶导数值与后一个插值区间在该点的 一阶、 二阶导数值应该相等 . 如果所选定插值点的左 右的一阶、 二阶导数值不能满足三次样条算法的要 求 , 就会出现计算上的明显误差 . 而所验证的上述单 峰型函数本身却可以保证各个点的左右一阶、 二阶 导数值相等, 所以验证值才与精确值比较符合.
电弧等离子体光谱诊断中 Abel 反变换的实现
朱丹平 , 邵 华 , 吴毅雄
1 1 1, 2
( 1. 上海交通大学 焊接工程研究所 , 上海 200030; 2. 上海交通大学 金属基复合材料国家重点实验室 , 上海 200030) 摘 要: 基于三次样条插值理论, 结合余弦变换, 提出一种 Abel 反变换的数值计算方法 , 在处理积 分奇异点的问题上取得了一定的突破, 较好地解决了积分奇异点问题. 在 Mat lab 软件平台上实现 了该计算方法 , 对单峰型函数的数值计算结果表明, 该方法具有计算精度高, 算法简便易行的特点 , 在实验分析计算过程中有较好的应用前景 . 关键词: 电弧等离子体; 光谱诊断 ; Abel 反变换; 三次样条插值 中图分类号: O 539 文献标识码: A
收稿日期 : 2003-11-13
[ 2] [ 1]
换的算法数值求解 Abel 反变换 ; 肖 庭延等[ 3] 基于 T ikhonov 的正则化思想 , 将 Abel 变换的理论反演 公式与对数值求导的离散正则化处理以 及带权的 Gauss 积分相结合 , 给出了 Abel 变换数值反演的算 法; 普小云等[ 4] 基于反演公式给出采用分段三阶多 项式插值的算法 . Abel 反变换计算中的难点是积分 式中的奇异点问题 , 现有的算法很多都忽略了该问 题, 而且普遍精度不高. 基于三次样条插值的理论 , 本文提出一种具有
换计算问题. 参考文献 :
[ 1] 过增元 , 赵文华 . 电弧 和热等离子体 [ M ] . 北京 : 科学出 版社 , 1986. 281- 321. [ 2] 江少恩 , 刘忠礼 , 唐道源 , 等 . 基于快速傅 里叶变换和汉 克 尔变换的逆阿贝尔 变换 [ J ] . 光学学报 , 1999, 19( 5) : 660- 664. JIA NG Shao en, L IU Zhong li, T A N G Dao yuan et al . Inv er ted Abel tr ansfor m based on FF T and Hankel tr ansfo r m [ J ] . Acta Optica Sinica , 1999, 19 ( 5) : 660- 664. [ 3] 肖庭延 , 宋金 来 . A bel 变 换数 值反 演的 离散 正则 化方 法 [ J ] . 计算物理 , 2000, 17( 6) : 602- 610. XIA O T ingy an, SO N G Jinla i. A discr ete r eg ular izatio n met ho d fo r the num erical inver sion of A bel tr ansfor m [ J] . Chinese Journal of Computational Physics , 2000, 17( 6) : 602- 610. [ 4] 普小云 , 熊 烨 . 任意等 Abel 反演变 换系数 计标 [ J] . 计算物理 , 1996, 13( 2) : 181- 189. PU X iao yun , XIO N G Y e. Calculatio n o f Abel inver se transfor mation coefficients any equidist ant discr etization [ J ] . Chinese Journal of Computational Physics , 1996, 13( 2) : 181- 189. [ 5] 邵其 , 何 煜 , 郭文康 , 等 . 直流等离子 体弧温度测量 与模 拟计 算 结果 的比 较 [ J ] . 物 理学 报 , 1999, 48( 9) : 1691- 1700. SHAO Q iyun, HE Yu, GU O Wenkang , et al . Co mpar iso n o f r esults obtained fro m temperatur e m ea sur ement and numer ical simulatio n o f D C P lasma A rc [ J ] . Acta Physics Sinica, 1999, 48( 9) : 1691- 1700.
第 11 期
朱丹平 , 等: 电弧等离子体光谱诊断中 Abel 反变换的实现 ( r) . 1. 3 积分奇异点的处理
1955
较高精度、 较好程序实现性以及有效解决积分奇异 点问题的新算法, 对 Abel 反变换进行计算.
在每一个分段中, y = r 时, 积分计算中遇到了
1 三次样条插值计算 Abel 反变换的 原理
第 38 卷 第 11 期 2004 年 11 月
上 海 交 通 大 学 学 报
JO U RN A L O F SHA N GHA I JIA O T O NG U N IV ERSIT Y
V ol. 38 N o. 11 N ov. 2004
文章编号 : 1006-2467( 2004) 11-1954-03