自适应均衡器的论述与仿真设计
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nk
y kTs t0 ak h t0 an h k n Ts t0 nR kTs t0
t 0 是除第 k
1-7
a hk nT
nk n
s
个码元以外的其他码元的波形在第 k 个抽样时刻上
的总和， 它对当前码元 a k 的判决起着干扰的作用， 所以称为码间干扰值。 由于 a n 是以概率出现的， 所以通常码间干扰值是一个随机变量。 第三项 nR kTs t 0 是输 出嗓声在抽样时刻的值，它是一种随机于扰，也要影响对第 k 个码元的正确判 决。 由于码间干扰和随机嗓声的存在，当 ykTs t 0 加到判决电路时，对 a n 取值 的判决可能判对， 也可能判错。 例如在二进制数字通信中，a n 的可能取值为 “0” 或“1” ，判决电路的判决门限为 V0 ，且判抉规则为
即均衡器的传输函数满足：
1-11
通常将发送滤波器和接收滤波器设计成匹配的，而均衡器用来补偿信道的畸变，
GE w
1 1 j w e C w C w
1-12
均衡器通常是用滤波器来实现的，使用滤波器来补偿失真的脉冲，判决器 得到的解调输出样本，是经过均衡器修正过的或者清除了码间干扰之后的样本。 自适应均衡器直接从传输的实际数字信号中根据某种算法不断调整增益， 因而能
6 / 11
其中 en d n yn 为滤波器输出与期望信号的误差函数。上式就是 LMS 算法 抽头系数的更新公式，容易验证。 J n 是J n 的无偏估计， 通过上面的讨论可以总结出 LMS 算法的具体步骤如下： 步骤 l ：初始化抽头系数矢量 wn 0,0....T , n 0 ； 步骤 2 ：当 n=n+1 时 计算滤波器输出 yn w H xn ， 计算误差函数 en d n yn ， 更新滤波器抽头系数矢量 wn wn 1 ne nxn, 利用上面给出的 LMS 算法和横向结构均衡器，用 matlab 对 LMS 算法进行了 仿真,传输信道假设为两种：1.截止频率为 500Hz 的低通信道；2.多径信道。信 道中可加入指定的均值为零的高斯噪声，在第 2 秒信道发生变化。图 1-3-1-图 1-3-10 显示了均衡输出误差、均衡输出前后相应的眼图、以及抽头数的多少对 均衡效果的影响。 仿真结果表明，随着均衡器抽头数的增加均衡输出眼图的汇聚程度
图 1-2 自适应均衡器的基本结构 逆模拟用一个自适应横向滤波器(LMS 滤波器)， 由于输入 x(k)的信号带宽受 信道带宽的限制， 因而， 自适应滤波器仅需在信道的通带内去均衡信道的振幅和 相位特性。如果能知道信道的输入，并考虑到整个系统的延迟，就可得到期望响 应 d(k)，但是一般是难于获得的。周期性地中断信息传输，发射一些已知的码 序列，便可以进行自适应调整。
下面讨论自适应均衡器的具体实现。 我们知道信道均衡器均衡器的作用是在信道通带内 形成一个信道传输函数的逆，而在通带之外它的增益则很小或者为零。因而，由信道和均衡 器级联组成的系统在通带内有基本均匀的振幅特性， 而带外基本为零， 相位响应在带内是频 率的线性函数。如果条件满足，联合冲激响应就是辛格函数，符号间干扰可以消除。自适应 调整也解决了信道本身未知，时变的特性所带来的困难。下图 4.1 为自适应均衡器的基本结 构。 SHAPE \* MERGEFORMAT
1-15
5 / 11
由梯度的定义可以得出，代价函数相对于滤波器抽头系数矢量 w 梯度为
k J n 2E xn k e n
2E xn k d n W H
定义梯度矢量为
def
xn, k 0,1,...，M 1
1-16
J n 0 J n, 1 J n,...., M 1 J n
J n 2 xnd n xn xnwn
H
1-24
将上式代入(1-22)可得
wn wn 1 n xnd n X n xnwn
H
wn 1 ne nxn
1-25
1-10
该条件称为奈奎斯特第一准则。它为我们提供了检验一个给定系统特性 H(w)是 否产生码间干扰的方法。 理论和实践证明， 在数字通信系统中插入一种可调滤波器可以校正和补偿系 统特性，减少码间干扰的影响。这种起补偿作用的滤波器称为均衡器。
由图可知,整个数字通信系统总的传输特性为
H w GT wCwGR wGE w
wn wn 1
1 系数 为了使得到的更新公式更加简单 2
1 n J n 1 2
1-22
将式（1-20）代入（1-22）可得抽头系数矢量的更新公式为
wn wn 1 nrxd Rxx wn 1
1-23
从上式中可以看出，滤波器抽头系数矢量的更新迭代与 rxd 和 R xx 有关，而实 际的信号处理过程中, rxd 和 R xx 都不是能够先验知道的，因此通常用梯度的估计 值 J n 1 来代替 J n 1 .
3 / 11
适应信道的随机变化， 使均衡器总是保持最佳的工作状态，从而有更好的失真补 偿性能。 时域均衡器可以分两大类： 线性均衡器和非线性均衡器。如果接收机中判决 的结果经过反馈用于均衡器的参数调整，则为非线性均衡器；反之，则为线性均 衡器。在线性均衡器中，最常用的均衡器结构是线性横向均衡器，它由若干个抽 头延迟线组成，延时时间间隔等于码元间隔 。非线性均衡器的种类较多，包括 判决反馈均衡器(DFE)、最大似然(ML)符号检测器和最大似然序列估计等。均衡 器的结构可分为横向和格型等。因为很多数字通信系统的信道(例如无线移动通 信信道)特性是未知和时变的，要求接收端的均衡器必须具有自适应的能力。所 以，均衡器可以采用自适应信号处理的相关算法，以实现高性能的信道均衡，这 类均衡器称为自适应均衡器。
a hk nT
nk k
s
t0 0
1-8
由于 a n 是随机的，要想通过各项相互抵消使码间干扰为 0 是不行的，这就需要 对 ht 的波形提出要求，如果相邻码元的前一个码元的波形到达后一个码元抽样 判决时刻时己经衰减到 O,就能满足要求。但这样的波形不易实现，因为实际中
H we jwdw
1-5
ht 是单个 作用下， w 形成的输出波形。因此在 序列 d t 作用下，接收滤
波器输出信号可表示为
yt d t ht nR t an ht nTs nR t
n
1-6
以及输入矢量和抽头系数矢量：
T
1-17
xn xnxn 1.....xn M 1
T
1-18 1-19
wn w0 nw1 n.....wM 1 n
则式（1-17）可以写作以下矢量形式：
T
J n 2E xn d n X H wn
1 Wopt Rxx rxd
1-13
式中 R xx 是输入信号矢量 xn 的互相关函数， rxd 是输入信号矢量xn 与期望信号 矢量 d n 的互相关函数。直接求解式（1-13）的运算量非常大，尤其当滤波器的 抽头系数个数比较多时。 考虑如图 1.2 所示的自适应 FIR 滤波器。
1 ” 当 ykTs t 0 V0 时,判 a k 为“ ；当 ykTs t 0 V0时，判ak 为“0”；
显然， 只有当码间干扰值和嗓声足够小的时候，才能基本保证上述判决的正 确，否则．有可能发生错判，造成误码。因此，为了使误码率尽可能的小，必须 最大限度的减少码间干扰和随机噪声的影响。由式（1-7）可知．若想消除码间 干扰，应该有
。 。 。
+ -
图 4.2 自适应 FIR 滤波器 令
en d n yn d n W H X n
表示滤波器在 n 时刻的误差,并定义均方误差
1-14
J n
为代价函数。
de
2 2 E en E d n W H xn
图中 , a n 为发送滤波器的输入符号序列 , 在二进制情况下 , a n 取值为 0,1 或 -1,+1.为了便于分析方便,假设 a n 所对应的信号 d t 的间隔为 s ,强度由 a n 决 定的单位冲击序列,即
图 1-1 数字基带信号传输系统模型
d t an t nTs
2rxd 2Rxx wn
最广泛使用的自适应算法形式为“下降算法”：
1-20 1-21
wn wn 1 nvn
第 n 步迭代的更新方向矢量。
式中 wn 是第 n 步迭代的系数矢量， n 是第 n 步迭代的更新步长，而 v(n)是 最常用的下降法为梯度下降法，又称最陡下降法。在这种算法里，更新方 向矢量 v(n)取作第 n-1 次迭代的代价函数 J（n-1）的负梯度，即最陡下降法的 统一形式为
4 / 11
LMS（Least Mean Square）算法最早由 Widrow 于 1960 年建立。采用最小均 方算法的均衡器比迫零算法均衡器要稳定一些， 它所采用的准则是使均衡器的期 望输出值和实际输出值之间的均方误差(MSE)最小化的准则。 由 Wiener 滤波理论 可知，滤波器的最优抽头系数矢量可表示为
hkTs
1, k 0 0, k为其他整数
1-9
式 （1-9） 说明无码间干扰的数字通信系统的冲击响应除 t=0 时刻取值不为 0 外， 其他抽样时刻 t = k TS 上的抽样值均为 0.由 h(t)和 H(w）之间的关系可以推导 出 H(w）满足如下关系式：
H w
i
2i T , w s Ts Ts
n
Βιβλιοθήκη Baidu
1-1
此信号激励发送滤波器时,发送滤波器的输出信号为
st d t g t a n g T t nTs
n
1-2
式中，" ”是卷积符号； g t 是单个 作用下形成的发送波形，即发送滤放器 的单位冲击响应。若发送滤波器的传输特性为 G w ，则 g t 由下式决定
g t 1 2
G we jw d w
1-3
1 / 11
若再假设信道的转输特性为 C w ，接收滤波器的传输特性为 GR w ，则图 1.1 所示的数字通信系统的总传输特性为
H w G wC wGR w
1-4
其单位冲击响应为
ht 1 2
自适应均衡器的论述与仿真设计
任何一个通信系统可视为由发送设备、信道与接收设备三大部分组成。所谓 传输信道指的是以传输媒质为基础的信号通路。具体的说，它是由有线和无线的 电线路提供的信号通路。它允许信号通过同时又给信号以限制和损害。 数字基带传输系统中信号波形经过信道的传输到达接收端， 而实际上通信信 道是一个特性复杂的函数而且还是时变的。 由于信道的不理想性导致了信号的严 重的畸变， 使波形产生失真并且加入噪声即为码间干扰和加性噪声。 然而自适应 均衡器能够补偿信道所产生的畸变， 并且根据接收信号的变化自适应算法自动调 节均衡器的抽头系数，以跟踪信道的时变特性。 数字基带传输系统的模型如下图，由于大多数物理信道不仅是带限，而且还 会使信号产生失真， 而失真对于数字通信来说最大的危害就是产生码间干扰，使 得判决器发生误判，从而系统误码率上升。
2 / 11
ht 的波形有很长的“拖尾”，也正是由于每个码元的“拖尾”造成对相邻码元
的干扰，但只要让它在 t 0 Ts , t 0 2Ts 等后面码元抽样时刻上正好为 0,就能消除 码间干扰。这也是消除码间干扰的基本思想 由 ht 和 H w 之间的关系可知，如何形成合适的 ht 波形，实际上就是如 何设计 H w 特性的问题。在不考虑噪声的情况下，假设信道和接收滤波器所造 成的延迟 t 0 0 时，无码间干扰的系统冲击响应应该满足下式：
式中， n R t 是加性噪声 nt 经过接收滤波器后输出的噪声。 抽样判决器对 y t 进行抽样判决，以确定所传输的数字信息序列 a n 。例 如我们要对第 k 个码元 a k 进行判决，应在 t kTs t 0 时刻上（ t 0 是信道和接收滤 波器所造成的延迟）对 y t 进行抽样，由式(1-6)得 式中，第一项 a k ht 0 是第 k 个码元波形的抽样值，它是确定 a k 的依据。第二项
y kTs t0 ak h t0 an h k n Ts t0 nR kTs t0
t 0 是除第 k
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a hk nT
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个码元以外的其他码元的波形在第 k 个抽样时刻上
的总和， 它对当前码元 a k 的判决起着干扰的作用， 所以称为码间干扰值。 由于 a n 是以概率出现的， 所以通常码间干扰值是一个随机变量。 第三项 nR kTs t 0 是输 出嗓声在抽样时刻的值，它是一种随机于扰，也要影响对第 k 个码元的正确判 决。 由于码间干扰和随机嗓声的存在，当 ykTs t 0 加到判决电路时，对 a n 取值 的判决可能判对， 也可能判错。 例如在二进制数字通信中，a n 的可能取值为 “0” 或“1” ，判决电路的判决门限为 V0 ，且判抉规则为
即均衡器的传输函数满足：
1-11
通常将发送滤波器和接收滤波器设计成匹配的，而均衡器用来补偿信道的畸变，
GE w
1 1 j w e C w C w
1-12
均衡器通常是用滤波器来实现的，使用滤波器来补偿失真的脉冲，判决器 得到的解调输出样本，是经过均衡器修正过的或者清除了码间干扰之后的样本。 自适应均衡器直接从传输的实际数字信号中根据某种算法不断调整增益， 因而能
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其中 en d n yn 为滤波器输出与期望信号的误差函数。上式就是 LMS 算法 抽头系数的更新公式，容易验证。 J n 是J n 的无偏估计， 通过上面的讨论可以总结出 LMS 算法的具体步骤如下： 步骤 l ：初始化抽头系数矢量 wn 0,0....T , n 0 ； 步骤 2 ：当 n=n+1 时 计算滤波器输出 yn w H xn ， 计算误差函数 en d n yn ， 更新滤波器抽头系数矢量 wn wn 1 ne nxn, 利用上面给出的 LMS 算法和横向结构均衡器，用 matlab 对 LMS 算法进行了 仿真,传输信道假设为两种：1.截止频率为 500Hz 的低通信道；2.多径信道。信 道中可加入指定的均值为零的高斯噪声，在第 2 秒信道发生变化。图 1-3-1-图 1-3-10 显示了均衡输出误差、均衡输出前后相应的眼图、以及抽头数的多少对 均衡效果的影响。 仿真结果表明，随着均衡器抽头数的增加均衡输出眼图的汇聚程度
图 1-2 自适应均衡器的基本结构 逆模拟用一个自适应横向滤波器(LMS 滤波器)， 由于输入 x(k)的信号带宽受 信道带宽的限制， 因而， 自适应滤波器仅需在信道的通带内去均衡信道的振幅和 相位特性。如果能知道信道的输入，并考虑到整个系统的延迟，就可得到期望响 应 d(k)，但是一般是难于获得的。周期性地中断信息传输，发射一些已知的码 序列，便可以进行自适应调整。
下面讨论自适应均衡器的具体实现。 我们知道信道均衡器均衡器的作用是在信道通带内 形成一个信道传输函数的逆，而在通带之外它的增益则很小或者为零。因而，由信道和均衡 器级联组成的系统在通带内有基本均匀的振幅特性， 而带外基本为零， 相位响应在带内是频 率的线性函数。如果条件满足，联合冲激响应就是辛格函数，符号间干扰可以消除。自适应 调整也解决了信道本身未知，时变的特性所带来的困难。下图 4.1 为自适应均衡器的基本结 构。 SHAPE \* MERGEFORMAT
1-15
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由梯度的定义可以得出，代价函数相对于滤波器抽头系数矢量 w 梯度为
k J n 2E xn k e n
2E xn k d n W H
定义梯度矢量为
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1-16
J n 0 J n, 1 J n,...., M 1 J n
J n 2 xnd n xn xnwn
H
1-24
将上式代入(1-22)可得
wn wn 1 n xnd n X n xnwn
H
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1-25
1-10
该条件称为奈奎斯特第一准则。它为我们提供了检验一个给定系统特性 H(w)是 否产生码间干扰的方法。 理论和实践证明， 在数字通信系统中插入一种可调滤波器可以校正和补偿系 统特性，减少码间干扰的影响。这种起补偿作用的滤波器称为均衡器。
由图可知,整个数字通信系统总的传输特性为
H w GT wCwGR wGE w
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1 系数 为了使得到的更新公式更加简单 2
1 n J n 1 2
1-22
将式（1-20）代入（1-22）可得抽头系数矢量的更新公式为
wn wn 1 nrxd Rxx wn 1
1-23
从上式中可以看出，滤波器抽头系数矢量的更新迭代与 rxd 和 R xx 有关，而实 际的信号处理过程中, rxd 和 R xx 都不是能够先验知道的，因此通常用梯度的估计 值 J n 1 来代替 J n 1 .
3 / 11
适应信道的随机变化， 使均衡器总是保持最佳的工作状态，从而有更好的失真补 偿性能。 时域均衡器可以分两大类： 线性均衡器和非线性均衡器。如果接收机中判决 的结果经过反馈用于均衡器的参数调整，则为非线性均衡器；反之，则为线性均 衡器。在线性均衡器中，最常用的均衡器结构是线性横向均衡器，它由若干个抽 头延迟线组成，延时时间间隔等于码元间隔 。非线性均衡器的种类较多，包括 判决反馈均衡器(DFE)、最大似然(ML)符号检测器和最大似然序列估计等。均衡 器的结构可分为横向和格型等。因为很多数字通信系统的信道(例如无线移动通 信信道)特性是未知和时变的，要求接收端的均衡器必须具有自适应的能力。所 以，均衡器可以采用自适应信号处理的相关算法，以实现高性能的信道均衡，这 类均衡器称为自适应均衡器。
a hk nT
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t0 0
1-8
由于 a n 是随机的，要想通过各项相互抵消使码间干扰为 0 是不行的，这就需要 对 ht 的波形提出要求，如果相邻码元的前一个码元的波形到达后一个码元抽样 判决时刻时己经衰减到 O,就能满足要求。但这样的波形不易实现，因为实际中
H we jwdw
1-5
ht 是单个 作用下， w 形成的输出波形。因此在 序列 d t 作用下，接收滤
波器输出信号可表示为
yt d t ht nR t an ht nTs nR t
n
1-6
以及输入矢量和抽头系数矢量：
T
1-17
xn xnxn 1.....xn M 1
T
1-18 1-19
wn w0 nw1 n.....wM 1 n
则式（1-17）可以写作以下矢量形式：
T
J n 2E xn d n X H wn
1 Wopt Rxx rxd
1-13
式中 R xx 是输入信号矢量 xn 的互相关函数， rxd 是输入信号矢量xn 与期望信号 矢量 d n 的互相关函数。直接求解式（1-13）的运算量非常大，尤其当滤波器的 抽头系数个数比较多时。 考虑如图 1.2 所示的自适应 FIR 滤波器。
1 ” 当 ykTs t 0 V0 时,判 a k 为“ ；当 ykTs t 0 V0时，判ak 为“0”；
显然， 只有当码间干扰值和嗓声足够小的时候，才能基本保证上述判决的正 确，否则．有可能发生错判，造成误码。因此，为了使误码率尽可能的小，必须 最大限度的减少码间干扰和随机噪声的影响。由式（1-7）可知．若想消除码间 干扰，应该有
。 。 。
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图 4.2 自适应 FIR 滤波器 令
en d n yn d n W H X n
表示滤波器在 n 时刻的误差,并定义均方误差
1-14
J n
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de
2 2 E en E d n W H xn
图中 , a n 为发送滤波器的输入符号序列 , 在二进制情况下 , a n 取值为 0,1 或 -1,+1.为了便于分析方便,假设 a n 所对应的信号 d t 的间隔为 s ,强度由 a n 决 定的单位冲击序列,即
图 1-1 数字基带信号传输系统模型
d t an t nTs
2rxd 2Rxx wn
最广泛使用的自适应算法形式为“下降算法”：
1-20 1-21
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第 n 步迭代的更新方向矢量。
式中 wn 是第 n 步迭代的系数矢量， n 是第 n 步迭代的更新步长，而 v(n)是 最常用的下降法为梯度下降法，又称最陡下降法。在这种算法里，更新方 向矢量 v(n)取作第 n-1 次迭代的代价函数 J（n-1）的负梯度，即最陡下降法的 统一形式为
4 / 11
LMS（Least Mean Square）算法最早由 Widrow 于 1960 年建立。采用最小均 方算法的均衡器比迫零算法均衡器要稳定一些， 它所采用的准则是使均衡器的期 望输出值和实际输出值之间的均方误差(MSE)最小化的准则。 由 Wiener 滤波理论 可知，滤波器的最优抽头系数矢量可表示为
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1, k 0 0, k为其他整数
1-9
式 （1-9） 说明无码间干扰的数字通信系统的冲击响应除 t=0 时刻取值不为 0 外， 其他抽样时刻 t = k TS 上的抽样值均为 0.由 h(t)和 H(w）之间的关系可以推导 出 H(w）满足如下关系式：
H w
i
2i T , w s Ts Ts
n
Βιβλιοθήκη Baidu
1-1
此信号激励发送滤波器时,发送滤波器的输出信号为
st d t g t a n g T t nTs
n
1-2
式中，" ”是卷积符号； g t 是单个 作用下形成的发送波形，即发送滤放器 的单位冲击响应。若发送滤波器的传输特性为 G w ，则 g t 由下式决定
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G we jw d w
1-3
1 / 11
若再假设信道的转输特性为 C w ，接收滤波器的传输特性为 GR w ，则图 1.1 所示的数字通信系统的总传输特性为
H w G wC wGR w
1-4
其单位冲击响应为
ht 1 2
自适应均衡器的论述与仿真设计
任何一个通信系统可视为由发送设备、信道与接收设备三大部分组成。所谓 传输信道指的是以传输媒质为基础的信号通路。具体的说，它是由有线和无线的 电线路提供的信号通路。它允许信号通过同时又给信号以限制和损害。 数字基带传输系统中信号波形经过信道的传输到达接收端， 而实际上通信信 道是一个特性复杂的函数而且还是时变的。 由于信道的不理想性导致了信号的严 重的畸变， 使波形产生失真并且加入噪声即为码间干扰和加性噪声。 然而自适应 均衡器能够补偿信道所产生的畸变， 并且根据接收信号的变化自适应算法自动调 节均衡器的抽头系数，以跟踪信道的时变特性。 数字基带传输系统的模型如下图，由于大多数物理信道不仅是带限，而且还 会使信号产生失真， 而失真对于数字通信来说最大的危害就是产生码间干扰，使 得判决器发生误判，从而系统误码率上升。
2 / 11
ht 的波形有很长的“拖尾”，也正是由于每个码元的“拖尾”造成对相邻码元
的干扰，但只要让它在 t 0 Ts , t 0 2Ts 等后面码元抽样时刻上正好为 0,就能消除 码间干扰。这也是消除码间干扰的基本思想 由 ht 和 H w 之间的关系可知，如何形成合适的 ht 波形，实际上就是如 何设计 H w 特性的问题。在不考虑噪声的情况下，假设信道和接收滤波器所造 成的延迟 t 0 0 时，无码间干扰的系统冲击响应应该满足下式：
式中， n R t 是加性噪声 nt 经过接收滤波器后输出的噪声。 抽样判决器对 y t 进行抽样判决，以确定所传输的数字信息序列 a n 。例 如我们要对第 k 个码元 a k 进行判决，应在 t kTs t 0 时刻上（ t 0 是信道和接收滤 波器所造成的延迟）对 y t 进行抽样，由式(1-6)得 式中，第一项 a k ht 0 是第 k 个码元波形的抽样值，它是确定 a k 的依据。第二项