河北工业大学固体物理课件4-2概述

(k, x) k(0) k(1) 2k(2)
零级近似解，就是自由电子的解：
(0)
(k,
x)
L
1 2
eikx
E0 (k) 2k 2 2m
由量子力学理论可知，一级修正和二级修正分别为
E(1)(k) =0
2 E（k 2）
k'
'
E
(0)
k (k)
'k kk E(0)
(k
'
)
其中微扰矩阵元 k'k
Ek0'
Ek0 Ek0' 2 4V n 2
2
n
2
(1 2 )
2m a
2 2m
n
a
2
2
42
V
n
2
令Tn
2 2m
n
a
2
，则E
Tn (1
2 )
4Tn22 V n 2
讨论：1. Δ=0时，
E＝Tn Vn
能 量 差 为 2|Vn|, 则 原 来 能量相等的两个态的能 量不再相等，简并消除， 出现禁带。 禁带的出现是周期场
Ek0 Ek0' Vn
E
Tn
Vn
Tn (1
2Tn Vn
)2
以Δ为变量的开口向上的抛物线
E
Tn
Vn
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Tn
(
2Tn Vn
1)2
以Δ为变量的开口向下的抛物线 在 布 里 渊 区 边 界 附 近 (Δ→0) ， 能 量E+(k)和E_(k)分别以抛物线形式 趋向Tn＋|Vn| 和Tn－|Vn|。
Vne a V0
'Vn
i
e
2 a
nx
V e '
i 2 nx a
n
n
n
n
V0
V
1 a
a
V (x)dx设为零
0
展开式系数
Vn
1 a
a
i 2 nx
V (x)e a dx
0
Vn
1 a
a
V
(
i
x)e
2 a
nx
dx
0
∵周期场是实的 V (x) V *(x)
∴ Vn V *n
一、定态非简并微扰
a
a
考虑两简并状态相近的情况
由量子力学简并微扰理论，零级波函数为二态 （前进波、布拉格反射波）的线性叠加
0 ak0 bk0' a
1 exp( ikx) b L
1 exp( ik 'x) L
代入薛定谔方程，得到
(E Ek0 )a Vn*b 0
Vn
a
(E
E0 k'
)b
0
E
1 2
Ek0
简约波数
由于k 和k+Km 对应的量子态是等价的。在一维情况下，可以把k 分解成
布洛赫函数为
eikx
i e
2 a
mx
周期函数
在第一布里渊区外的k，如果用 k 来标志，
可以通过把k 改变一个倒格矢，使它落于第
一布里渊区范围， 这样每一个能带各状态
对应于在第一布里渊区不同的简约波矢 ；
对于k同一个 有能k量高低不同的一系列状
受周期
前进
1 eikx L
k'
'
E
(0)
(k
k )
'k
E
(
0)
(k
'
)
(0)
(k
'
,
x)
势场散 射的波
的平 面波
1 eikx L
1 L
n
' 2k 2
2mVn 2(k
2
i(k 2 n) x
ea n)2
a
调幅 平面
1 eikx (1 L
n
' 2k 2
2mVn 2(k
2
i 2 nx
ea ) n)2
得到 a Vn b Vn
0
2aiei L
s in( n
a
x )
电子云驻波分布
0
2
4a2 L
sin2 ( n
a
x),
2
0
2
4a2 L
cos2 ( n
a
x),
2
由图可知，（
a
n,
x）比（
a
n,
x）的势能高
这就是在B.Z.边界上能量产生不连续跳跃的原 因。
势能之差＝能隙＝2│Vn│
2.Δ≠0时,k值远离布里渊区边界的情况
从自由电子的E~k关系（抛物线）可知，Ek0与Ek0' 有
显著的差异，在弱周期场的情况下，满足
Ek0 Ek0' Vn
这时处于非简并的状态，由非简并微扰的能量二 级修正和波函数的一级修正可知，其微扰修正项 都很小，因此在
波矢远离布里渊区边界时，近自由电子的 能量和波函数与自由电子相似。
3.Δ≠0时,k值接近布里渊区边界的情况
§4-2 一维周期场中电子运动的近 自由电子近似
晶体中电子与自由电子的区别在于周期势 场。
如果假设晶体中有一个很弱的周期势场， 则电子的运动情况应当与自由电子比较接 近，但同时也必然能体现出周期势场中电 子状态的新特点，这样的电子就叫近自由 电子。
一维势场
V (x)＝V (x a)
i 2 nx
态，分属于能带1，2，·····
简约区图式
(a)重复区图式 (虚线内为简约 区图式) (b)扩展区图式
三、布里渊区和能带
1.布里渊区界面
设发生简并微扰的两个态是
k , k ' k K2h 2
满足关系k k
即Kh（ k
由量子力学定态非简并微扰理论可知，定态薛定谔方程 H (k, x) E(k)(k, x)
近自由电子哈密顿算符可写成 :
Hˆ Hˆ 0 Hˆ ', Hˆ ' hˆ, 1
其中
H0
2 2m
2
自由电子的 哈密顿算符
Hˆ ＝
'Vnei
2 a
nx
n
方程的解是
E(k) Ek(0) Ek(1) 2E（k2）
n
'
2k 2
2mVn 2
2 (k 2
n)2
a
求和中的撇表示n不为0，但当k与k’互为相反 值时，分母为0，导致能量修正值为无穷大。
波函数的一级修正
(1) (k, x)
k'
'
E
(
0)
(k
k )
'k
E
(0)
(k
'
)
(0)
(k
'
,
x)
电子的波函数为
(k, x) (0) (k, x) (1) (k, x)
作用的结果
波函数的特点
E＝Tn Vn , 代入(E Ek0 )a Vn*b 0
得到 a b
Vn Vn
, 令Vn＝ Vn
ei2 ,Vn＝Vn
Vn
e i 2
0
ak0
bk0
aei L
(ei eikx
ei eikx )
2aei L
cos(n
a
x )
同理，由 E＝Tn Vn
代入(E Ek0 )a Vn*b 0
a
波
eikxu(k, x)
二、 简并微扰法
当满足 k n
a
k' n
a
时
E0(k) E0(k')
∴ 波函数及能量的修正项→∞，前进的 平面波遭到了晶格原子的全反射(布拉格)， 反射波2a相 n互 加强，使入射波受到很强的干 涉，此时适用简并微扰法。
取k n (1 ),k' n (1 )， 1
L 0
k('0)*Hˆ
'
k(0)
dx
1 L
L 0
n
i(k k ' 2 n) x
'Vne a dx
Vn, k
k '
2
a
n
0时
0, 其他
kk'
L 0
k(0)*Hˆ
'
(0) k'
dx
1 L
L
i(k 'k 2 n) x
0 'Vne
a dx
n
Vn , k'k
2
a
n
0时
0, 其他
则能量的二级修正为
2Ek(2)