抽象函数常见模型习题归纳

分析：由 可知此函数是由指数函数 抽象而来的，再由条件“当 时， ”可知此函数是单调递增函数。由此可知 在R上单调递增函数。由背景函数引导得到问题的结论，然后用赋值等方法得以证明。
解：（Ⅰ）令 则 ，因为 ，所以
（Ⅱ）当 时， ，所以 ，即 又当 时， 所以 时，恒有
（Ⅲ）设 则 ，所以×因为 且 ，
A . 2005 B.2 C.1 D.0
6
A． B． C． D．
解：易知T=2，当 时, ,∴ ;
当 时 ,∴ .故选D
7，已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（D）
A.x=1B.x=2C.x=－ D.x=
解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.
令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,
令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)= ,
2.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=___1___.
抽象函数常见模型归纳汇编
1、正比例函数型
正比例函数型函数特征式为：
例1、已知 是定义在R上的函数，对任意的 、 都有 ，且当 >0时， ＜0， 。问当 时，函数 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。
分析：我们知道，正比例函 满足 。根据题设，我们可推知本题是以正比例函数，于是，用赋值法令x=y=0再从 的奇偶性、单调性入手解。
9，已知函数 满足： ， ，则 =_____________.
解析：取x=1 y=0得 法一：通过计算 ，寻得周期为6
法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+fБайду номын сангаасn)
联立得f(n+2)= —f(n-1)所以T=6故 =f(0)=
10， 奇函数f(x)定义在R上，且对常数T> 0，恒有f(x+T) =f(x)，则在区间［0，2T］上，方程f(x) = 0根的个数最小值为（ ）C
即 ，∴f（x）为单调增函数。 ∵ ，
又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴ ，∴ ，
即 ，解得不等式的解为－1 <a< 3。
3、指数函数型
指数函数型函数特征式为：
例1、定义在R上的函数 ，当 时， 且对任意 都有
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）判定函数值的正负；
（Ⅲ）判断 在R上的单调性；
（Ⅳ）若 ，求 的取值范围。
（4）①若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|；
②函数 满足 ，则 是周期为2 的周期函数；
③若 恒成立，则 ；④若 恒成立，则 .
解：因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0。
②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于对称。（x=1/2）
5、幂函数型
幂函数型函数特征式为：
例1、已知函数 的定义域为R，都有 且 ， ，当 时， 。（1）判断 的奇偶性；（2）判断并证明 在[0，+ ）上的单调性；（3）如 且 ，求 的取值范围。
分析:由题设条件的特殊性，可联想 是 的抽象函数,且经过特殊点(1,0), 是偶函数,在[0，+ )上是增函数。
所以 。从而 即 是R上的增函数。
（Ⅳ）由 >1, 得 > 又 是R上的增函数，
所以 >0，解得0<x<3.
4、对数函数型
对数函数型函数特征式为：
例1、已知函数 的定义域是（0，+ ），当 时， 且 。
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）判 在定义域上的单调性；
（Ⅲ）如果 求满足不等式 的 的范围。
分析：由 可知此函数的背景函数为对数函数，又由条件当 时， ，可知此函数是单调递增函数且 =0，可用函数的单调性解不等式。
2、一次函数型
例1、已知函数 满足:对任意的 ，都有 ，并且当 时, ，如 ,解不等式, 。
分析:猜想 的背景函数是一次函数 ,又由于 时, ，则 为增函数,则求不等式的解就转化成证明 为增函数。
解:令 , 有 , 由
= ,则 为增函数；
因为 ，由 ,
所以 , 又因为 ，则 ，
所以 ,则 。
点评：将数值化成函数值，将一般不等式转化成增函数的不等式是本题化归的关键。
解：（Ⅰ）令 ，得 ，所以 。
(Ⅱ)令 得 ，所以 .任取 ,且 则 ,由于 ,所以 ,从而 .所以 在定义域上单调递增.
（Ⅲ）由于 ,而 ,所以 .在 中,令 ,得 .又 ,所以所给不等式可化为 ,
即 ,所以有 解得 .所以 的取值范围是 .
例2、已知函数 是定义在（0，+ ）上的增函数，且满足:对任意的 ，都有 ，如 ,解不等式 .
分析：由题设可知，函数f（x）是 的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设 ，∵当 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 ，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则 ，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，
∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］。
解:(1)令 ，则 ，故 为偶函数；
（2）设 ，则 ，
又 ，得 ，即 在[0，+ ]上为增函数；
（3）因为 ,所以 ,又因为 ,所以 ,则有 ,即 .
1.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.
解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：
解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5,
又f(x+1)≤f(x)+1，所以g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1
即g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x).所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),
分析:猜想 的背景函数是对数函数 ,且经过特殊点(1,0), 由于是增函数,就有 ,则题设不等式的解就应浓缩转化成增函数的不等式解。
解:因为 ,所以 ,又因为 ,所以 ,即 ,有 ,由于 在定义域（0，+ ）上是增函数,则由 , , 联立求得解集为: 。
点评：本题由于已知是增函数，所以对抽象函数的增减性不要再作证明，关键是充分应用表达式 ，经过多次配凑、转化，架设解决问题的桥梁。
故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.
3.f(x)的定义域为 ，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则 （
4、对任意整数 函数 满足： ，若 ，则 C
A.-1 B.1 C. 19 D. 43
5、函数f(x)为R上的偶函数，对 都有 成立，若 ，则 =（ ）（B）
解：令 则 ，解得
又因为 ，所以 ，即函数 为奇函数。
设 、 < ,则 >0，依题意,有 <0
，所以,
即函数 在R上是减函数。
因此，函数 当 时有最大值 ，且
例2、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
例2、已知函数f（x）对任意 ，满足条件f（x）＋f（y）＝2 +f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式 的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设 ，∵当 ，∴ ，则 ，
8，①已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2) = –f(x)，则f(6)的值为（ B ）
A. –1 B.0 C. 1 D. 2
周期性的性质
（1）若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期为 ；
（2）若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，且一周期为 ；
（3）如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数 必是周期函数，且一周期为 ；
A. 3个B.4个C.5个D.6个
解：∵f(0) = 0→x1= 0，又f(2T) =f(T) =f(0) = 0→x2=T，x3= 2T.又因为 令x= 0得 ,∴ =0.(本题易错选为A)
11，函数 是偶函数，则 的图象关于x=1对称。
12，函数 满足 ，且 ，则 -1。
13，（09山东）已知定义在R上的奇函数 ，满足 ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 ,则 -8