高中数学 1.1.2《余弦定理》 新人教B版必修5

（3）判断三角形的形状。
若a2b2 c2，则 C为钝角
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推论:
在ABC中，
若a2b2 c2，则 C为直角；
若a2b2 c2，则 C为锐角；
若a2b2 c2，则 C为钝角；
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余弦定理的作用：
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求 第三边和其它两角； （3）判断三角形的形状。
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应用举例：
例 1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，
c2=a2
2
+b-2abcosC
cosAb2 c2 a2， 2bc
cosBc2 a2 b2， 2ca
cosCa2 b2 c2。 2ab
2.余弦定理的作用
3.推论: 在ABC中，
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求 第三边和其它两角；
若a2b2 c2，则 C为直角
若a2b2 c2，则 C为锐角；
解三Baidu Nhomakorabea形
余弦定理
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复习回顾
1.正弦定理
a b c 2R sin A sin B siC n
2.正弦定理的作用
(1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和
C
另一角;
b
a
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另 一边的对角(从而进一步求出其它的边和角).
A
B 第二种情况若知道的是大边的对角,只有
c＝6，求A、B和C.
解：∵ ∴ ∵ ∴
cosA＝ b2＋c2－a2 ＝0.725， 2bc
A≈44° cosC＝ a2＋b2－c2 ＝0.8071，
2ab
C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
( ) ∵sinC＝
c
sinA a
≈0.5954,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
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动手实践:
在ABC中， 1.已知b8，c 3，A60,求a; 2.已知a 20,b29,c 21,求B; 3.已知a 3 3,c 2,B150,求b.
练习题答案: 1. 7; 2. 90°; 3. 7.
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小结:
1.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
( ) ∵sinA＝a sinC ≈0.6299， c ∴ A=39°或141°(舍). ppt课件
加深提高： 1.在 AB 中 C，a已 7， 知 b1， 0 c6，试 判 AB 的 断 C形 . 状 2.在 A B C 中 ， 已 知 a： b： c3： 5： 7， 求 这 个 三 角 形 的 最 大 角 .
唯一的一组解;若给出的是小边的对角,
则结果可能ppt是课件两解或一解、或无 解.
问题探究： 在 AB中 C ，a 已 7， 知 b1， 0
c6，A 求 、 B和 C（精1确 ）到
C
b
a
A
c
B
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问题： 在 AB中 C ，已a、 知 b、 边 c，
求 A、 B、 C。
C
∵ AC =AB + BC
例 2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.（边长保留四 个有效数字，角度精确到1′）
解： 由 c2=a2＋b2－2abcosC, 得 c≈4.297. ∵ cosA＝ b2＋c2－a2 ≈0.7767， 2bc
∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
a2 =b2 +c2-2bccosA b2 =c2+a2-2accosB c2 =a2+b2-2abcosC
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延伸变形：
cosAb2 c2 a2， 2bc
cosBc2 a2 b2， 2ca
cosCa2 b2 c2。 2ab
注意:余弦定理适用任何三角形.
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cosCa2 b2 c2。 2ab
=AB 2+2AB
•
2
BC+BC
2
=|AB|+2|AB|
•|BC|cos（1800
2
-B）+|BC|
=c2 -2accosB+a 2
即：b
2
=c
2
+a-2accosB
注:当B=90º时，此结论即为勾股定理.
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余弦定理：三角形任何一边的平方等于 其它两边平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
b
a
∴|AC| =|AB + BC|
A
c
B
2
|AC| =|AB
+
BC| 2
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∴AC•AC=（AB+BC）•（AB+BC）
=AB 2+2AB
•
2
BC+BC
2
=|AB|+2|AB|
•|BC|cosB+|BC|2
=c2+2accosB+a 2
以上推导是否正确？ 不正确！
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∴AC•AC=（AB+BC）•（AB+BC）