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第4章 解析几何（一）
4.1 平面向量 4.2 直线与方程 4.3 圆的方程
-
1
4.1 平面向量
飞机的位移
正步走
-
2
平面向量的概念
数学上将类似位移、速度等既有大小又有方向的量 称为向量；将类似长度、质量等只有大小没有方向的量 称为数量。
通常用带箭头的线段来表示 向量，箭头的指向就是向量的方 向，线段的长度表示向量的大小。
u u u ru u u ru u u r u u u ru u u r C A B A B C A B A D
u u u r u u u r u u u r C D B A A B
-
单击鼠标1继1 续
1．不画图，写出下列向量的和向量： MN NL PM MQ AOOB ACCB
2．如图所示，由给定的向量a、b，分别用三角形 法则和平行四边形法则求作a＋b。
-
6
平面向量的加减运算
我们把位移AC 叫做位移AB 与BC 的和，
记作
u u u r u u u r u u u r A BB CA C
通常，已知向量a、b，在平面内
任取一点A，作 AB ＝a，BC ＝b，则向
量AC 叫做a与b的和向量，记作a＋b，
即
u u u ru u u ru u u r a b A B B C A C
这种规定向量加法的法则叫做三 角形法则。
向量加法的规律：
当被加向量与加向量首尾相接时，它们的和等于被
加向量的起点到加向量的终点形成的向量，即
u u u r u u u r u u u r A BB CA C
-
7
例题解析
uuur uuur
例 ABCD是平行四边形，求作 ABAD。 解 因为 uAuD ur uBuC ur ， 所以
u u u ru u u ru u u ru u u ru u u r A B A D A B B C A C
uuur
uuur
本例中的 AB 、A D 的和正好是以向量 AB 、A D 为邻边
的平行四边形的对角线AC表示的向量。这种求作不共线
的两个向量和的方法叫做平行四边形法则。
-
单击鼠标继8 续
向量加法满足下列运算律： 1． a＋b＝b＋a 2． a＋0＝0＋a＝a 3． (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
-
9
向量的减法运算
一般地，我们规定： a－b＝a＋(－b)
即，向量a减b规定为向量a加上b的负向量。
u u ur
由向量减法的定义，起点相同的两个向量OA 和 O B 的差向量应为
u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r O A O B O A ( O B ) O A B O B O O A B A
向量也可以用字母a、b、c等表示。
向量的大小也称为向量的模，向量 AB 、a、a 的模依 次记作|AB |、| a |、| a |。
模为零的向量称为零向量，记作0。零向量的方向是 任意的。长度为1个单位的向量叫做单位向量，常用i、j、 k等表示。
-
3
我们把方向相同或相反的非 零向量叫做平行向量。例如图中 向量a、b、c是一组平行的向量， 记作a∥b∥c。
上述推导表明： 起点相同的两个向量的差等于减向量的终点到被减
向量的终点形成的向量，即
uuu r uuu r uu u r O AO BB A
-
10
例题解析
例uuur
已u uu知r 平u u行ur 四边形ABCD，用向量uAuBur
uuur
、A D
表
示B D 、C A 、C D 。
解
u u u ru u u ru u u r u u u ru u u r B D A D A B A B A D
-
13
一般地，任意实数λ与向量a的乘积λa是一个向量， 它的模 |λa| 等于 |λ||a|。当λ＞0时，它的方向与a的方向相 同；当λ＜0时，它的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0。
例如，向量－4a的长度是4|a|，方向与向量a相反。 由此可知，λa与a是共线向量。
对任意向量a、b，设λ、μ为实数，则有 1．λ(μa)＝（λμ）a 2．(λ＋μ)a＝λa＋μa 3．λ(a＋b)＝λa＋λb
F FFF
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
则 O D O A A B B C C D F + F + F + F 我们把F＋F＋F＋F记作4 F。 可以看出，向量4 F的方向与F的方向相同，向量4 F
的长度是F的长度的4倍，即 |4 F |＝4| F |
3．uu不ur 画uu图uur，写出下uuu列r 向uu量ur 的差向u量uur：uuur
OPOM
ABAC
EFFD
u u ur
uuur u u ur
4．在三角形ABC中，用向量AB 、A C 表示向量B C 、C B 。
-
12
数乘向量
车受到的拉力是F＋F＋F＋F
Biblioteka Baidu
作出
u u u ru u u ru u u ru u u r O A A B B C C D F
解
uuur uuur
与向量 AB 共线的向量有B A 、D C
u u ur
、C D ；
uuur
uuur uuur u u ur
与向量 A D 共线的向量有 D A 、B C 、C B 。
-
单击鼠标继5 续
D、E、F分别是△ABC中的边AB、AC、BC的中点，找出 与向量 B相F 等、相反、共线的非零向量。
我们规定：零向量与任何一 个向量平行。
在平行向量中，大小相等、方向相同的向量叫做相 等向量。向量a与b相等记作a =b。
与非零向量a大小相等且方向相反的向量叫做a的负 向量。向量b是a的负向量记作b＝－a。
平行向量都可以被移到同一条直线上。所以，我们 也将平行向量称为共线向量。
-
4
例题解析
量例uAuBur1、uAu如Dur 图相所等示的， 向在量平。行四边形ABCD中，找出与向
解
uuur uuur ABDC
uuur uuur ADBC
uuur例2
如图所示，在平行四边形ABCD中，找出向量
uuur AB
、
A D 的负向量。
解
u u u r u u u r u u u r A B B A C D
u u u r u u u r u u u r A D D A C B
共线例uAuBur3的非uAu如Dur零图向所量示。，在平行四边形ABCD中，找出与向量 、
4.1 平面向量 4.2 直线与方程 4.3 圆的方程
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1
4.1 平面向量
飞机的位移
正步走
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2
平面向量的概念
数学上将类似位移、速度等既有大小又有方向的量 称为向量；将类似长度、质量等只有大小没有方向的量 称为数量。
通常用带箭头的线段来表示 向量，箭头的指向就是向量的方 向，线段的长度表示向量的大小。
u u u ru u u ru u u r u u u ru u u r C A B A B C A B A D
u u u r u u u r u u u r C D B A A B
-
单击鼠标1继1 续
1．不画图，写出下列向量的和向量： MN NL PM MQ AOOB ACCB
2．如图所示，由给定的向量a、b，分别用三角形 法则和平行四边形法则求作a＋b。
-
6
平面向量的加减运算
我们把位移AC 叫做位移AB 与BC 的和，
记作
u u u r u u u r u u u r A BB CA C
通常，已知向量a、b，在平面内
任取一点A，作 AB ＝a，BC ＝b，则向
量AC 叫做a与b的和向量，记作a＋b，
即
u u u ru u u ru u u r a b A B B C A C
这种规定向量加法的法则叫做三 角形法则。
向量加法的规律：
当被加向量与加向量首尾相接时，它们的和等于被
加向量的起点到加向量的终点形成的向量，即
u u u r u u u r u u u r A BB CA C
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7
例题解析
uuur uuur
例 ABCD是平行四边形，求作 ABAD。 解 因为 uAuD ur uBuC ur ， 所以
u u u ru u u ru u u ru u u ru u u r A B A D A B B C A C
uuur
uuur
本例中的 AB 、A D 的和正好是以向量 AB 、A D 为邻边
的平行四边形的对角线AC表示的向量。这种求作不共线
的两个向量和的方法叫做平行四边形法则。
-
单击鼠标继8 续
向量加法满足下列运算律： 1． a＋b＝b＋a 2． a＋0＝0＋a＝a 3． (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
-
9
向量的减法运算
一般地，我们规定： a－b＝a＋(－b)
即，向量a减b规定为向量a加上b的负向量。
u u ur
由向量减法的定义，起点相同的两个向量OA 和 O B 的差向量应为
u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r O A O B O A ( O B ) O A B O B O O A B A
向量也可以用字母a、b、c等表示。
向量的大小也称为向量的模，向量 AB 、a、a 的模依 次记作|AB |、| a |、| a |。
模为零的向量称为零向量，记作0。零向量的方向是 任意的。长度为1个单位的向量叫做单位向量，常用i、j、 k等表示。
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3
我们把方向相同或相反的非 零向量叫做平行向量。例如图中 向量a、b、c是一组平行的向量， 记作a∥b∥c。
上述推导表明： 起点相同的两个向量的差等于减向量的终点到被减
向量的终点形成的向量，即
uuu r uuu r uu u r O AO BB A
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10
例题解析
例uuur
已u uu知r 平u u行ur 四边形ABCD，用向量uAuBur
uuur
、A D
表
示B D 、C A 、C D 。
解
u u u ru u u ru u u r u u u ru u u r B D A D A B A B A D
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13
一般地，任意实数λ与向量a的乘积λa是一个向量， 它的模 |λa| 等于 |λ||a|。当λ＞0时，它的方向与a的方向相 同；当λ＜0时，它的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0。
例如，向量－4a的长度是4|a|，方向与向量a相反。 由此可知，λa与a是共线向量。
对任意向量a、b，设λ、μ为实数，则有 1．λ(μa)＝（λμ）a 2．(λ＋μ)a＝λa＋μa 3．λ(a＋b)＝λa＋λb
F FFF
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
则 O D O A A B B C C D F + F + F + F 我们把F＋F＋F＋F记作4 F。 可以看出，向量4 F的方向与F的方向相同，向量4 F
的长度是F的长度的4倍，即 |4 F |＝4| F |
3．uu不ur 画uu图uur，写出下uuu列r 向uu量ur 的差向u量uur：uuur
OPOM
ABAC
EFFD
u u ur
uuur u u ur
4．在三角形ABC中，用向量AB 、A C 表示向量B C 、C B 。
-
12
数乘向量
车受到的拉力是F＋F＋F＋F
Biblioteka Baidu
作出
u u u ru u u ru u u ru u u r O A A B B C C D F
解
uuur uuur
与向量 AB 共线的向量有B A 、D C
u u ur
、C D ；
uuur
uuur uuur u u ur
与向量 A D 共线的向量有 D A 、B C 、C B 。
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单击鼠标继5 续
D、E、F分别是△ABC中的边AB、AC、BC的中点，找出 与向量 B相F 等、相反、共线的非零向量。
我们规定：零向量与任何一 个向量平行。
在平行向量中，大小相等、方向相同的向量叫做相 等向量。向量a与b相等记作a =b。
与非零向量a大小相等且方向相反的向量叫做a的负 向量。向量b是a的负向量记作b＝－a。
平行向量都可以被移到同一条直线上。所以，我们 也将平行向量称为共线向量。
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例题解析
量例uAuBur1、uAu如Dur 图相所等示的， 向在量平。行四边形ABCD中，找出与向
解
uuur uuur ABDC
uuur uuur ADBC
uuur例2
如图所示，在平行四边形ABCD中，找出向量
uuur AB
、
A D 的负向量。
解
u u u r u u u r u u u r A B B A C D
u u u r u u u r u u u r A D D A C B
共线例uAuBur3的非uAu如Dur零图向所量示。，在平行四边形ABCD中，找出与向量 、