北京大学量子力学

⋆ Aˆ 的本征函数不简并，则
Bˆ ua bua
⋆ 当 Aˆ 的本征值是两重简并。那问题就不
一样了。
测量 Aˆ 取值 a 时，并不知处于那一态，
可能为
α
1u
(1) a
α
2
u
(2) a
尽管
Bˆ u
(1) a
也是
Aˆ
的本征态。但一般而言
Bˆ u(a1) b11u(a1) b21u(a2)
Bˆ u
(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量
子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？
设：Aˆ ,Bˆ 是力学量所对应的算符，并且对易
如 u a (x) 是 Aˆ 的本征函数。
第十四讲
算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式
如果，1 ,2 是任意两个平方可积的波函
数，则
1, 12, 2 1, 2 2
(2) 算符“涨落”之间的关系－测不准关 系：
如令
1 (Aˆ A)
2 (Bˆ B)
i[Aˆ , Bˆ ] A B
2
例1 Aˆ x ， Bˆ pˆ x
(2) a
b12u
(1) a
b 22u (a2)
Bˆ (uu(a(a12))
)
(b11 b12
b21 b22
)(uu(a(a12))
)
Bˆ v
(b1 a
)
b1v
(b1 a
)
Bˆ v(ab2 )
b
2
v
(b a
2
)
v(abi )
a1(i)
u
(1) a
a
(i) 2
u
(2) a
b11 b b12 0 b21 b22 b
这表明，角动量的本征值是量子化的。它与 能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。 自由粒子的角动量是量子化的。
B. 本征函数
已求得 Lˆ 2 , Lz 的共同本征函数组-球谐函数
Ylm (1)m
(2l 1) 4
(l (l
mm))!!Plm
(cos
)eim
Plm (cos)
(1)lm
1 2l l!
Yl*m (, )Ylm(, )d llmm
2．封闭性
ml
Ylm (, )Yl*m(, )
l0 ml
1 sin
(
)(
)
3．Ylm (1)m Yl*m
Plm (cos
)
(1)m
(l (l
m)! m)!
Plm (cos
)
m0
所以，
Ylm (1)m
(2l 1) 4
(l (l
mm))!!Pl
(2l 1) 4
(l (l
m)! m)!
1 sinm
( d )lm d cos
sin2l
称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。
当 l, m 给定，也就是 Lˆ2, Lz 的本征值给
定，那就唯一地确定了本征函数 Ylm (, ) 。
其性质：
1. 正交归一
§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） （1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数
A ((t), Aˆ (t))
它随时间演化为
dA dt
d dt
*
(t),
Aˆ (t)dr
*( t
t)
Aˆ (t)dr
*(t)
Aˆ t
(t)dr
*(
(4) 角动量的共同本征函数组―球谐函数
因 [Lˆ2, Lˆ z ] 0，它们有共同本征函数组。
[Lˆ z , Lˆ ] Lˆ [Lˆ z , Lˆ ] Lˆ
A. 本征值：
设： u lm 是它们的共同本征函数，则
Lˆ2 的本征值为 l(l 1)2
Lˆ z 的本征值为 m
l m l
可求得 Bˆ 的本征值。
若 b1 b2 ，则 Aˆ , Bˆ
函数
v(bi ) a
一起就唯一地决定
Aˆ ,Bˆ 的共同本征态没有一个是简并的。
力学量完全集：设力学量 Aˆ , Bˆ ,Cˆ 彼此对
易；它们的共同本征函数 uabc 是不简并的，
也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本 征函数，则称这一组力学量为力学量完全集 。
在态 Ylm下
这时 Δ Lˆ2z 0 Δ Lˆ2y [l(l 1) m2 ]2 / 2
Ly Lz 0
(3) 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组
正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符
Aˆ ，Bˆ 必对易 ，[Aˆ , Bˆ ] 0 。
定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
m
(cos)eim
(2l 1) 4
(l (l
mm))!!Plm
(cos)eim
因此， Ylm (1)m Yl*m
4. Ylm宇称 (1)l
r r, 即 ，
5.递推关系
1l m
1m
Lˆ Ylm (l m)(l m 1)Ylm1
Lˆ Ylm (l m)(l m 1)Ylm1
而取 As 的几率 cns 2 也不随 t 变。
n
dA 0 dt
我们称与体系 Hˆ 对易的不显含时间的力学量算 符为体系的运动常数。
运动常数并不都能同时取确定值。因尽
管它们都与 Hˆ 对易，但它们之间可能不对易。
如
Hˆ p2 V(r)
2m
Lˆ2, Lˆ x , Lˆ y , Lˆ z 都是运动常数，但 Lˆ x , Lˆ y, Lˆ z 彼此不对易，不能同时取确定值。
所以，以后要描述一个体系所处的态时，我 们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以
给出特解，然后得通解。
有了力学量完全集，则可得 unabc
(r, t) cnabc unabc eiE nt /
n,a,b,c
cnabc u*nabc (r)(r,0)dr
Lˆ2, Lˆ z 完全集相应的本征函数为 Ylm (,)
[Aˆ , Bˆ ] [x, pˆ x ] i
所以，
x x
2
这即为海森堡（Heisenberg）的测不准 关系的严格证明。
例2 [Lˆ x ,Lˆ y ] iLˆ z
但在特殊态 Y00
1时 4
Lx 0 Ly 0 Lx Ly 0
但这仅是某一特殊态。
例3 [Lˆ y ,Lˆ z ] iLˆ x
t)Aˆ
(t) t
dr
*(t)
Aˆ t
(t)dr
1 i
*(t)Aˆ Hˆ (t)dr
1 i
Hˆ (t))*(t)Aˆ (
t)dr
dA Aˆ [Aˆ , Hˆ ] dt t i
若 Aˆ 不显含t，则
dA [Aˆ , Hˆ ] dt i
当 [Aˆ , Hˆ ] 0 ，则 Aˆ （对体系任何态）不随t变。