时间序列的特性
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5
季节性 (Seasonality)
很多时间序列表现出某种周期性
– 例：商品零售额常常呈现季节性变化
可以通过在模型中引入季节虚变量的方 式来处理数据体现出的季节性。 也可以在建立模型前对数据做处理，即 获得调整季节性的序列。
6
随机时间序列的类型
平稳时间序列(stationary time series ) 指均值、方差和自回归函数不随时间变 化的时间序列； 非平稳时间序列(Nonstationary time series )指均值、方差和自回归函数随 时间而变化的时间序列。 具有上升或下降趋势的时间序列为非稳 定序列。
17
随机行走 (Random Walks)
随机行走是一种AR(1)过程，此时要求r1=1， 这意味着，序列不是弱依赖性的。
– yt = yt-1 + et , t = 1, 2,…
对于具有随机行走特征的序列，yt的期望值总 是等于y0，与时间t无关。 然而方差Var(yt) = se2t随着时间t增大。 我们说随机行走是高度持续的(persistent)， 因为对于所有的h ≥ 1，都有E(yt+h|yt) = yt 。
9
方差平稳过程 (Variance stationary process)
对于任意的t且当h ≥ 1时，若 E(xt)和 Var(xt) 均为常数，Cov(xt, xt+h) 仅依赖h而与 t无关， 那么该序列表现为方差平稳过程。 因而，上述平稳性的弱形式仅仅要求均值和 方差不随时间而变化，方差仅仅取决于两个 观察值之间的距离。
16
AR(1)过程
一阶自回归过程AR(1)可以表示为：
– yt = ryt-1 + et , t = 1, 2,… – 式中et为均值为0、方差为se2的相同独立 分布随机变量。
AR(1)满足弱依赖性的条件是|r| < 1 此时有：
– Corr(yt ,yt+h) = Cov(yt ,yt+h)/(sysy) = rh – 随着h 的增大，相关系数下降。
差分平稳
缓慢下降 长期存在 发散 逐步偏离均衡 非0
13
时间序列的特征
在做多元回归之前，有必要先了解每个时间 序列的特性。 在很多应用研究中，人们常常对具有增长趋 势的时间序列取对数后进行分析。 取对数后，这样的序列常常更接近于一条直 线。大多数宏观经济数据表现出这一特征。 取对数后的变量差分(LnYt-LnYt-1)近似反映了 两个时期之间该序列的增长率。
每个序列对时间趋势变量做回归
– 线性趋势/指数趋势/多项式趋势
得到的残差项构成“消除趋势”的序列。 在回归模型中加上一个时间趋势变量可以起 到类似的作用。 利用消除趋势的数据建立回归模型有一个优 点，这涉及到对回归方程拟合优度的评价：
– 利用时间序列做回归趋于得到非常高的R2，这是 由于对趋势能够很好地做出解释。 – 用消除趋势的变量做回归可以更可靠地反映出X对 Y的解释能力。
第十章 时间序列的特性
1
本章内容
随机时间序列的类型 平稳时间序列特性 自回归与移动平均过程 自回归函数
2
时间序列数据
时间序列数据有严格的时间先后顺序。 在利用时间序列数据建立模型时需要认 识到，我们获得的样本不再具有从总体 中随机抽取的性质。 我们所面对的是一个实际实现的随机过 程。
8
平稳随机过程 (Stationary Stochastic Process)
当时间序列xt为平稳随机过程时，对于 任意的一个时段1≤ t1 < …<tm和h1 ， (xt1, …, xtm) 的联合分布等同于(xt1+h, … xtm+h)的联合分布。 因而平稳性意味着：
– 所有的xt都具有相同的分布 – 在整个时期内，任何两个相邻项之间的相 关程度都相同。
14
我国的实际GDP（1970-2002）
30000 25000 20000 10 15000 10000 5000 0 5 0 -5
GDP Ln(GDP) dLn(GDP)
20 15
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
15
MA(1)过程
一阶移动平均过程MA(1)可以表示为：
– yt = et + 1et-1, t = 1, 2, … – 式中et 为均值为0、方差为se2的相同独立分布随 机变量(iid) 。
满足上述条件的序列yt是一个平稳和具有弱依 赖性的序列(weakly dependent sequence)
– 从公式可以注意到，前后两期变量之间存在着相 关，但间隔再长的变量之间则不存在相关。
3
时间序列的趋势
经济数据序列经常表现出明显的时间趋势。 我们不能仅仅根据两个序列具有相类似的趋 势而断定其存在因果关系。 这是因为，这种共同趋势常常是由于其他因 素所造成的。 如果有相关的信息，我们可以直接控制其他 因素的影响，否则只能通过消除趋势的方式 来处理。
4
消除趋势的方法
7
弱依赖时间序列
(Weakly Dependent Time Series)
当随着h的增大后xt 和xt+h 趋近于相互独 立的分布时，我们将这样的序列称作弱 依赖时间序列。 对于一个方差平稳过程，若当h → ∞时 Corr(xt, xt+h) → 0 ，我们说此方差平稳 过程是弱依赖的。
10
具有趋势的时间序列
具有趋势的时间序列不可能是平稳的， 这是由于其均值随时间而不断变化。 具有趋势的时间序列可以是弱依赖性的。 若时间序列是弱依赖性的，并且将其消 除趋势后成为平稳序列，那么这种序列 被称作趋势平稳过程(Trend stationary) 。
11
不同类型的平稳性
有趋势的平稳过程
– 序列由一个趋势函数和具有平稳性的误差组合而 成
I(d)过程
– 经过d次差分后可变为平稳过程的序列(difference stationary)
一般而言，非平稳性序列：
– 可以通过差分转变为平稳序列 – 估计量具有不标准的分布（例：随机行走过程）。
12
趋势平稳与差分平稳的区别
趋势平稳
自回归系数 动态乘数 平均平方误(MSE) 均值 Dyt的长期方差 迅速下降 很快消失 收敛 趋于恢复均衡 0
季节性 (Seasonality)
很多时间序列表现出某种周期性
– 例：商品零售额常常呈现季节性变化
可以通过在模型中引入季节虚变量的方 式来处理数据体现出的季节性。 也可以在建立模型前对数据做处理，即 获得调整季节性的序列。
6
随机时间序列的类型
平稳时间序列(stationary time series ) 指均值、方差和自回归函数不随时间变 化的时间序列； 非平稳时间序列(Nonstationary time series )指均值、方差和自回归函数随 时间而变化的时间序列。 具有上升或下降趋势的时间序列为非稳 定序列。
17
随机行走 (Random Walks)
随机行走是一种AR(1)过程，此时要求r1=1， 这意味着，序列不是弱依赖性的。
– yt = yt-1 + et , t = 1, 2,…
对于具有随机行走特征的序列，yt的期望值总 是等于y0，与时间t无关。 然而方差Var(yt) = se2t随着时间t增大。 我们说随机行走是高度持续的(persistent)， 因为对于所有的h ≥ 1，都有E(yt+h|yt) = yt 。
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方差平稳过程 (Variance stationary process)
对于任意的t且当h ≥ 1时，若 E(xt)和 Var(xt) 均为常数，Cov(xt, xt+h) 仅依赖h而与 t无关， 那么该序列表现为方差平稳过程。 因而，上述平稳性的弱形式仅仅要求均值和 方差不随时间而变化，方差仅仅取决于两个 观察值之间的距离。
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AR(1)过程
一阶自回归过程AR(1)可以表示为：
– yt = ryt-1 + et , t = 1, 2,… – 式中et为均值为0、方差为se2的相同独立 分布随机变量。
AR(1)满足弱依赖性的条件是|r| < 1 此时有：
– Corr(yt ,yt+h) = Cov(yt ,yt+h)/(sysy) = rh – 随着h 的增大，相关系数下降。
差分平稳
缓慢下降 长期存在 发散 逐步偏离均衡 非0
13
时间序列的特征
在做多元回归之前，有必要先了解每个时间 序列的特性。 在很多应用研究中，人们常常对具有增长趋 势的时间序列取对数后进行分析。 取对数后，这样的序列常常更接近于一条直 线。大多数宏观经济数据表现出这一特征。 取对数后的变量差分(LnYt-LnYt-1)近似反映了 两个时期之间该序列的增长率。
每个序列对时间趋势变量做回归
– 线性趋势/指数趋势/多项式趋势
得到的残差项构成“消除趋势”的序列。 在回归模型中加上一个时间趋势变量可以起 到类似的作用。 利用消除趋势的数据建立回归模型有一个优 点，这涉及到对回归方程拟合优度的评价：
– 利用时间序列做回归趋于得到非常高的R2，这是 由于对趋势能够很好地做出解释。 – 用消除趋势的变量做回归可以更可靠地反映出X对 Y的解释能力。
第十章 时间序列的特性
1
本章内容
随机时间序列的类型 平稳时间序列特性 自回归与移动平均过程 自回归函数
2
时间序列数据
时间序列数据有严格的时间先后顺序。 在利用时间序列数据建立模型时需要认 识到，我们获得的样本不再具有从总体 中随机抽取的性质。 我们所面对的是一个实际实现的随机过 程。
8
平稳随机过程 (Stationary Stochastic Process)
当时间序列xt为平稳随机过程时，对于 任意的一个时段1≤ t1 < …<tm和h1 ， (xt1, …, xtm) 的联合分布等同于(xt1+h, … xtm+h)的联合分布。 因而平稳性意味着：
– 所有的xt都具有相同的分布 – 在整个时期内，任何两个相邻项之间的相 关程度都相同。
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我国的实际GDP（1970-2002）
30000 25000 20000 10 15000 10000 5000 0 5 0 -5
GDP Ln(GDP) dLn(GDP)
20 15
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
15
MA(1)过程
一阶移动平均过程MA(1)可以表示为：
– yt = et + 1et-1, t = 1, 2, … – 式中et 为均值为0、方差为se2的相同独立分布随 机变量(iid) 。
满足上述条件的序列yt是一个平稳和具有弱依 赖性的序列(weakly dependent sequence)
– 从公式可以注意到，前后两期变量之间存在着相 关，但间隔再长的变量之间则不存在相关。
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时间序列的趋势
经济数据序列经常表现出明显的时间趋势。 我们不能仅仅根据两个序列具有相类似的趋 势而断定其存在因果关系。 这是因为，这种共同趋势常常是由于其他因 素所造成的。 如果有相关的信息，我们可以直接控制其他 因素的影响，否则只能通过消除趋势的方式 来处理。
4
消除趋势的方法
7
弱依赖时间序列
(Weakly Dependent Time Series)
当随着h的增大后xt 和xt+h 趋近于相互独 立的分布时，我们将这样的序列称作弱 依赖时间序列。 对于一个方差平稳过程，若当h → ∞时 Corr(xt, xt+h) → 0 ，我们说此方差平稳 过程是弱依赖的。
10
具有趋势的时间序列
具有趋势的时间序列不可能是平稳的， 这是由于其均值随时间而不断变化。 具有趋势的时间序列可以是弱依赖性的。 若时间序列是弱依赖性的，并且将其消 除趋势后成为平稳序列，那么这种序列 被称作趋势平稳过程(Trend stationary) 。
11
不同类型的平稳性
有趋势的平稳过程
– 序列由一个趋势函数和具有平稳性的误差组合而 成
I(d)过程
– 经过d次差分后可变为平稳过程的序列(difference stationary)
一般而言，非平稳性序列：
– 可以通过差分转变为平稳序列 – 估计量具有不标准的分布（例：随机行走过程）。
12
趋势平稳与差分平稳的区别
趋势平稳
自回归系数 动态乘数 平均平方误(MSE) 均值 Dyt的长期方差 迅速下降 很快消失 收敛 趋于恢复均衡 0