八年级寒假讲义第5讲—勾股定理逆定理(含答案)

1对1辅导讲义

第一部分 【课前检测】

1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则

树折断之前高( )

A.5

B.7

C.8

D.10

7.（2015•江阴市模拟）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABDE 、ACFG 、BCIH ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4． 则S 1+S 2+S 3+S 4等于（ ）

A.90

B.60

C.169

D.144

8. 已知，如图长方形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝9，将此长方形折叠，使点B 与点D 重

合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）

A.3

B.4

C.6

D.12

13.（2015•杭州模拟）如图，圆柱形容器中，高为120cm ，底面周长为100cm ，在容器内壁离容器底部m m m m m m cm cm 2cm 2

cm 2cm 2cm

40cm 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 cm ．（容器厚度忽略不计）

15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑

的四个小正方形的面积的和是10，则其中最大的正方形的边长为______．

（答案和解析）

1.【答案】C ；

【解析】树高为.

7.【答案】A ；

【解析】解：过D 作BM 的垂线交BM 于N ，

∵图中S 2=S Rt △DOI ，S △BOC =S △MND ，

∴S 2+S 4=S Rt △ABC ．

可证明Rt △AGE ≌Rt △ABC ，Rt △DNB ≌Rt △BHD ，

∴S 1+S 2+S 3+S 4

=S 1+S 3+（S 2+S 4），

=Rt △ABC 的面积+Rt △ABC 的面积+Rt △ABC 的面积

=Rt △ABC 的面积×3

=12×5÷2×3

=90．

故选：A ．

8.【答案】C ；

【解析】设AE ＝，则DE ＝BE ＝9－，在Rt △ABE 中，

.

13.【答案】130；

【解析】解：如图，将容器侧面展开，作A 关于EC 的对称点A′，连接A′B 交EC 于

F ，则A′B 即为最短距离．

∵高为120cm ，底面周长为100cm ，在容器内壁离容器底部40cm 的点B 处有一蚊子，此时

一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm 与蚊子相对的点A 处，∴A′D=50cm，

BD=120cm ，

∴在直角△A′DB 中，A′B===130（cm ）．

故答案是：130．

2cm cm 22334358++=+=x x

15.【答案】；

【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.

第二部分 【知识精讲】

一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角

形是否为直角三角形.

二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1） 首先确定最大边（如）.

（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角

三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.

要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐

角三角形，其中为三角形的最大边.

三、互逆命题

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.

四、勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

（3） （是自然数）是直角三角形的三条边

长；

10a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ≠+222a b c +<222a b c +>c 222x y z +=x y z 、、a b c 、、t at bt ct 、、22121n n n -+，，1,n n >2222,21,221n n n n n ++++n 2222,,2m n m n mn -+,m n m n >、

第三部分【典例精讲】

类型一、原命题与逆命题

1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1．原命题：猫有四只脚．

2．原命题：对顶角相等.

3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．

4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．

【答案与解析】

1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）

2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）

4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）

【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.

举一反三：

【变式】下列命题中，其逆．

命题成立的是______________．（只填写序号）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．

【答案】①④

提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长满足”也是正确的.

类型二、勾股定理的逆定理

2、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．

（1）＝7，＝24，＝25；

（2）＝，＝1，＝； （3），，()；

【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．

【答案与解析】

a b c ，，222a b c +=a b c ，，222a b c +=a b c ，，a b c a 43b c 34

22a m n =-22b m n =+2c mn =0m n >>