函数的连续性与间断点
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第八节 函数的连续性 与间断点
函数的连续(continuity) 函数的间断点 (discontinuous point) 小结 思考题 作业
1
第一章 函数与极限
函数的连续性与间断点
在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时 间变化很小时,生物生长的也很少.这种现象 在函数关系上的反映就是函数的连续性.
x1
x1
O 1x
lim f ( x) lim(x 1) 2 f (1),
x1
x1
所以 f ( x)在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数 f ( x)在点 x 1处不连续.
11
函数的连续性与间断点
4. 连续函数(continous function)与连续 区间在区间上每一点都连续的函数, 称该区间 上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间. continuous
left);
the
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 ) f ( x0 0)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处右连续(continuity from
right)y .
the
y
左连续
右连续
O
x0
x
O
x0
x
9
函数的连续性与间断点
定理1 函数 f ( x)在 x0 处连续
x sin
1 x
0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
函数的连续性与间断点
3. 左、右连续
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 0) f ( x0 ) ,
则称f ( x)在点x0处左连续(continuity from
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0
5
函数的连续性与间断点
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的即. 它是对
某一邻域而言 因此在孤立点处无连续可言. .
一般讲,证明的命题用函数连续的
定
判断函数在某点是否连续,尤其
义 是判1方断便分;段函数在分界点处是否连续用
x 0
2
即函数 y sin x对任在区间(,)内
是连续的.
7
函数的连续性与间断点
定义2 lim f ( x) f ( x0 ) x x0
例
试证函数
f (x)
x
sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证
lim x0
在高等数学中,主要的研究对象就 是连续函从数直. 观上不妨这样说, 连续函数的 特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以 一笔画成.
2
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 函数的增量
自变量 x0x, 称差 x x x0 为自变量在 x0 的增量;函数随着从 f ( x0 ) f ( x), 称差
x0
( ,
),
lim
x x0
P(
x)
P( x0 )
第五节中已证
因此有理整函数在 ( , )内是连续的.
有理分式函数 R( x) P( x) Q( x)
只要 Q( x0 )
0 , 都有
lim
x x0
R( x)
R(
x0 )
因此有理分式函数在其定义域内的每一点
f ( x)在开区间 (a, b) 内连续 f ( x) C(a,b) 左端点 x a 右连续 ( lim f ( x) f (a))
xa
右端点 x b左连续 ( lim f ( x) f (b)) xb
f ( x) C[a,b]
12
函数的连续性与间断点
关于连续函数, 有一个对某些问题的推理 很有用的定理.
函数 f ( x)在 x0处既左连续又右连续.
f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分 处段的点连续性.
10
函数的连续性与间断点
例
讨论函数
f (x)
x2,
x 1,
x 1, x 1, y
在 x 1处的连续性.
解 lim f ( x) lim x2 1 f (1),
充分必在要条件 lim y 0 x0
则称函数把f(极x)限在与x0处连连续续性,并联称系x起0为来函了数,且f提(x)的
连续点供.了连续函数求极限的简便方法——只 需设求x出该x点0 函x数, 特y定值f (. x) f ( x0 ),
连定续义x函 连 采.2数 续 用0若自的 性 了即xl变i增 的 无为mx0量量 特 穷xf 在(也征小x)x为定.x0点0无义,f的(y穷法x增0小),量0则.形即为称象无为函地穷f数表(小xf示()时x了),在f x(0x处0 ).
4
函数的连续性与间断点
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论 证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1)f (x)在U ( x0 )内有定义;
(2) lim f ( x) 存在; x x0
定理2 设f ( x)在x0连续,且f ( x0 ) 0, 则存在 x0
的一个邻域, 使得在此邻域内
y
f ( x) f ( x0 ) 0.
2
f ( x0 )
f ( x0 )
2
连续函数的图形
O
x0
x
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
13
函数的连续性与间断点
例如, 有理整函数(多项式)
P( x) a0 a1x an xn
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )为函数的
增量. y 如图:
x x0 x
y f (x)
y
y
y f (x)
f ( x0 )y
x
f ( x0 )
x
O
x0
x0 x x O
x0 x0 x x
3
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义1 设函数 f (x)U ( x0 )内有定义,若
定义2方便.
6
函数的连续性与间断点
lim y 0
x0
例 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin(x x) sin x
2 sin
x 2
cos( x
x ) 2
2
x
2
1
sin x x
22
x x 0 0 即 lim y 0 cos( x x) 1
函数的连续(continuity) 函数的间断点 (discontinuous point) 小结 思考题 作业
1
第一章 函数与极限
函数的连续性与间断点
在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时 间变化很小时,生物生长的也很少.这种现象 在函数关系上的反映就是函数的连续性.
x1
x1
O 1x
lim f ( x) lim(x 1) 2 f (1),
x1
x1
所以 f ( x)在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数 f ( x)在点 x 1处不连续.
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函数的连续性与间断点
4. 连续函数(continous function)与连续 区间在区间上每一点都连续的函数, 称该区间 上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间. continuous
left);
the
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 ) f ( x0 0)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处右连续(continuity from
right)y .
the
y
左连续
右连续
O
x0
x
O
x0
x
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函数的连续性与间断点
定理1 函数 f ( x)在 x0 处连续
x sin
1 x
0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
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函数的连续性与间断点
3. 左、右连续
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 0) f ( x0 ) ,
则称f ( x)在点x0处左连续(continuity from
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0
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函数的连续性与间断点
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的即. 它是对
某一邻域而言 因此在孤立点处无连续可言. .
一般讲,证明的命题用函数连续的
定
判断函数在某点是否连续,尤其
义 是判1方断便分;段函数在分界点处是否连续用
x 0
2
即函数 y sin x对任在区间(,)内
是连续的.
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函数的连续性与间断点
定义2 lim f ( x) f ( x0 ) x x0
例
试证函数
f (x)
x
sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证
lim x0
在高等数学中,主要的研究对象就 是连续函从数直. 观上不妨这样说, 连续函数的 特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以 一笔画成.
2
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 函数的增量
自变量 x0x, 称差 x x x0 为自变量在 x0 的增量;函数随着从 f ( x0 ) f ( x), 称差
x0
( ,
),
lim
x x0
P(
x)
P( x0 )
第五节中已证
因此有理整函数在 ( , )内是连续的.
有理分式函数 R( x) P( x) Q( x)
只要 Q( x0 )
0 , 都有
lim
x x0
R( x)
R(
x0 )
因此有理分式函数在其定义域内的每一点
f ( x)在开区间 (a, b) 内连续 f ( x) C(a,b) 左端点 x a 右连续 ( lim f ( x) f (a))
xa
右端点 x b左连续 ( lim f ( x) f (b)) xb
f ( x) C[a,b]
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函数的连续性与间断点
关于连续函数, 有一个对某些问题的推理 很有用的定理.
函数 f ( x)在 x0处既左连续又右连续.
f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分 处段的点连续性.
10
函数的连续性与间断点
例
讨论函数
f (x)
x2,
x 1,
x 1, x 1, y
在 x 1处的连续性.
解 lim f ( x) lim x2 1 f (1),
充分必在要条件 lim y 0 x0
则称函数把f(极x)限在与x0处连连续续性,并联称系x起0为来函了数,且f提(x)的
连续点供.了连续函数求极限的简便方法——只 需设求x出该x点0 函x数, 特y定值f (. x) f ( x0 ),
连定续义x函 连 采.2数 续 用0若自的 性 了即xl变i增 的 无为mx0量量 特 穷xf 在(也征小x)x为定.x0点0无义,f的(y穷法x增0小),量0则.形即为称象无为函地穷f数表(小xf示()时x了),在f x(0x处0 ).
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函数的连续性与间断点
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论 证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1)f (x)在U ( x0 )内有定义;
(2) lim f ( x) 存在; x x0
定理2 设f ( x)在x0连续,且f ( x0 ) 0, 则存在 x0
的一个邻域, 使得在此邻域内
y
f ( x) f ( x0 ) 0.
2
f ( x0 )
f ( x0 )
2
连续函数的图形
O
x0
x
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
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函数的连续性与间断点
例如, 有理整函数(多项式)
P( x) a0 a1x an xn
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )为函数的
增量. y 如图:
x x0 x
y f (x)
y
y
y f (x)
f ( x0 )y
x
f ( x0 )
x
O
x0
x0 x x O
x0 x0 x x
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函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义1 设函数 f (x)U ( x0 )内有定义,若
定义2方便.
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函数的连续性与间断点
lim y 0
x0
例 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin(x x) sin x
2 sin
x 2
cos( x
x ) 2
2
x
2
1
sin x x
22
x x 0 0 即 lim y 0 cos( x x) 1