第1章工程随机数学基础习题_答案

第1章随机事件及其概率

习题 1

1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）

。

解：以n 表示该班的学生数，总成绩的可能取值为n 100,...,3,2,1,0，所以试验的样

本空间为

}.

100,...,2,1,0|{n i n

i S

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。解：

}

18,...,

5,4,3{S （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

解：设在生产第

10件正品前共生产了

k

件不合格品，样本空间为

,...}

2,1,0|10{k k S 或写成

,...}

12,11,10{S （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”

，不合格的记上“次品”，如

连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解：采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可以表示为

}.

1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00{S （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。解：

}

10,10|),{(y x y x S （6）实测某种型号灯泡的寿命。解：

}

0|{x x S 2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。

（1）A 发生，B 与C 不发生。（2）A 与B 都发生，而C 不发生。（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。（4）A ，B ，C 都发生。（5）A ，B ，C 都不发生。（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。解：以下分别用

)8,...,

2,1(i

D i 表示)8(),...,

2(),1(中所给出的事件。注意到一个事件

不发生即为它的对立事件的发生，例如事件A 不发生即为A 发生。

（1）

A 发生，

B 与

C 不发生，表示

C B A ,,同时发生，故

C B A

D 1

或写成

C B

A

D 1

。

（2）

A 与

B 都发生而

C 不发生，表示C

B A ,,同时发生，故

C AB

D 2

或写

成

C AB

D 2。

（3）由和事件的含义知，事件C B A

即表示C B A ,,中至少有一个发

生，故

C B

A D 3

。

也可以这样考虑：事件“C B A ,,至少有一个发生”是事件“

C B A ,,都

不发生”的对立事件，因此C B A D 3

。

也可以这样考虑：事件“

C B A ,,中至少有一个发生”表示三个事件中

恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，

3D 又可写成

ABC BC

A C

B A

C AB C B A C B A C

B A D 3

。

（4）ABC D 4

。

（5）C B A D 5

。

（6）

“

C B A ,,中不多于一个发生”表示

C B A ,,都不发生或C B A ,,中恰有

一个发生，因此C B A C

B A C

B A C

B A D 6

。

又“C B A ,,中不多于一个发生”表示“C B A ,,中至少有两个不发生”

，

亦即C B A ,,中至少有一个发生，因此又有

C A C

B B

A D 6

。

又“

C B A ,,中不多于一个发生”是事件

G “C B A ,,中至少有两个发生”的对立事件，而事件G 可写成CA BC AB G

，因此又可将

6D 写成CA BC

AB CA BC AB D 6

。

（7）

“

C B A ,,中不多于两个发生”表示C B A ,,都不发生或C B A ,,中恰有一个发生或C B A ,,中恰有两个发生。因此，

BC A C

B A C

AB C

B A C

B A C

B A C

B A D 7

。又“

C B A ,,中不多与两个发生”表示

C B A ,,中至少有一个不发生，亦即

C B A ,,中至少有一个发生，即有

C B

A

D 7

。

又“

C

B A ,,中不多于两个发生”是事件“

C B A ,,三个都发生”的对

立事件，因此又有

ABC D 7

。

（8）

CA BC

AB D 8，也可写成

C AB C

B A BC

A ABC

D 8

。

3．从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：

（1）三位数是奇数；（2）三位数为5的倍数；（3）三位数为3的倍数；（4）三位数小于

350。

解

（1）构成三位数有

3

5

A 种情况，而三位数是奇数则要求最后一位为

1，3，5三个数

之一，有

1

3C

，余下的两位数则在剩余的四个数字之间选择一个，有

24

A 。则三

位数是奇数的概率如下：

5

335

24

13

A A C （2）三位数为5的倍数，则最后一位必然为5，有：

5

135

24A

A

（3）三维数为

3的倍数，则必有一个

3，另外为：1，2；1，5；2，4；4，5。共4

种组合。5

243

5

33

A A

（4）首位为1，2，最后两位有

4，3种选择，首位为

3，最后两位有

3，3种选择。

20

1135

1

3132

4

12A

A A A C 4．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签

脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾

客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？

解：

E ：在

17桶油漆中任取9桶给顾客。以

A 表示事件“顾客取到

4桶白漆，3桶

黑漆与2桶红漆”，则有

2

3344

10)

(,9

17)

(A N S N ，故

2431

2529

172

33

44

10)

(/)()(S N A N A P 。5．在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任取

200个。

（1）求恰有90个次品的概率；