极限不存在的证明

不如何证明极限不存在

一、归结原则

原理:设f 在);('00δx U 内有定义，)(lim 0

x f x x →存在的充要条件是：对任何含于);('00δx U 且以0x 为极限的数列{}n x 极限)(lim n n x f ∞

→都存在且相等。 例如：证明极限x

x 1sin

lim 0→不存在 证：设),2,1(221,1⋯=+="='n n x n x n n πππ，则显然有 ，)(0,0∞→→"→'n x x n n )(111sin ,001sin ∞→→="→='n x x n

n 由归结原则即得结论。

二、左右极限法

原理：判断当0x x →时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。 例如：证明)1arctan()(x

x f =当0→x 时的极限不存在。 因为2)1arctan(lim 0π-=-→x x x=0，2)1arctan(lim 0π=+→x x ，)1arctan(lim )1arctan(lim 00x

x x x +-→→≠，所以当0→x 时，)1arctan(x

的极限不存在。 三、证明∞→x 时的极限不存在

原理：判断当∞→x 时的极限，只要考察-∞→x 与+∞→x 时的极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。

例如：证明x e x f =)(在∞→x 时的极限不存在

因为0lim =-∞→x x e ，+∞=+∞→x x e lim ；因此，x x x x e e +∞→-∞→≠lim lim 所以当∞→x 时，x e 的极限不存在。

四、柯西准则

原理：设f 在);('00δx U 内有定义，)(lim 0

x f x x →存在的充要条件是：任给0>ε，存

在正数)(δδ'<，使得对任何);(,00δx U x x ∈'''，使得0)()(ε≥''-'x f x f 。 例如：在方法一的例题中，取10=ε，对任何0>δ，设正数δ1>

n ，令

21,1πππ+=''='n x n x 即证。 五、定义法

原理：设函数)(x f 在一个形如),(+∞a 的区间中有定义，对任何R A ∈，如果存在

00>ε，使对任何0>X 都存在X x >0,使得00)(ε≥-A x f ,则)(x f 在+∞→x 时没有极限。

例如：证明x x cos lim +∞

→不存在 设函数x x f cos )(=，)(x f 在),0(+∞中有定义，对任何R A ∈，不妨设0≥A ,取2

10=ε，于是对任何0>δ，取00>ε 反证法（利用极限定义） 数学归纳法