清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学

ZI
sin
1
sin
a
2W z
2
2W
KI
a
2W
a
tan
a
2W
【题3-7】对于周期性分布的共行、共列裂纹，如何提边界条件？并 利用Westergaard函数证明裂尖应力强度因子。
ba
共行裂纹的交互作用为加强各自的应力强度因子，而共列裂纹则起相互屏 蔽作用。
II裂纹的Westergaard应力函数 ZII z 2i z
Z III
~
T z b
z b i0
Z III
~
T z b
z b i0
z b i0
Z III
i
T
z b
z b i0
Z III
i
T
z b
附：复变函数的性质 z2 a2
III型半无限场裂纹面上承受集中力
ZIII
T
z z b
ZIII
T
b
z z b
ZIII
1 z
z0
T ZIII ~ z b
z bei
T ZIII ~ z b
z bei
z bei
Z III
i
T
z b
z bei
Z III
i
T
z b
权函数法 顾名思义，加权累加，所以要求线弹性
K t h d A f h dA
James R. Rice Bueckner, H.F., “A Novel Principle for the Computation of Stress Intensity Factors.” Zeitschrift f ür Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 50, 1970, pp. 529–545. Rice, J.R., “Some Remarks on Elastic Crack-Tip Stress Fields.” International Journal of Solids and Structures, Vol. 8, 1972, pp. 751–758.
在前面的平面问题求解中,需要确定两个解析函数(z)和(z) ，其实在对称和
反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。
以I型问题为例：
F Re zz zdz
12 x1，0＝0 x1 , 利用了对称性
2F F,
Imzz z Imzz z 0
x2 0
ZIII z
ZIII ZIII
1 za 1 za
za z a
ZIII
z z2 a2
III型裂纹面上承受集中力
ZIII
T
z a z a z b
T
z2 a2 z b
T
a2 b2
ZIII z2 a2 z b
ZIII
1 za
za
1 ZIII z a z a
ZIII 0 z
1
a2 x12
x1 a
KIII
lim
za
Z III
z
2 z a
根据边界条件猜测Westergaard函数
边界条件
裂纹面
32 0 x1 a, x2 0
无穷远
32 31
0
x1, x2
32 i 31 ZIII
Re ZIII 0 z x1 i0, x1 a
12
x2
Re
Z
I
2u1 Re z
2u2 Im z
2u1
2
1
Re
ZI dz x2 ImZI Ax1
2u2
1 2
Im
ZI dz x2 ReZI Ax2
当 x2= 0时剪应力为零，这意味着裂纹面是主平面。
例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板
自由裂纹表面：
i 0 22
2u3
2u3 r 2
1 r
u3 r
1 r2
2u3 2
0
u3 r1uˆ3
ui 0 as r 0
为什么有如此渐近的形式？
分离变量法 u3 r, Rruˆ3
2u3
2R r 2
uˆ3
1 r
R r
uˆ3
R r2
2uˆ3 2
0
12
r2 R
2R r 2
r R
R r
1 uˆ3
2uˆ3 2
22
ReZI
x2
Im
Z
I
A
【作业题3-6】 双轴加载，但水 平与竖直方向远
场应力不同
I型裂纹：
x1 a, x2 0
转换坐标到裂尖
ZI
z z2 a2
22 Re ZI x1
x1
x12 a2
r x1 a x1 r a
lim
r 0
22
r,0
lim r 0
x1
x1 a x1 a
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
KIII
lim
x1 0
2 x1 32 x1, 0
32 x1, 0
KIII
2 x1
u3 u3+ a x1, u3- a x1, =2u3+ a x1, =
2
2KIII
1
a x1 2
G lim U A UB lim 1
裂尖位移场
裂尖温度场
基于应力强度因子的断裂准则
实验测量KIC
安全
KI KIC 临界状态
KIC 材料的断裂韧性 （Fracture toughness）
ASTM Single edge notch bend (SENB)
Compact tension (CT)
平面应变
2
B
2.5
K IC y
2
a
1 2
Re
ZI dz x2 ImZI
裂纹面上
22 ReZI x1
2u2
1 Im 2
ZI dz x2 ReZI
u2
1 Im 4
ZI dz
x2 x1
还可用Westergaard函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用（参见 Koiter，1959的工作）。如何猜测Westergaard函数？
第三章：线弹性断裂力学
断裂模式及对称性分析 三型裂纹裂尖场的渐近解
复变函数（回顾） 三型裂纹裂尖场的解
应力强度因子K K-G关系
计算K的常用方法 讨论
反平面剪切问题（一个相对简单的问题）
3 , 0
3
1 2 u3,
3 2 3
整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化）
渐近解
2u3 0
到的。
G
K
2 I
K
2 II
K2 III
E 2
在II型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很
多材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I
型断裂占优的路径。
此外，I型断裂最为危险。
G
K
2 I
E
实验测量应力强度因子
电测法 裂尖应变
光弹法
裂尖主应力
数字图像相关（Digital image correlation） 热弹性法（Thermoelastic Method）
1
G lim a0 2a
a
0 i2
x1, 0
ui dx1
1 lim
a0 a
a 0
i
2
x1
,
0
ui
a
x1,
dx1
x1,
a x1 2
KM
a
a
1 1 4
II I III
G
K
2 I
K
2 II
K2 III
E 2
【作业题3-5】
复合型裂纹
Ga
a
0 i2
x1,
0
ui
a
x1,
dx1
wtip a
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtip da dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
σ
x1
a
u
a u
G
K
2 I
K
2 II
K2 III
x1
E 2
平面应变断裂韧性：
能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得
应力强度因子的计算：
KM
lim x1 0
2x1 2i x1,0
i 1, 2, 3 M II I III
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）
之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件，Westergaard 应力函数方法将满足所有边界，并能给出全场解。
2.5
KIC y
Crack mouth opening displacement (CMOD)
KQ
PQ BW
f
a W
应力强度因子求解
此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载 荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法： ❖ Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function） ❖ 权函数法（Weight function） ❖ 线性叠加法 （Principle of superposition）
0
12
M.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).
应力强度因子KI,II,III与G之间的关系 G 与裂纹延伸时能量的变化有关
a0 a
a0 2a
a
0 32
x1, 0
u3dx1
1
lim a0 a
a 0
32
x1
,
0
u3
a
x1
,
dx1
G
K2 III
2
针对I、II、III型裂纹
x2
x2
σ
u
x1
a
u
x1
a
i2
KM a
2 x1
O
x1
i 1, 2, 3 M II I III
ui
ui a x1, ui a x1, 2ui a
※权函数法 应力强度因子与裂纹几何和载荷配置有关，权函
数法能做到解耦这两类影响，即对于同一种裂纹几何，如 果能知道一组载荷下的应力强度因子和场分布，就能知道 其他同类型载荷的应力强度因子。类似弹性力学的功的互 等定理。所以关键是寻求一个互等关系！
u1
x1, 0
1 4
a2 x12
K II
lim
za
i
Z
II
z
2 z a
x1 a
III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切
ZIII
z z2 a2
KIII a
u3
x1, 0
I、II型裂纹
4F 0
应力函数 F Re z z z dz
应力场
11 Re2 z 22 Re2 z 12 Imz
位移场
2u1 Re z 2u2 Im z
3 4 3
1
Plane strain Plane stress
Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）
U e
1 U e
G
A
B a
KI,II,III仅与裂纹尖端区域的场强度有关
KI K II
K III
lim
r0
2
r
22 12
r,0
r,
0
32
r
,
0
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
x2 0
zz z A A为实常数 x2 0
u v u v x y y x
解析延拓（定义见下页）： z A zz
I型裂纹的Westergaard应力函数： ZI z 2z
附：解析延拓数学定理 若 f1 在 R1中解析， f2 在 R2 中解析，且 R1 R2 ，如果
f1 f2 in R1 R2
f1 f2 in R1 R2
R1
R2
f1
f2
用Westergaard应力函数表示应力、位移
I型裂纹 ZI z 2z
z
A
z 2
ZI
z
应力场 位移场
ห้องสมุดไป่ตู้
11 ReZI x2 Im ZI A 22 ReZI x2 Im ZI A
11 Re2 z 22 Re2 z 12 Imz
a a
r 2a 2r
KI
lim r 0
2 r22 r, 0
a
KI a
KI
lim
za
Z
I
z
2 z a
一旦Westergaard函数已知，便可知道全场解
应力场
11 ReZI x2 Im
Z
I
22 ReZI x2 Im ZI
12 x2 Re ZI
位移场
2u1
21 x2 0, x1 a
22
ReZI
x2
Im
Z
I
A
ReZI x1 A 0
x1 a, x2 0
x1 a 是ZI(z)两个枝点，可猜测
Rz
Rz
ZI
za
A za
A z2 a2
无穷远处的边界条件：
z ,11 22
ZI
z
za za
z z2 a2
x2
x1
11 ReZI x2 Im ZI A
应力场 位移场 裂纹面上
11
22
2
ImZII
22
11
2
i12
iZII
x2
Z
II
4 u1 iu2 i ZII z dz i ZII z dz 2x2ZII z
12 ReZII
u1
1 4
Im
ZII dz
II型中心裂纹承受远场均匀剪切
KII a
ZII
z z2 a2