杨辉三角说课稿

一、教材分析

杨辉三角是人教B版选修2-3第一章的内容,是在学生学习过二项式定理后,进一步学习其性质的一个课例。杨辉三角所蕴含的丰富的数学规律、数学思想、方法给学生提供了一个很好的数学探究的课题。

根据杨辉三角在整个教材内容中的地位与作用,本节课教学应实现如下教学目标:

知识与技能:了解杨辉三角的简单历史,掌握杨辉三角的基本性质;

过程与方法: 通过探究过程培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题、解决问题能力; 情感态度与价值观:通过了解有关杨辉三角的简史,体会我国古代数学家的伟大成就,进行爱国主义教育,从而激发学生学习和探究杨辉三角的热情;通过小组讨论,培养学生发现问题、探究问题、建构知识的研究型学习习惯以及合作化学习的团队精神。

二、重难点分析：

根据上述教学目标,确定本节课的教学重点是:杨辉三角中数字的规律的探究二项式系数的性质; 本节课的学习难点是:杨辉三角中数字规律的发现和总结

三、学情分析：

本节课是在学生学习了组合的有关知识和研究数列的规律的方法上进行学习的，在知识上和研究的方法上都做好了准备。

四、教学学法

教法:为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取了:“观察、探究、发现、合作交流”的方法。采用问题导引的方式,让学生通过对低阶杨辉三角的观察,再到n阶杨辉三角的猜想。探究时采用先个人思考后小组合作交流,重点在于发现规律,不要求在课堂上证明。

学法:根据本节课的教学目标和教学方法,主张多给学生一点空间、时间,把角色还给学生,先由学生观察、探索,再发现与交流.引导学生逐步提高,发展学生有条理的思考与表达的能力,提高归纳猜想能力,使学生获得较全面的发展。

五、教学过程

为了实现本节课的教学目标,突出教学重点,突破教学难点,在教学设计上采用了以下六个教学环节,分三个探究层次来完成本节课的教学任务。

教学环节(一):创设情境,提出问题

(复习旧知)

1:二项式定理及其特例:

(1)C n m=C n n-m, (2) C n m+C n m-1=C n+1m.

2:二项展开式的通项公式:

(a+b)n=C n0a n+C n1a n-1b1+ C n2a n-2b2+…+C n r a n-r b r+…+C n n a0b n.

提出问题)3:提出问题:(a+b)n

展开式的二项式系数有什么规律?

课件演示:当n依此取1,2,3,…,时,二项式系数的列表,该列表叫做二项式系数表,因为它形如三角形,并且我国南宋的数学家杨辉对其有过深入的研究,所以又称它为杨辉三角。

简单介绍杨辉三角的发展历史(目的是对学生进行爱国主义教育)到了南宋,我国数学家杨辉在《详解九章算数》(1261)中记载并保存了“贾宪三角”,故称杨辉三角;再后来我国元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成为“古法七成方图”;而在欧洲一般认为是该图形是由法国数学家帕斯卡(Pascal)于1654年发现的,并称这个图形为“帕斯卡三角”,由此可见,对于杨辉三角的研究,我国比西方在了大约600年;到了近代又有许多数学家对“杨辉三角”有过深入研究,特别是华罗庚在他的科普著作《从杨辉三角谈起》中,对杨辉三角的构成,提出了一些有趣的看法,并将研究成果应用于其他工作。

三、教学过程

为了实现本节课的教学目标,突出教学重点,突破教学难点,在教学设计上采用了以下六个教学环节,分三个探究层次来完成本节课的教学任务。

今天,我们在前人研究的基础上,来探究杨辉三角中蕴含的一些有趣的数量关系。

[设计意图]通过了解有关杨辉三角的简史,体会我国古代数学家的伟大成就,进行爱国主义教育,从

而激发学生学习和探究杨辉三角的热情。

教学环节(二):自主探究,揭示性质(源于教材,重在完成教材内要求的教学任务)让学生观察上面给

出的杨辉三角图示(或更多阶的杨辉三角图),并且探究以下问题:

探究1:观察杨辉三角你能发现那些数量关系?由此得到二项式系数具有哪些性质?

(提示学生:观察方法:横看各行数字间的大小关系,组合数间的关系,以及不同横行间的数字间

的关系)

学生先自己观察(主要工作在于课前),后小组交流观察结果(主要工作在于课堂)。 [

设计意图]通过对杨辉三角的观察,引导学生发现其规律,培养学生的观察能力,由特殊到一般的归纳、猜想能力。

学生分小组展示探究结果(幻灯片展示),归纳出二项式系数的几条基本性质:

1、对称性:每一行中,与首末两端“等距离”的两个数相等,即:

2、最值:在(a+b)n的展开式中,当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大,最大系数为:;当n奇数

时,中间两项与的二项式系数最大,最大系数为:

3、递推规律:每一行两端的数字都是1,而其余数字都等于其肩上的两个数字之和,即:

4、二项式系数的和:二项展开式各二项式系数的和为2n; 即:。

[设计意图]以上四条数量关系是二项式系数的基本性质,也是本节课教学的重点,是解决后面问题的

基础,学生展示自主探究的结论,让学感受到自主探究的成就,同时激发继续探究的热情(特别说明,

在这里学生可能提出一些与教材内容不相符的探究结果,可以留待下一环节进行解决)。

教学环节(三):拓展探究,开阔视野(高于教材,重在培养学生的求异思维和创新能力)

引导学生继续探究,看看还能发现那些有趣的数量关系?

拓展探究1:观察第1,3,7行各个数的特点,你能发现什么规律?你能否总结一个一般性的结论?

结论:第2n-1行的所有数都是奇数,即: 为奇数(m=0,1,2,3,L,2k-1);

拓展探究2:观察第2,4,8行各个数的特点,你能发现什么规律?你能用一个

式子表示吗? 结论:第2n的所有数(除两端的1)都是偶数,即: 为偶数(m=1,2,3,… 2k-

1),(用基本性质3和拓展探究1的结论可以解释这个结论);

拓展探究3:每一行的各数,从左到右按顺序形成一个数,试归纳一下有何特点?

第0行:1=110;第1行:11=111 第2行:121=112;…,

猜想一般规律:第n行的各数,从左到右按顺序形成一个数,其结果为:11n (进一步体现本节课的探

究思路:由特殊问题,过渡到一般结论,这是我们研究数学问题的常用思路); 拓展探究4:第m条

斜线上的前n个数的和与第m+1条斜线上的第n个数有什么关系?

特例:1+1+1+1+1+1+1=? 提问:这是第一条斜线上的前几个数?这是第二条斜线上第几个数呢? 答案:第一条斜线上的前七个数的和=第二条斜线上的第七个数

同理可以解释1+2+3+4+5+6=? 和1+3+6+10+15=?……(让学生回答)

第2条斜线上的前6个数的和=第3条斜线上的第6个数;

追问一下:能否用文字语言将这个规律推广吗? 结论:第m条斜线上前n个数字的和=第m+1条斜

线上第n个数;

[设计意图]对于杨辉三角的进一步探究,既可以加深学生对杨辉三角基本性质的理解,又可激发学

生更大的学习热情,提高学生的思维水平,发展学生的创新能力。

教学环节(四):创新探究,横向联系(探究与其他知识的联系,培养学生联想创新能力)

创新探究1: 莱布尼兹三角形: 莱布尼茨三角形有许多跟杨辉三角类似的性质,请根据前面推理

方法,给出结论。

创新探究2:请写出斜线上各个数字的和,再观察这些和,你能发现什么规律?

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…此数列an满足:a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2(n≥3)。这就是著

名的斐波那契数列。这是中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作。

教学环节(五):归纳小结,体验方法

1、知识方面:自主探究的基本性质;创新探究的数字规律;

2、方法方面:认识事物的一般方法“观察-分析-猜想-证明”;从特殊到一般的思想方法;