高等数学同济七版第一章第六节

xx
..
sin 1 lim lim lim 解 lim x0
taxn第x 六 节x极0 限s存inx 在x 准co则1s
两 个 重要极si限n x x0 x
x
x0
1 c os x
1.
lim lim m 例2 求求
xx 00
11 cc oossxx xx22
.
y
y ta0n x
解
第六节 极限存在准则 两个重x要极限
于112是l例 例解 解 例llxixiximm由m034040 s1复令ai求 求求nr2xc2合xcsxt222oxillln=sxxii函xxi xxmmmma0000数第r12assssclll六 iiirirxinsintn的nxiccmmimx节 737s3ns000ixxx极xinn2sxx.极.iss，tn限.ii限xnnt2x则22运 存s2xi2xn在1x算23.例准解 例x=法则s55i则n两求求个t得，x重代llsyx当xiii 要nmm表sy极2i第nxxx相限3y六ssxii2nn同节012x2xx时的极..xco限2，表ssi存nx有达2在x t式准则0
1
A n a1n a2n amn Amn .
而
lim lim 1 mn
1 m
en
e0m 1 ,
n
n
故由夹逼准则I得 limn a1n a2n amn A. n
二、准则II 第二重要极 数限列的单调性
如果数列 { xn } 满足条件
x1 x2 … xn xn+1 … , 则称数列 { xn } 是单调增加的；如果数列 { xn } 满足条件
一、准则I 第一重要极
准限则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件
(1) 从某项起，即 n0 N，当 n > n0 时，有
第六节 极yn限存x在n准则zn两，个重要极限
lim lim ((21)) 当n n>ynn0时a，, ynn xnznzna，,
lim lim lim lim 那么(2数) 列 { xynn}的a 极, 限存在zn，且a ,
两个
,
第六节 极限存在准则 两个重要极限
例6 设 ai 0 (i =1, 2, … , m), A= max{a1 ,a2 ,…, am},
证明
证明
llimim n n a a1 1n n a a2 n 2n a am n mn A A.. n n
因为
所以
An a1n a2n amn An An An mAn ,
证明 右图中的圆为单位y 圆
D AD 为切线，圆心角为 x ，且 B
y
B 1
sinx x
0 x π , BC OA . 因为 1
2
sin x
tanOx cosx C
SAOB S扇形AOB SAOD , O
x
coxs C
Ax
而
SAOB
1 2
sin
x
,
S扇形AOB
1 2
x
,
SAOD
1 2
tan
x
,
D
tanx
Ax
所以 1 sin x 1 x 1 tan x ,
2
22
sin x x tan x ,
cosx sin x 1. x
函数 y sin x 的图形如下： x y
1 y sin x x
O
x
第六节 极限存在准则 两个重要极限
例例11
求求
lliximm0 x0
ttaann xx
准则II 单调有界数列必有极限.
证明略.
第二重要极第六限节 极限存在准则 两个重要e为极限自然对数的底，
lim1
1x
e.
e2.718281828
x x
证明 函数的图形如下. 从图中可以看出，函数在定
义域上是单调y增函1数 ，1 yx y 1 1x x
=
C
是y 其水平渐近线. y
x C
1C
O
又如，数列
xn
1
1 2n
是单调减少的，其几何意义如
下图所示.
从图中可以看出， 一般项 xn 随 n 的增大而减小，但 不论项 xn 如何减小，总有 xn > 1 . 而我们已知道该数 的极限存在，且为 1 .
从这两个例子，我们发现这样一个事实： 如果数列 { xn } 单调增加，且 xn < M (即有上界), 则该数列的极限存在；如果数列 { xn } 单调减少，且 xn > M (即有下界), 则该数列的极限存在. 这一发现不是偶然的，事实上，我们有
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0 (x)
xx0 (x)
那么 lim f ( x) 存在，且等 A . x x0 (x)
准则I及准则I'称为夹逼准则.
y y 1
y sin x x
1 ycoxs
O
x
第一重要极第六限节 极限存在准则 两个重要极限
lixm0 sinx x 1.
x(co
1 1 s x 1)x]1 x 21x NhomakorabeaO
x
lim1
1
x
e.
x x
在上式中，令 x 1 , 则得 t
1
lim1t t e. t0
第二重要极限公式适用的范围：
(1) 函数为幂指函数(底和指数均为x的函数)；
(2) 底的极限为1，指数的极限为 .
第六节 极限存在准则 两个重要极限
1 例例77
求求
llxxiimm 11
11 xx
xx
x1 x2 … xn xn+1 … , 则称数列 { xn } 是单调减少的. 单调增加和单调减少的 的数列统称为单调数列.
例如，数列
xn
n n 1
是单调增加的，其几何意义如
下图所示.
从图中可以看出， 一般项 xn 随 n 的增大而增大，但 不论项 xn 如何增大，总有 xn < 1 . 而我们已知道该数 的极限存在，且为 1 .
n
n
n
xn na .xn
a.
证明 已知当 n > n0 时，yn xn zn ，
lim yn a n
>0, N1, 当 n > N1 时, 有 | yn – a | < ,
准则I可以推广到函数的情形.
准则I' 如果
(1) 当 xU(x0,r)
(或 | x | > M)时，g(x) f(x) h(x) ，
..
lim1 解
第六节 极限存在准则两个重要极限
e
limlim lim lim lim 例例88 求求 x
1
x 10
x0
1ccooxssxx
1x2 x2
..
x x
1
1 x
x
x代 表1相1同x 的x(表1) 达式
lim1 lilmim lim lim 解
1
xcos x
1
1
x2
x
x
1
[1