第二章 现金流量的等值换算

答案：F=9981.96；P=3094.24
5）等额多次支付现金流量，当n → ∞ 时现值的计算
当n → ∞ 时等额多次支付现金流量的现值为：
(1 i ) n 1 A P lim[ A ] n n i (1 i ) i
例：拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发10000
(1) 方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初，即 “零点”处；方案的经常性支出假定发生在计息期末。 (2) P是在计算期初开始发生（零时点），F在当前以后第 n年年末发生，A是在考察期间各年年末发生。
(3) 利用公式进行资金的等值计算时，要充分利用现金流
量图。现金流量图不仅可以清晰、准确地反映现金收 支情况，而且有助于准确确定计息期数，使计算不致 发生错误。
i A F (1 i ) n 1
F P (1 i ) n
i (1 i ) A P n (1 i ) 1
n
例：若某工程项目投资1000万元，年利率为8%，预 计5年内全部收回，问每年年末等额回收多少资金？
解：由上式可得：
i (1 i ) n 8% (1 8% )5 A P 1000 [ ] 250.46 （万元） n 5 (1 i ) 1 (1 8% ) 1
第3、4年销售收入分别为300万元和500万元，其中经营成本均 为90万元。以后各年销售收入均为700万元，经营成本均为100
万元。项目的寿命期为9年，期末残值为120万元。请画出现金
流量图。
2、某设备价格为55万元，合同签订时付了10万元，然后采用
分期付款方式。第一年末付款14万元，从第二年起每半年付款 4万元，设年利率为12%，每半年复利一次，问多少年能付清设 备款？请画出现金流量图。
整理上式可得：
(1 i ) n 1 FA i
例：某公司5年内每年年末向银行存入200万元，假设存 款利率为5%，则第5年末可得到的本利和是多少？
解：由上式可得：
(1 i ) n 1 (1 5% )5 1 FA 200 [ ] 2 5.526 1105 （万元） i 5%
解：由上式可得：
(1 i ) n 1 (1 6% )5 1 PA 100[ ] 421.2 （万元） n 5 i (1 i ) 6% (1 6% )
课堂作业： 假设某父亲在他儿子诞生那一天决定把一笔款项存入银
行，年利率为5%，他准备在他儿子过18、19、20、21岁生日 都有一笔数额为2000元的款项，问（1）他现在应存入银行 多少钱？（2）若这四笔钱不取，而作为他儿子24岁生日时 的总开支，问他儿子24岁生日时有多少存款？
F 10000 P 8638 （元） n 3 (1 i ) ( 1 5%)
课堂作业： 某企业购置一台设备，方案实施时立即投入20000元，
第2年年末又投入15000元，第5年末又投入10000元，年利率 为5%，不计折旧，问第10年此设备的价值为多少？现值又为 多少？
答案：F=67502；P=41440
等额年值。
(4) 折现 把某一时间序列各时刻的资金折算到起点现值的 过程叫折现。
二、资金等值的计算公式
（一）一次支付类型 一次支付又称整付，是指所分析的系统的现金流量，无论是流入还 是流出均在某一个时点上一次发生。 1）一次支付终值公式 如果有一项资金，按年利率i进行投资，按复利计息，n年末其本利
(4) 在进行等值计算时，如果现金流动期与计息期不同时， 就需注意实际利率与名义利率的换算。 (5) 利用公式进行计算时，要注意现金流量计算公式是否 与等值计算公式中的现金流量计算公式相一致。如果 一致，可直接利用公式进行计算；否则，应先对现金 流量进行调整，然后再进行计算。
(三)等差支付类型
在实际工程的经济分析中，有些费用或收益是逐年变化的，这就形成了 等差支付的资金系列。 每年的等量变化量，即等量差额用G表示。
在考虑资金时间价值的情况下，不同时间点的等量资
金的价值并不相等，而不同时间点发生的不等量的资金则 可能具有相等的价值。 决定资金等值的因素是：①资金数额；②金额发生的 时间；③利率。
(1) 现值（P） 发生在某一时间序列起点（零点）的资金值（效益或费
用），或者把某一时间序列其它各时刻资金用折现办法折算 到起点的资金值，称做现值，记作P。
0 1 2 3 …… A n-1 F=? n
F A A( 1 i ) A( 1 i )2 A( 1 i )3 A( 1 i )n 1 A [ 1 ( 1 i ) ( 1 i ) 2 ( 1 i ) 3 ( 1 i )n 1 ]
元，若年利率为10%，现在应在入多少钱？
1 i 1 A 1 1 i PA n i i 1 i
n
n
当 n
P
时，
1 i
n
0
所以上式可变为
A i 10000 P 100000 (元) 10%
等值基本公式相互关系示意图
资金等值计算公式应用中注意的问题
二、现金流量的构成
现金方式支出
现金流出量
固定资产投资 流动资金 经营成本 销售税金及附加 所得税
固定资产贷款本金及利息偿还 流动资金本金及利息偿还
项目
销售收入 回收固定资产残值 回收流动资金
现金流入量
现金方式收入
固定资产借款 流动资金借款
三、现金流量图
现金流量图表示某项目资金随时间流入和流出的图形。 现金流量图包括三大要素：大小、流向、时间点。其中，
四、现金流量表
用表格的形式表示特定项目在一定时间内发生的
现金流量。如下所示：
序号 1 1.1 2 2.1 3 净现金流量 现金流出 项 目 现金流入 计息期 0 1 2 …… n 合计
第三节 资金等值计算公式
一、资金等值的概念
“资金等值”是指在时间因素的作用下，在不同的时
间点上绝对值不等的资金而具有相同的价值。
2） 一次支付现值公式 如果希望在n年后得到一笔资金F，在年利率为i的情 况下，现在应该投资多少？ 也即已知F，i，n，求现值P＝？
0 1 2 3 P=?
计算式为：
F …… n-1 n
F P n (1 i )
例：如果银行利率是5%，为在3年后获得10000元存款，
现在应向银行存入多少元？
解：由上式可得：
等差序列现金流量如图所示。
A1+(n-2)G
A1+(n-1)G
A1 0 n 1
A1+G
A1+2G
2
3
4
均匀增加支付系 列
5
… n－1
A1
（1） 0 1 2 3 4 5
…
n－1
n
G
（2） 0 n 1 2
2G 3
（ 3）
0
1
2
3
A2= G [
＋
3G 4 4G 5
（n －2 ）G
（n －1 ）G
… n－1
(2) 终值（F） 也称将来值、未来值。指发生在某一时间序列终点的资 金值（效益或费用），或者把某一时间序列其它各时刻资金
折算到终点的资金值。
(3) 等额年值（A）
某一时间序列各时刻发生的资金叫做年值。如果
某一时间序列各时刻（不包括零点）发生的资金都相 等，则该资金序列叫等额年值，记作A。反之，叫不
2）偿债基金公式 为了筹集未来n年后需要的一笔偿债资金，在利率为i 的情况下，求每个计息期末应等额存储的金额。 也即已知F，i，n，求A＝？
0 1 2 3 …… A=? n-1 F n
计算公式为：
i A F n (1 i ) 1
例：如果预计在5年后得到一笔100万元的资金，在年利
率6%条件下，从现在起每年年末应向银行支付多少资金？
A2
4
5
…
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n－1
n
1 n － （A/F,i,n）] i i
1）等差序列终值计算公式 该等差序列的终值可以看作是若干不同年数而同时到期的 资金总和，即：
F ( n 1)G ( n 2)G (1 i ) ( n 3)G (1 i ) 2 2G (1 i ) n 3 G (1 i ) n 2 G[( n 1) ( n 2)(1 i ) ( n 3)(1 i ) 2 2(1 i ) n 3 (1 i ) n 2 ]
（二）等额支付类型
系统中现金流入或流出可在多个时间点 上发生，而不是集中在某一个时间点上， 即形成一个序列现金流量，并且这个序 列现金流量数额的大小是相等的。
1）等额支付序列年金终值公式 在一个时间序列中，在利率为i的情况下连续在每个计 息期末支付一笔等额的资金A，求n年后由各年的本利和累积 而成的终值F，也即已知A，i，n，求F＝？
大小成比例。
3、现金流量图与立脚点（着眼点）有关：如贷款人的立脚点，或者
借款人的立脚点。
4、在没有具体说明的情况下，一次性的收支一般发生在计息期的期
初（如投资）；经常性的收支一般发生在计息期的期末。（如年收益、 年支出等）
课堂作业：
1、某项目第1、2、3年分别投资900万元、700万元、500万元，
解：上式可得：
i 6% A F 100 17.74 （万元） n 5 (1 i ) 1 (1 6% ) 1
3）资金回收公式 如期初一次投资数额为P，欲在n年内将投资全部收回， 则在利率为i的情况下，求每年应等额回收的资金。 也即已知P，i，n，求A＝？
0 P 1 2 3 …… A=? n-1 n
和应该是多少？也就是已知P、i、n，求终值F＝？
F=？ P 1 2 3 „„ n-1 n
0
F P (1 i )
n
例：假设某企业向银行贷款100万元，年利率为 6%，借期5年，问5年后一次归还银行的本利和是多 少？ 解： 由上式可得：
F P (1 i )n 100 (1 6% )5 133.8 （万元）
【例】某项设备购置及安装费共8000元，估计可使用6年， 残值忽略不计。使用该设备时，第1年维修操作费为1500 元，但以后每年递增200元，假设年利率为10%，问该设备 总费用现值、终值为多少？相当于每年等额总费用为多少？
第二节
现金流量图
一、现金流量的概念 1） 现金流量
现金流量是指将一个独立的经济项目（或投资项目、技
术方案等）视为一个独立的经济系统的前提下，在一定时期
内的各个时间点（时点）上实际发生的资金流出或资金流入 称为现金流量。 现金流入（CIt）——指投资方案在一定 时期内所取得的收入。 现金流出（COt）——指投资方案在一 定时期内支出的费用。 净现金流量（NCFt）——指同一时点上 发生的现金流入与现金流出的代数和
4）年金现值公式
在n年内每年等额收入一笔资金A，则在利率为i的情况下， 求此等额年金收入的现值总额。 也即已知A，i，n，求P＝？
P=? 0 1 2 3 …… A
计算公式为：
n-1
n
n
(1 i ) 1 PA n i (1 i )
例：假定预计在5年内，每年年末从银行提取100万元，
在年利率为6%的条件下，现在至少应存入银行多少资金？
1
2
3
时间 t
现金流量的 大小及方向
注意：若无特别说明
•时间单位均为年；
对现金流量图的几点说明
1、水平线是时间标度，每一格代表一个时间单位（年、月、日），
第n 格的终点和第n +1格的起点是相重合的。
2、箭头表示现金流动的方向，向下的箭头表示流出（现金的减少），
向上的箭头表示现金流入（现金的增加），箭头的长短与现金支出的
大小表示资金数额，流向指项目的现金流入或流出，时间
点指现金流入或流出所发生的时间。 现金流量图的一般表现形式如下图所示：
与横轴相连的垂直线，箭头向上表示现金流入，向下表 示现金流出，长短为现金流量的大小，箭头处标明金额。
现金流量
150
现金流入
时点，表示这一年的年 末，下一年的年初
0 现金流出 200
G (1 i ) n 1 F [ n] i i
2）等差序列现值公式 两边同乘系数，则可得等差序列现值公式
1 (1 i ) 1 n P G [ ] n n i i (1 i ) (1 i )
n
3）等差序列年值公式
1 n A G{ [ ]} n i (1 i ) 1