第10章 方差分析

郑州轻工业学院数学与信息科学系

第十章：方差分析

概率统计教研组

方差分析是英国大统计学家费歇尔（R.A.Fisher）在20世纪20年代创立的．起初用于农田间试验结果的分析，随后迅速发展完善，被广泛应用于在工、农业生产，经济、管理领域，工程技术和科学研究中．

方差分析与回归分析方法有许多相似之处，但又有本质区别，回归分析研究两个或多个数值型变量之间的关系，而方差分析是研究分类变量对数值型变量的影响，从形式上看，方差分析是比较多个总体均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系.

本章学习单因素方差分析和双因素方差分析的基本理论和方法.

●【营销策略问题】

某苹果汁厂家开发了一种新产品——浓缩苹果汁，一包该果汁与水混合可产生1升的普通苹果汁．该产品有三点特性可以吸引消费者的注意：

1.它比目前市场销售的罐装苹果汁方便．

2.由于市场上的罐装苹果汁事实上也是通过浓缩果汁制

造而成，因此新产品的质量至少不会差于罐装果汁．

3.新产品的生产成本要略低于罐装苹果汁．

营销经理需要决定的是如何宣传这种新产品，她可以通过强调产品的便利性、高品质或价格优势的广告来推销，还可以使用两种媒体中的一种来刊登广告：电视和报

●【营销策略问题】

为了决定采用何种广告战略，她分别在6个小城市开展试验．

在城市1，营销的重点是宣传浓缩果汁的便利性（例如很方便地就可以从商店搬回家，占用更少的冰箱空间等），广告采用电视形式；

在城市2，营销的重点依然是便利性，但广告采用报纸形式；

在城市3，营销的重点是大力宣传产品的质量（画面上“普通的”购买者正在讨论果汁的口味如何纯正），广告采用电视形式；

●【营销策略问题】

在城市4，营销的重点也是质量，但广告采用报纸形式； 城市5和6的营销重点都是产品的另一亮点——相对较低的成本，但城市5采用电视形式，而城市6采用报纸形式．

记录下每个城市10周中每周的销售情况．数据如表10-1所示(1-6列分别是每个城市的10个观测值）．

●【营销策略问题】

表10-1 不同营销策略及广告媒体下的销售情况

城市1城市2城市3城市4城布5城市6

491464677689575803

712559627650614584

558759590704706525

447557632652484498

479528683576478812

624670760836650565

546534690628583708

444657548798536546

582557579497579616

672474644841795587 从这些数据来看：

(1)采用不同的营销策略对销售是否有显著的差异?

【营销策略问题】

表10-1 不同营销策略及广告媒体下的销售情况

城市1城市2城市3城市4城布5城市6

491464677689575803

712559627650614584

558759590704706525

447557632652484498

479528683576478812

624670760836650565

546534690628583708

444657548798536546

582557579497579616

672474644841795587

(2)采用不同的广告媒体对销售是否有显著的差异?

(3)不同营销策略与不同广告媒体之间有无交互作用？

主要内容

§10.1方差分析中的基本概念§10.2单因素方差分析

§10.3双因素方差分析

在实际问题中，影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多，例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等；影响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的因素有教学材料、教学方法等．

为了找出影响结果(效果)最显著的因素，并指出它们在什么状态下对结果最有利，就要先做些试验，然后对测试的数据进行统计推断，方差分析就是对实测数据进行统计分析，鉴别各个因素对试验结果影响程度的方法．

方差分析采用的方法是通过检验各总体的均值是否相等，来判断分类型自变量对数值型因变量（响应变量）是否有显著影响.由于检验各总体的均值是否相等的方法是通过计算分析观测数据的变差而实现的，所以称之为方差分析．

当方差分析中只涉及一个分类型自变量时，称为单因素方差分析，当涉及两（多）个分类自变量时称为双（多）因素方差分析．

●10.2.1单因素方差分析的问题

单因素方差分析用来检验根据某一个分类变量得到的多个分类总体的均值是否相等．下面以一简例说明方差分析的原理．

10.2.1单因素方差分析的问题

【例10-1】某化肥生产商要检验三种新产品的效果，在同一地区选取18块大小相同，土质相近的农田中播种同样的种子，用等量的甲乙丙化肥各施于六块农田，试验结果每块农田的粮食产量如下所示．

产量

甲化肥504649524848

乙化肥495047474649

丙化肥515049465050根据试验数据推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异

●10.2.1单因素方差分析的问题

【例10-1】

根据试验数据推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异

本例中，只考虑化肥这一个因素(记为A )对粮食产量的影响，三种不同的化肥称为该因素的三个不同水平（分别记为A 1，A 2，A 3）．

从表中数据看出，即使是施同一种化肥，由于随机因素（温度，湿度等）的影响，产量也不同．因而有：

产量

甲化肥504649524848乙化肥495047474649丙化肥51

50

49

46

50

50