地震模拟振动台实验详解

1.稳态强迫振动位移(Displacement)：
通常情况下振动是由第一部分的自由振动和第二部分的伴生自由振动及第三部分 稳态强迫振动组成的，由于前两部分随着时间的增长而衰减，逐渐成为稳态强迫 振动。
A
F
F k
m ( p2 2 )2 (2n)2
m k
( p2 2 )2 (2n)2
F
k
(1 2 p2 )2 4( n p)2 ( p)2
p20 p2 n2
ln
xt xt jT0
ln
Aent sin( p0t Aen(t jT0 ) sin( p0
a) jp0T0
a)
h np
h h 1 h2 2 j
阻尼自由振动
Example
强迫振动（质－弹－阻模型）， 运动方程为：
..
.
m x c x kx F sint
x ent (A1 cos p0t A2 sin p0t) Asin(t )
周期 振动 分解
一个周期为 T 数展开为：
2
的周期振动x(t)，可以按傅里叶(Fourier)级
式中：
谐和分析
单自由度(Degree of Single Freedom) 系统的振动
无阻尼系统（质－弹模型）， 运动方程为：
..
m x kx 0
对于t.=0时，. 初始位移x(0)=x0，初始 速度x(0)= x0 ，则：
10
20
30
40
50
60
各谐波的幅值的平方之半在频率域上的分布情况，周期 振动的功率谱是一个离散谱
功率谱密度(Power spectrum density)
非周期振动： 可视为周期无限长的周期振动
随机振动：
随机振动不是周期振动，不能 表现为傅里叶级数的形式，也不能 直接进行傅里叶积分，为此需引入 辅助函数。
Kn-s=4Kxcol=4*(12EIx/h3); Ke-w=2*AEcos2/L+4*Kycol
阻尼系统（质－弹－阻模型）， 运动 x kx 0
x ent ( A1 cos p0t A2 sin p0t) x Aent sin( p0t a)
对于t.=0时，. 初始位移x(0)=x0，初始 速度x(0)= x0 ，则：
2p
相频特性（Phase characteristic）：
tg 2n 2r p2 2 1 r2
简谐力的角频率低于固有角频率时（r小于1），不论阻尼比是多少，相 位不大于900.。 r大于1，则相位小于1800而大于900.。 r等于1，阻尼比为不论多少，相位均等于900 。 当阻尼比为时，相位随频率近似成线性增加，对于要求波形失真小的加 速度计，常取阻尼比为0.6-0.7 。
Example
A superstructure of a 2-span bridge weighs 2,125k. The longitudinal stiffness of the single column pier is 5,360 k/ft. Calculate the period in the longitudinal direction.
高斯分布(Gauss distribution) 是一种可用数学表达式来描 述的随机分布，又称正太分 布(Normal distribution)。
平均值：
加权平均值（数学期望）： 均方值：
有效值：
x E(x) x1P1 x2P2 ... xnPn P1 P2 ... Pn
x1P1 x2P2 ... xn Pn
1in=2.54cm 1ft=12in=30.5cm 1m=3.27ft g=9.81m/s2=9.81*3.27=32.2ft/s2=386in/s2
8
Example 2, a one-story industrial building, 20ft*30ft in plan and 12m height, the weight is 46.63 bl-sec2/in, the steel column’s second moments of cross-sectional area about x and y axes are Ix=82.8 in4, Iy=18.3in4 , elastic modules E=29000ksi, the section area is 0.785in2.
如右图加速度与时间的关系，虽然不可能预测和重现前次的关系，但是具有某种 相似性，如平均值基本保持不变，距离平均值的分散程度相同等。
概率、概率分布、概率密度
概率：
简谐振动的统计特性
概率密度： 概率分布：
随机振动的统计特性
随机函数不能像正弦函 数那样用数学表达式来 描述，因此无法给出概 率密度函数的数学表达 式，不过可以用数值计 算方法来分析。
白噪声：
理想白噪声随机振动是指 它的功率谱密度在全频带内为 一常数。
频率响应法(Frequency Response
Spectrum)
随机振动的响应：
当系统受到随机振动激励时，一般情况下很难直接求解振动微分 方程，也就不容易得到其响应，因此通常采用频率响应法来处理。
为频率响应函数，也叫传递函数
当激励F(t)为 周期函数时：
对于t.=0时，. 初始位移x(0)=x0，初始 速度x(0)= x0 时，则：.
.
.
x
ent (x0
cos
p0t
x0 nx0 p0
sin
p0t )
Aent (sin
cos
p0t
n sin
p0
cos
sin
p0t )
Asin(t
)
式中：
通解由三部分组成，第一部分为幅值衰减自由振动，幅值由初始位移和初始速度 引起的；第二部分为伴生自由振动，是由强迫力F引起的；第三部分为稳态强迫振 动。
Fuzhou University Earthquake Simulator Triple Bi-axial Vibration Tables System
高等实验力学
地震模拟振动台试验
Structural Dynamic of Background Single degree of freedom Model solution for 2 DOF systems Multi-DOF systems for N-DOF systems Rayleigh’s Quotients Equivalent viscous damping Stochastic vibration
为响应函数，F(t) 为激励函数
当激励F(t)为非 周期函数时：
对于单位幅 值的简谐激 励：
2
Seismic Simulator Shaking tables Theory Foundation
振动(Vibration)的定义：表征运动特性的某个 量作时大时小的一种运动 确定性（规则）振动、简谐振动 不确定性（不规则）振动、随机振动
简谐振动的平均值X、有效值X（均方根RMS）、 最大值Xmax
xp(x)dx
方差：
方差的平方根称为标准方差
两个随机变量的平均值：
当平均值等于0时，方差 等于均方值、标准方差 等于统计有效值
功率谱密度(Power spectrum density)
功率谱密度：描述随机振动函数在频率域上的分布情况。 频谱分析：
周期振动：
0.15 0.1 0.05
0 0
-0.05 -0.1 -0.15 -0.2
X2A
X 2A 2
X max A
周期振动合成
1.两个频率相等： x Asin(t )
2.两个频率不相等，但频率比为一个有理数，振动是一个 周期振动，周期为他们的周期的最小公倍数。 3.两个频率不相等，但频率差是一个小值，其合成是一个 简谐振动，即拍振动。 4.互相垂直的简谐振动的合成：李萨如图(Lissajous Figures)
两个自由度(Multi-Degree of Freedom) 系统的振动
运动方程及解为：
频率方程及解为：
固有频率特性：
随机振动（Random Vibration）
随机振动是指未来任何一给定的时刻，其值不能预先确定的振动，振动量的瞬时 值不能用确定的数学表达式来描述，但具有一定的倾向性，可以用统计特性来描 述。 平均值及距离平均值的分散程度就是它们的统计特性。
静力系统作用下有：
F k
(1 2 p2 )2 4( c c0 )2 ( p)2
动力放大系数：
幅频特性曲线
2.稳态强迫振动速度(Velocity), 加速度(Acceleration)：
Example
半功率带宽（Half power bandwidth）：
1 2
1 1 1
2
2 2
2 1