复数的乘除法 (讲)..
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22
（1）1 2 0；（2）3 1.
自 主 学 自我反思： 习 x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，
如果不是，你能求出其他的解吗？
例 4:设 1 3 i ,
22
求证: (1)1 2 0, (2)3 1
＝i12·(－12＋ 23i)12＋12－ 23i8 ＝[(－12＋ 23i)3]4＋[1＋[12i－2]42312i－3]323i ＝1－(2i)4(12－ 23i)＝1－8＋8 3i ＝－7＋8 3i.
探究 3 对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于 一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速 简捷、少出错的效果．比如(1±i)2＝±2i，1i ＝－i，11－＋ii＝i，11－ ＋ii＝ －i，a＋i bi＝b－ai，(－12± 23i)3＝1，(12± 23i)3＝－1，等等．
B．－i
C．1
D．－1
【解析】 i＋i3＋i5＋…＋i33＝i11－－ii324＝i.
【答案】 A
(3)当 x＝2－i 时，1－C110x＋C210x2－…－C910x9＋x10 等于
()
A．－32i
B．32
C．32i
D．－32
【解析】 原式＝(1－x)10＝(－1＋i)10＝(－2i)5＝－32i.
D．±i
【解析】 方法一 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则 z ＝x－yi.由 z＋ z ＝4，z·z ＝8，得
x＋yi＋x－yi＝4， x＋yix－yi＝8
⇒xx＝ 2＋2y，2＝8
⇒xy＝＝±22，.
∴
z z
＝xx－ ＋yyii＝x2－xy2＋2－y22 xyi＝±i.
探究 1 复数的运算顺序与实数的运算顺序是相同的，先进 行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低 级运算(加、减)．如有 i 的幂运算，先利用 i 的幂的周期性将其次 数降低，然后再进行四则运算．
思考 1.(2)(2010·陕西卷，文)复数 z＝1＋i i在复平面上对应的 点位于( )
bc ad c2 d 2
ic
di
0
练习：3 54的i 共轭复数为 。
例 1 计算下列各式． (2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)； (3)(2＋3i)(1－i)(2－i)÷(3＋i)．
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2) ＝2(11－7i)＋25(1－i) ＝47－39i.
复数代数形式百度文库加减运算法则:
类比多项式 加减运算
设复数 z1=a+bi,z2=c+di,那么： z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
一、复数代数形式的的乘法
1.复数乘法的运算法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i.
例1 计算1 2i3 4i2 i.
解 1 2i3 4i 2 i 11 2i 2 i 20 15i.
例2 计算 : 13 4i3 4i; 21 i2 .
分析 本例可以用复数乘法法则计算,也可以用乘法 公式计算.
回顾计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 2 3) (6 1 4)i 11i
复数加减法的运算法则：
复数运算转化为
1.运算法则:设复数 z1=a+bi,z2=c+di,
实数的运算
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
指的是与实数系中的乘法公式相对应的公式.
解 13 4i3 4i 32 4i2 9 16 25.
21 i2 1 2i i2 1 2i 1 2i.
结论1
实数集R中的完全平方公式、平方差公式、立方和 （差）公式在复数集C中仍然成立
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,
虚部与虚部分别相加(减).
2.复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
问题一
❖ 你能根据数系扩充过程的基本原则及复数代数形 式的加减运算法则，解决下面这个问题吗？
(1 2i) (3 4i) (2 i) ?
(3)(2＋3i)(1－i)(2－i)÷(3＋i)．
(3)原式＝2－2i＋33i＋－i3i22－i ＝5＋3i＋2i－i＝10－53i＋＋i2i－i2 ＝113－＋3i i＝113－＋3ii33－－ii ＝33－11i1－0 9i＋3i2 ＝30－1020i＝3－2i.
【 解 析 】 (1) 原 式 ＝ [(1 ＋ i)2]3·11＋ －ii ＋ [(1 － i)2]3·11＋－ii － 83－4i1＋i21－i
3－4ii ＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2ii1＋i ＝8＋8－16－16i ＝－16i.
(2)(－ 23－12i)12＋(12－＋23ii)8 1＋i
数系扩充原则：
数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、乘法运算，与原
来的实数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法
都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。
❖ 即 对任何z1,z2,z3有： ❖ z1﹒z2=z2﹒z1; ❖ (z1﹒z2)﹒z3=z1﹒(z2﹒z3); ❖ z1﹒(z2+z3)=z1﹒z2+z1﹒z3.
A.复数的乘法类比多项式的乘法； B.所得的结果中把i2换成-1； C.把实部与虚部分别合并（两个复数的乘积仍为复数）.
2.复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. ❖即对任何z1,z2,z3有 ❖z1﹒z2=z2﹒z1; ❖(z1﹒z2)﹒z3=z1﹒(z2﹒z3); ❖z1﹒(z2+z3)=z1﹒z2+z1﹒z3.
z
【证明】 设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 则|z|＝1⇔x2＋y2＝1. z＝ 1 ⇔z·z ＝1⇔(x＋yi)(x－yi)＝1⇔x2＋y2＝1，
z ∴|z|＝1⇔z＝ 1 .
z
题型三 复数的乘方 例 3 计算下列各题： (1)11＋－ii7＋11－＋ii7－3－44i＋23＋i 2i3； (2)(－ 23－12i)12＋(12－＋23ii)8.
(4) z1＋z2 ＝ z 1＋ z 2；(5) z1·z2 ＝ z 1·z 2；
(6)(zz12)＝
z z
1(z2≠0).
2
引例 复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i， 求z 。
二、复数代数形式的除法
a
bi c
di
a bi c di
ac bd c2 d 2
【答案】 A
(4)已知 z2＋z＋1＝0，则 1＋z＋z2＋…＋z2 012＝________. 【答案】 0
1.知识
（1）复数的乘法；
（2）复数的除法；
（3）共轭复数。
归 通过本节课的学习，你有哪些收获？
纳 2.思想方法
小
结
转化与化归 (复数问题实数化）
3.能力
归纳 类比 创新
设 1 3 i,求证：
探究2：
1.zz与|z|、|z|有什么关系？ 2.若z为实数，则z与其共轭复数z什么关系？ 3.在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点有
怎样的位置关系？
共轭复数有哪些主要性质？
答：(1)|z|＝| z |；(2)z·z ＝|z|2＝| z |2； (3)z＝ z ⇔z∈R， z ＝－z(z≠0)⇔z 为纯虚数；
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为 z＝1＋i i＝1＋i1i－1i－ i＝11＋＋1i ＝12＋12i，所以 对应点(12，12)在第一象限．故选 A.
题型二 共轭复数
例2
设
z
的共轭复数是
z
，若
z＋
z
＝4，z·z
＝8，则
z z
等于
()
A．i
B．－i
C．±1
方法二 ∵z＋ z ＝4，设 z＝2＋bi(b∈R)， 又 z·z ＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8. ∴b2＝4，∴b＝±2.∴z＝2±2i， z ＝2∓2i.
z ∴ z ＝±i. 探究 2 涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性质： 如 z＋ z 等于 z 的实部的两倍，z·z ＝|z|2 等，另外注意复数问题实 数化及方程思想的应用． 思考题 2 证明：|z|＝1⇔z＝ 1 .
思考题 3
(1)(－
4 6＋
2i)3 等于(
)
A．－2 2i
B．2i
C．2 2i
D．－2i
【解析】
(－
4 6＋
2i)3＝[4
－ 6－ 2i 8
]3
＝－ 42( 3＋i)3
＝－
2 4 [(
3)3＋3×(
3)2i＋3
3i2＋i3]
＝－2 2i.
【答案】 A
(2)i＋i3＋i5＋…＋i33＝( )
A．i
引申2
实数集R中的整数指数幂的运算律在复数集C中也成立
zm﹒zn=zm+n; （z1﹒z2)m =z1m﹒z2m; (zm)n=zm n
本例1中的两个复数3 4i,3 4i称为共轭复数.
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个数叫做互为共轭复数。（通常记z的共轭复数为z） 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
（1）1 2 0；（2）3 1.
自 主 学 自我反思： 习 x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，
如果不是，你能求出其他的解吗？
例 4:设 1 3 i ,
22
求证: (1)1 2 0, (2)3 1
＝i12·(－12＋ 23i)12＋12－ 23i8 ＝[(－12＋ 23i)3]4＋[1＋[12i－2]42312i－3]323i ＝1－(2i)4(12－ 23i)＝1－8＋8 3i ＝－7＋8 3i.
探究 3 对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于 一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速 简捷、少出错的效果．比如(1±i)2＝±2i，1i ＝－i，11－＋ii＝i，11－ ＋ii＝ －i，a＋i bi＝b－ai，(－12± 23i)3＝1，(12± 23i)3＝－1，等等．
B．－i
C．1
D．－1
【解析】 i＋i3＋i5＋…＋i33＝i11－－ii324＝i.
【答案】 A
(3)当 x＝2－i 时，1－C110x＋C210x2－…－C910x9＋x10 等于
()
A．－32i
B．32
C．32i
D．－32
【解析】 原式＝(1－x)10＝(－1＋i)10＝(－2i)5＝－32i.
D．±i
【解析】 方法一 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则 z ＝x－yi.由 z＋ z ＝4，z·z ＝8，得
x＋yi＋x－yi＝4， x＋yix－yi＝8
⇒xx＝ 2＋2y，2＝8
⇒xy＝＝±22，.
∴
z z
＝xx－ ＋yyii＝x2－xy2＋2－y22 xyi＝±i.
探究 1 复数的运算顺序与实数的运算顺序是相同的，先进 行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低 级运算(加、减)．如有 i 的幂运算，先利用 i 的幂的周期性将其次 数降低，然后再进行四则运算．
思考 1.(2)(2010·陕西卷，文)复数 z＝1＋i i在复平面上对应的 点位于( )
bc ad c2 d 2
ic
di
0
练习：3 54的i 共轭复数为 。
例 1 计算下列各式． (2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)； (3)(2＋3i)(1－i)(2－i)÷(3＋i)．
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2) ＝2(11－7i)＋25(1－i) ＝47－39i.
复数代数形式百度文库加减运算法则:
类比多项式 加减运算
设复数 z1=a+bi,z2=c+di,那么： z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
一、复数代数形式的的乘法
1.复数乘法的运算法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i.
例1 计算1 2i3 4i2 i.
解 1 2i3 4i 2 i 11 2i 2 i 20 15i.
例2 计算 : 13 4i3 4i; 21 i2 .
分析 本例可以用复数乘法法则计算,也可以用乘法 公式计算.
回顾计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 2 3) (6 1 4)i 11i
复数加减法的运算法则：
复数运算转化为
1.运算法则:设复数 z1=a+bi,z2=c+di,
实数的运算
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
指的是与实数系中的乘法公式相对应的公式.
解 13 4i3 4i 32 4i2 9 16 25.
21 i2 1 2i i2 1 2i 1 2i.
结论1
实数集R中的完全平方公式、平方差公式、立方和 （差）公式在复数集C中仍然成立
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,
虚部与虚部分别相加(减).
2.复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
问题一
❖ 你能根据数系扩充过程的基本原则及复数代数形 式的加减运算法则，解决下面这个问题吗？
(1 2i) (3 4i) (2 i) ?
(3)(2＋3i)(1－i)(2－i)÷(3＋i)．
(3)原式＝2－2i＋33i＋－i3i22－i ＝5＋3i＋2i－i＝10－53i＋＋i2i－i2 ＝113－＋3i i＝113－＋3ii33－－ii ＝33－11i1－0 9i＋3i2 ＝30－1020i＝3－2i.
【 解 析 】 (1) 原 式 ＝ [(1 ＋ i)2]3·11＋ －ii ＋ [(1 － i)2]3·11＋－ii － 83－4i1＋i21－i
3－4ii ＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2ii1＋i ＝8＋8－16－16i ＝－16i.
(2)(－ 23－12i)12＋(12－＋23ii)8 1＋i
数系扩充原则：
数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、乘法运算，与原
来的实数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法
都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。
❖ 即 对任何z1,z2,z3有： ❖ z1﹒z2=z2﹒z1; ❖ (z1﹒z2)﹒z3=z1﹒(z2﹒z3); ❖ z1﹒(z2+z3)=z1﹒z2+z1﹒z3.
A.复数的乘法类比多项式的乘法； B.所得的结果中把i2换成-1； C.把实部与虚部分别合并（两个复数的乘积仍为复数）.
2.复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. ❖即对任何z1,z2,z3有 ❖z1﹒z2=z2﹒z1; ❖(z1﹒z2)﹒z3=z1﹒(z2﹒z3); ❖z1﹒(z2+z3)=z1﹒z2+z1﹒z3.
z
【证明】 设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 则|z|＝1⇔x2＋y2＝1. z＝ 1 ⇔z·z ＝1⇔(x＋yi)(x－yi)＝1⇔x2＋y2＝1，
z ∴|z|＝1⇔z＝ 1 .
z
题型三 复数的乘方 例 3 计算下列各题： (1)11＋－ii7＋11－＋ii7－3－44i＋23＋i 2i3； (2)(－ 23－12i)12＋(12－＋23ii)8.
(4) z1＋z2 ＝ z 1＋ z 2；(5) z1·z2 ＝ z 1·z 2；
(6)(zz12)＝
z z
1(z2≠0).
2
引例 复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i， 求z 。
二、复数代数形式的除法
a
bi c
di
a bi c di
ac bd c2 d 2
【答案】 A
(4)已知 z2＋z＋1＝0，则 1＋z＋z2＋…＋z2 012＝________. 【答案】 0
1.知识
（1）复数的乘法；
（2）复数的除法；
（3）共轭复数。
归 通过本节课的学习，你有哪些收获？
纳 2.思想方法
小
结
转化与化归 (复数问题实数化）
3.能力
归纳 类比 创新
设 1 3 i,求证：
探究2：
1.zz与|z|、|z|有什么关系？ 2.若z为实数，则z与其共轭复数z什么关系？ 3.在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点有
怎样的位置关系？
共轭复数有哪些主要性质？
答：(1)|z|＝| z |；(2)z·z ＝|z|2＝| z |2； (3)z＝ z ⇔z∈R， z ＝－z(z≠0)⇔z 为纯虚数；
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为 z＝1＋i i＝1＋i1i－1i－ i＝11＋＋1i ＝12＋12i，所以 对应点(12，12)在第一象限．故选 A.
题型二 共轭复数
例2
设
z
的共轭复数是
z
，若
z＋
z
＝4，z·z
＝8，则
z z
等于
()
A．i
B．－i
C．±1
方法二 ∵z＋ z ＝4，设 z＝2＋bi(b∈R)， 又 z·z ＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8. ∴b2＝4，∴b＝±2.∴z＝2±2i， z ＝2∓2i.
z ∴ z ＝±i. 探究 2 涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性质： 如 z＋ z 等于 z 的实部的两倍，z·z ＝|z|2 等，另外注意复数问题实 数化及方程思想的应用． 思考题 2 证明：|z|＝1⇔z＝ 1 .
思考题 3
(1)(－
4 6＋
2i)3 等于(
)
A．－2 2i
B．2i
C．2 2i
D．－2i
【解析】
(－
4 6＋
2i)3＝[4
－ 6－ 2i 8
]3
＝－ 42( 3＋i)3
＝－
2 4 [(
3)3＋3×(
3)2i＋3
3i2＋i3]
＝－2 2i.
【答案】 A
(2)i＋i3＋i5＋…＋i33＝( )
A．i
引申2
实数集R中的整数指数幂的运算律在复数集C中也成立
zm﹒zn=zm+n; （z1﹒z2)m =z1m﹒z2m; (zm)n=zm n
本例1中的两个复数3 4i,3 4i称为共轭复数.
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个数叫做互为共轭复数。（通常记z的共轭复数为z） 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。