高等代数知识点总结(可直接使用).ppt
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对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
演示课件
运算
行列式
矩阵
初等变换 和标准形
特殊矩阵
演示课件
运算及其关系
转置
加 法
(A+B)T=AT+BT
数 乘
(kA)T= k AT
取逆
(kA)1= k1A1
伴随
(kA)*= kn1A*
行列式
秩数
r(A+B)≤r(A)+r(B)
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
演示课件
• 因式分解唯一定理
次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之
积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.
• 标准分解定理
每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
备注 行列地位平等 换法变换
齐性 加性
|...k...| = k|.......|
倍法变换
统称线性
|...+...| = |......| + |......|
演示课件
重要结论：
• 带余除法定理
对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x) 和r(x)使得
f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).
• 最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对 于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得
转 置
|AT|=|A|
r(AT)=r(A)
取 逆
|A1|=|A|1
n, 若r(A)=n
伴 随
|A*|=|A|n1 r(A*)=
1, 若r(A)=n1
0, 演示课件若r(A)<n1
性质
公式
；转置不变性 |AT| = |A|
反交换性 |.........| = |.........|
交错性 |.........| = 0
总结
高等代数
多项式
线性代数
计算
矩阵 向量 方程组
演示课件
多项式
一元多项式 多元多项式
演示课件
一元多项式
基本概念：
次数：最基本的概念和工具 整除：多项式之间最基本的关系 带余除法：最基本的算法，判断整除. 最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度 互素：多项式之间关系最简单的情形 既约多项式：最基本的多项式 根：最重要的概念和工具
r(A)+r(B)-n≤ r(AB)≤r(A), r(B)
r(AT)=r(A)
伴 随
n, 若r(A)=n
(A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1
其 它
A-1=|A|-1A*
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
次式 6. 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次
式之积
演示课件
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解
f a( x x1 )n1 L ( x xt )nt
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
取逆
(A1) 1=A (A1)*＝(A*)1
伴随
(A*)*=|A|n2A*
AA*=A*A=|A|I
其它
A-1=|A|-1A* 当A可逆时，
A*＝|A|A1
演示课件
行列式
秩数
加 法
r(A+B)≤r(A)+r(B)
数 乘
|kA|=kn|A|
r(kA)=r(A) (k≠0)
乘 |AB|=|A||
法
B|
r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A), r(B)
则f(x)是有理数域上的既约多项式. • 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常 数项
演示课件
多元多项式
.
基本概念：
次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式
重要结论
命题1.8.1 若多项式的值全为0，则该多项式必为0. 命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多
项式之和 f f0 f1 L fn，fn≠0，且其中fi是0或i次 齐次多项式，0≤i≤n，fi称为f的i次齐次分量.
f ap1n1 L
p nt t
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多
项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f
唯一确定.
• 重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
演示课件
代数学基本定理：
下列陈述等价， 1. 复数域上次数≥1的多项式总有根 2. 复数域上的n次多项式恰有n个根 3. 复数域上的既约多项式恰为一次式 4. 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 5. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
标准分解
f
a( x x1 )m1 L
(x
xs )ms
p n1 1
Biblioteka Baidu
L
p nt t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.
演示课件
多项式作为函数：
• 两个多项式相等(即对应系数相同) 它们作为函数相等(即在每点的函数值相等) 它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数 的最大者.
|kA|=kn|A| r(kA)=r(A) (k≠0)
乘 法
(AB)T= BT AT
(AB) 1= B1 A1
(AB)*= B*A*
|AB|=|A||B|
转 置
(AT)T=A
(AT) 1=(A1)T
(AT)*=(A*)T
|AT|=|A|
取 逆
(A1) 1=A
(A1)*＝(A*)1 |A1|=|A|1
• 设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0， 则f(x)恒等于0.
演示课件
• Eisenstein判别法： 设 f (x) an xn L a1x a0 是整系数多项式，若
有素数p使得 p | an, p | an1,..., p | a0, p2 | a0
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)
=r(PAQ)
演示课件
转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
地表示成初等对称多项式的多项式
演示课件
运算
行列式
矩阵
初等变换 和标准形
特殊矩阵
演示课件
运算及其关系
转置
加 法
(A+B)T=AT+BT
数 乘
(kA)T= k AT
取逆
(kA)1= k1A1
伴随
(kA)*= kn1A*
行列式
秩数
r(A+B)≤r(A)+r(B)
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
演示课件
• 因式分解唯一定理
次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之
积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.
• 标准分解定理
每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
备注 行列地位平等 换法变换
齐性 加性
|...k...| = k|.......|
倍法变换
统称线性
|...+...| = |......| + |......|
演示课件
重要结论：
• 带余除法定理
对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x) 和r(x)使得
f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).
• 最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对 于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得
转 置
|AT|=|A|
r(AT)=r(A)
取 逆
|A1|=|A|1
n, 若r(A)=n
伴 随
|A*|=|A|n1 r(A*)=
1, 若r(A)=n1
0, 演示课件若r(A)<n1
性质
公式
；转置不变性 |AT| = |A|
反交换性 |.........| = |.........|
交错性 |.........| = 0
总结
高等代数
多项式
线性代数
计算
矩阵 向量 方程组
演示课件
多项式
一元多项式 多元多项式
演示课件
一元多项式
基本概念：
次数：最基本的概念和工具 整除：多项式之间最基本的关系 带余除法：最基本的算法，判断整除. 最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度 互素：多项式之间关系最简单的情形 既约多项式：最基本的多项式 根：最重要的概念和工具
r(A)+r(B)-n≤ r(AB)≤r(A), r(B)
r(AT)=r(A)
伴 随
n, 若r(A)=n
(A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1
其 它
A-1=|A|-1A*
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
次式 6. 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次
式之积
演示课件
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解
f a( x x1 )n1 L ( x xt )nt
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
取逆
(A1) 1=A (A1)*＝(A*)1
伴随
(A*)*=|A|n2A*
AA*=A*A=|A|I
其它
A-1=|A|-1A* 当A可逆时，
A*＝|A|A1
演示课件
行列式
秩数
加 法
r(A+B)≤r(A)+r(B)
数 乘
|kA|=kn|A|
r(kA)=r(A) (k≠0)
乘 |AB|=|A||
法
B|
r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A), r(B)
则f(x)是有理数域上的既约多项式. • 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常 数项
演示课件
多元多项式
.
基本概念：
次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式
重要结论
命题1.8.1 若多项式的值全为0，则该多项式必为0. 命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多
项式之和 f f0 f1 L fn，fn≠0，且其中fi是0或i次 齐次多项式，0≤i≤n，fi称为f的i次齐次分量.
f ap1n1 L
p nt t
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多
项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f
唯一确定.
• 重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
演示课件
代数学基本定理：
下列陈述等价， 1. 复数域上次数≥1的多项式总有根 2. 复数域上的n次多项式恰有n个根 3. 复数域上的既约多项式恰为一次式 4. 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 5. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
标准分解
f
a( x x1 )m1 L
(x
xs )ms
p n1 1
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L
p nt t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.
演示课件
多项式作为函数：
• 两个多项式相等(即对应系数相同) 它们作为函数相等(即在每点的函数值相等) 它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数 的最大者.
|kA|=kn|A| r(kA)=r(A) (k≠0)
乘 法
(AB)T= BT AT
(AB) 1= B1 A1
(AB)*= B*A*
|AB|=|A||B|
转 置
(AT)T=A
(AT) 1=(A1)T
(AT)*=(A*)T
|AT|=|A|
取 逆
(A1) 1=A
(A1)*＝(A*)1 |A1|=|A|1
• 设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0， 则f(x)恒等于0.
演示课件
• Eisenstein判别法： 设 f (x) an xn L a1x a0 是整系数多项式，若
有素数p使得 p | an, p | an1,..., p | a0, p2 | a0
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)
=r(PAQ)
演示课件
转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T