一类奇异积分算子的估计

证明 若ＱＥ ｇ ｓ ， Ｉ （） ｌ （ Ｉ １ｄ ＋ 由于１ Ｊ． Ｑ Ｉｘ Ｌｏ 一 ）即Ｉ Ｉｏ ２＋ ｎ（） ）ｘ＜ ∞． ｏ ２ Ｉ （） ｄ ｌ （ Ｑ ｇ ｇ
收稿 日期 ：０ １— ９一ｌ ２１ ０ ４
基 金项 目 ： 国家 自然 科 学 基 金 资 助项 目（０ ６ ０ ３ １９ １０ ） 作者简介： 马丽 （９ ３一） 女 ， 建 明 溪 人 ， 南 师 范 学 院 数 学 与 计 算 机科 学 学 院讲 师 ， 要 从 事 泛 函分 析 和调 和 分 析 的 研 究 １８ ， 福 赣 主
定 义 ２ 设 Ｐ ＞ １ ＥＺ Ｒ ） 若存 在常数 Ｃ ＞０ 使得 ， １（ ，
其 中 ｐ 表示 中心 与 Ｑ相 同 ， 长是方 体 Ｑ的 Ｐ倍 的 Ｒ Ｑ： 棱 中的方 体 ； ｐ ： 示方 体 ｐ ｌ ＱＩ表 Ｑ的体 积． 且对 于任 并
意两个 （ ，” ）双倍方 体 Ｑ ｃ Ｒ， ２２ 有
１ 引 言和基本 概念
设 Ｒ （ ２ 是 ｎ一维 欧 氏空 间 ， 是 Ｒ ｎ ） Ｓ 中赋予 了 Ｌ ｂ ｓｕ 测 度 ｄ ＂ ｏ（ ）的单位球 面 ， ｅ ｅｇ ｅ ｏ ＝ｄ ． ＂ 对非零 点 ＥＲ ， 记 ＝ ／Ｉ １ 对 于 ｎ ２ 设 Ｑ 为 Ｓ 上可 积 的零 次齐 次 函数 ， 满足 Ｑ ＥＬｌｇＬ Ｓ ， ． ， 且 （ 一 ） 即 ｏ
（ 成 立 的最 小整 数 ｋ 其 中 表 示 Ｒ） ，
在 给出定 理 １ 明之 前 ， 来介 绍一些 相关 的概 念 和辅助 引理 ． 证 先
定义 １ （ 系数 ６ ）对 于方体 Ｑ ｃ Ｒ， Ⅳ 表示 使得 （ 若 ２Ｑ）
方的 体
Байду номын сангаас
…警
．
Ｊ ） ｍ（ ｄ≤ ， ｐ 一 ｘ ｃ 。 （ ）
Ｉ ｌ ）Ｉｏ （ ｌＱ（ ） ｘ＜＋ｏ． Ｑ（ ｇ ２＋ ）１ ｄ ｌ 。
在 泛 函分 析 和调和 分析 中 ， 子是该 领域 所接 触 的最基 本 概念 ， 于 算子 的研 究 中 ， 界性 的 问题是 一 算 对 有 个基 本 问题 ， 而其 中探讨 算子 的 Ｂ ＭＯ和 Ｒ ＭＯ有界 性 ¨ Ｂ 。又是有 界性研 究 的重点之 一 ． ｕ在 文献 ［ ］ Ｈ ６ 中对 奇 异积 分算 子探讨 其 Ｂ ＭＯ的有 界性 ， 在算 子满 足相 关的 尺寸条 件下得 到 了如下 结论 ：
２１ ０ １年
赣 南 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｒ ａ ｆＧａ ｎ ｎ Ｎｏ ｍａ ｉ ｅ ｓｔ ｙ
Ｎ ． ｏ ６
第 六期
Ｄｅ ． ０１ ｃ２ １
一
类奇 异积分算 子 的估计
马 丽 钟 争 艳 ，
（ ． 南 师 范 学 院 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 ， 西 赣 州 ３ １０ ；． 国县 第 三 中学 ， 西 兴 国 ３ ２ ０ ） １赣 江 ４０ ０ ２ 兴 江 ４ ４ ０
，
ＩＹ一 ，）ｄ兰 Ｉ。 ）” ｌ，Ｃｆ ． ｆ ， ： Ｉ （ （ ， Ｉ
） ＝
÷Ｊ
Ｙｄ． ）ｙ
众 所周 知 ， ＭＯ函数空 间与 Ｒ ＭＯ函数空 间是互 不包 含 的 ， Ｂ Ｂ 一个 很 自然 的问题 产生 了 ， 是 ： 就 算子 在 满足类 似 的尺寸 条件 下是 否也是 一Ｒ Ｄ有 界 呢？本文 主要解 决这 一 问题 ．下面叙 述本 文 的主要 结果 ． 曰 定理 １ 设 Ｑ 为一零 次 齐次 函数 ， ∈Ｌｌｇ （ ’ ， ｆＥＢ （ ， 算子 是 Ｌ －Ｒ ＭＯ有 界 ， Ｑ Ｓ ） 且 ＭＯ Ｒ ） 则 ｏＬ － Ｂ － ＊ 即 存 在 Ｃ ＞０ 使 得 ，
定 理
界， 即
设 Ｑ 为 一零 次齐次 函数 且 ｎ ∈ＬｌｇＬ Ｓ ） 以及 ｆＥＢ ｏ （ ， ＭＯ（ ， Ｒ ） 则算 子 是 Ｌ －Ｒ ＭＯ有 － Ｂ ，
Ｉ ｌ ＝ Ｊ ． — １ ） ｌ （ 一一 ，
其 中 Ｂ ，）表示 以 为 中心 ， 为棱 长的方 体且 ｍ （ ｒ ｒ
是
第 ６期
马 丽 ， 争艳 钟
一 类奇 异积 分算 子 的估计
２ ９
（） ２
ｌ （ 一ｍ （ Ｉ ｃ ， ｍｐ Ｒ ≤ ６
同 时满足 上 面两个 不 等式 （ ）和 （ ）的最 小常 数 ｃ称为 函数 ，的 Ｒ ＭＯ（ 范 数 ， １ ２ Ｂ Ｒ） 记为 Ｉ 。 ， Ｉ 川 （ 这里 ，
摘 要 ： 究 一 类 奇 异 积 分 算 子 ， 满足 一 定 的尺 寸 条 件 下证 明该 算 子 的 Ｌ －Ｒ ＭＯ有 界 性 研 在 － Ｂ ＊
关键词 ： 奇异 积 分 算子 ；尺 寸 条 件 ； Ｂ Ｒ ＭＯ
中 图 分 类 号 ： １７ ６ Ｏ ７ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ４—８ ３ （ ０ １ ０ ０ ２ ０ １０ ３ ２ ２ １ ） ６— ０ ８— ２
ｌ厂Ｊ ＝ Ｊ — ） ． （ Ｊ 一 一
其 中 曰（ ｒ ，）表示 以 为 中心 ， 为棱 长 的方 体且 ｍ ｒ
，
ＩＹ一 ，）ｄ！Ｃｆ 。 ） ｎ ｌ ； ｌ ． ｆ ， ２Ｉｌ （ （ ｌ ／
， ＝ ）
ｆ ＿Ｙｄ． 厂 ）ｙ （
表 示方 体 列 ｛ 。中第一 个 （ ，” ）双倍 方体 ． ２Ｑ｝ ｋ ２２
注： 由满 足定 义 ２的所 有 函数 构成 的空 间称 为 Ｒ ＭＯ Ｒ ）函数 空间． Ｂ （
引 理 １ 若 ｎ ＥＬｌｇＬ Ｓ ） 则 １ Ｓ ） ｏ （ ， ２ ＥＬ （