牛顿的《自然哲学的数学原理》

牛顿利用他的引力定律，首先说明物质的集团在引力作用下必然是球 形，但由于旋转引起离心的趋势,而使地球两极变为扁平。他更进一步说明 月球和太阳对于地球的赤道突出带的引力作用，使地球的自转轴在空间作圆 周式的运动，因而造成二分点移动的岁差现象，即牛顿对 1800 年前喜帕卡 斯所发现的岁差现象说明了它的成因，并且根据引力定律计算了岁差的速率
牛顿在《自然哲学的数学原理》中首先列举的运动定律，当然不是他本 人的发现。他曾一再表示，这是他从前人和同时代的科学家那 里获得的知 识。例如，开普勒提出过的一些数学知识，伽利略曾为运动定律提供的数据， 惠更斯、雷恩与瓦里斯（John Wallis，1616〜1703，与牛顿同时代数学家） 都曾隐隐约约地提到第三定律。可是只有牛顿才深深地了解这些各自独立的 理论之间的内在联系，把它们综合成为一个伟大的科学体系，并用数学加以 证明。
根据运动第三定律，牛顿自然很明白：天体互相吸引；太阳吸引行星， 亦被行星吸引；地球吸引月球，亦被月球吸引。但是牛顿说，太阳比它的行 星大得多（太阳系里所有成员的质量之和还不及太阳质量的千分之一，地球 的质量只是太阳的三十三万分之一）。因此，研究一颗行星的运动时，可以 只考虑太阳对它的引力，而其他行星对它的引力可以忽略不计。这方法也同 样适用于卫星绕它的行星的运动上。例如,月球与地球的距离，相对于其他 星球是很近的，以致我们可以将太阳对于月球的引力忽略不计。
但是，要对月球的运动作确切的描述，却使牛顿在这个“三体问题”上 苦恼了多年。他曾一再提到：“我的大脑在考虑月球问题时总感到疼痛。”
牛顿讨论到这一类问题时，才发现开普勒定律不是十分完善的，而是近似地 正确。因为开普勒生活在人们还不能测量所谓摄动（即行星运动上稀微改变） 的时代，所以开普勒定律只能够对于行星在少数几周内的运动，作相当精确 的描述。牛顿时代的天文学工作者已经知道行星运行许多周以后，积累的误 差在计算上可能达到严重的情况。例如，月球的运动早在公元前四百年便发 现与计算值有很大的差异。
在现今的喷气飞机和火箭上，显示了第三定律的重要性。例如喷气飞机 从喷口射出的髙速气流形成强大的后推力反作用于飞机上，造成一种向前的 推力。火箭的推动，与空气中螺旋推进的飞机或水上运行的船只不同，后两 者是由于介质(空气或水）的反作用而前进的；火箭是靠燃料喷气的，所以 能在大气以外没有空气阻力的空间里飞行，而且比空气里飞行得更好，人们 已将火箭送上月球、金星和火星上去，所依据的基本原则，便是牛顿的运动 第三定律。
在科技的领域里，乃至我们日常的生活中，牛顿的运动三定律，具有重 要的意义。现今物理学与天文学工作者寻找新知识所用的方法，基础便建立 在这些定律上面。如摩天大楼的建筑，稳定桥梁的结构，摩托车的奔驰，飞 机在空中的飞行，船只在海上的行驶，甚至精确时刻的测定，都离不开牛顿 运动定律的运用。反之，工程师在工程（特别是对于髙速运行的机器）设计 上，如果没有仔细考虑到或者运用牛顿力学的基本定律，常常会造成不应有 的事故。
哈雷耐心地完成《自然哲学的数学原理》的编辑工作，他对于印就的作 品，感到无比欢喜。他写信给牛顿说：“我终于将你的书编毕出版，我希望 能 使 你 高 兴 。 我 将 以 你 的 名 义 送 给 皇 家 学 会 ， 以 及 波 义 耳 （ Robert
Boyle，1627〜1691，英国化学家）、佩吉特（Paget，数学家）、弗拉姆 斯蒂德（J.Famsteed 1648〜1719，天文学家）三位先生各一册。如果城里 （指伦敦)还有别人需要，你愿意由我代送，请告诉我，自当照还须补充一句话，即《自然哲学的数学原理》内除了 卓越 的理论和数学的成就外，还有不少实验记载，特別是关于摆动的实验。这些， 说明了牛顿也是一位实验科学的大师。总之, 《自然哲学的数学原理》解决 了当时科学上的许多难题。我们希望这里所说的内容能够使读者了解这本书 为什么会被公认为是“人类智慧的最高成就”之一。
即在今天，数学家和天文学家还不能完全解决摄动问题。首先阐明这问 题并为之作出贡献的当推牛顿。他证明太阳的引力可以解释月球的某些已知 的摄动，而且还预言另外一些摄动,但这在他死后很久才为人们证实。
牛顿还进一步地认识引力理论的基础是在这样一个事实上：即宇宙里物 质的每一个质点都施加引力于其他物质的每个质点上。牛顿认识到这是一把 打开许多奥秘的钥匙。这些奥秘中就有海洋的潮汐。牛顿以太阳和月球的引 力使海水发生定时的涨落,说明潮汐的一般特性，而奠定了潮汐理论的基础。
第三定律：对于施加在物体上的每一作用力，同时有一等值而方向相反 的作用力。另一种说法：一物体施力于它物体时，它物体也以等速而反向的 力施加于一物体上。
运动第三定律，在三个定律中也许是最迷人的一个。牛顿曾举例说：如 果你用手指压石头，你的手指也被石头压住；站在地板上时，你的重量作用 于地板，地板也以相等而反向的力托着你的脚掌；如果你踢足球，足球也以 相等而反向的力作用于你的足；你用来复枪射出一颗子弹，这颗子弹的前冲 力便产生后坐力，撞击你的肩头。
上二十册，你可分赠给剑桥的朋友们，大学书店的经理人会帮你办理的。” 《自然哲学的数学原理》的第一版很快销售一空。不到一年，这本书即使以 高于原价三、四倍的钱，还难以买到。有一位苏格兰人为了学习的需要，索 性手抄一册。
这本书的开头，作者以导言的方式，开门见山地写下他有名的运动定律： 第一定律：静止的物体永远静止，运动的物体在直线上以不变的速度， 继续运动，除非受到外力的作用。 这定律导入了惯性的概念，所以又叫做惯性定律。假如你坐在时速为三 十公里的汽车上，汽车忽然煞住，如果你不抓住扶手，你上身便会向前倾倒， 因为你这时仍处在运动的状态中。你所感觉到的这个使你向前倾倒的力便是 惯性的表现。所以惯性即是物体有保持原有静止或运动状态的特性。一个物 体具有的惯性量，与用以使物体减速或加速，停止或改变方向所需的力成正 比。 再设想将一个玩具小车放在平滑而坚硬的铁轨上，然后将车推动，根据 运动第一定律,这小车应该在轨道上以匀速前进。然而，实际的情况不是这 样的，因为这定律没有考虑摩擦力。事实上,小车速度会逐渐变慢最后完全 停止下来，因为小车的车轮与轨道会发生摩擦产生阻力，车身也会在运动中 与空气发生摩擦而产生阻力，这些摩擦阻力愈大，小车停得愈早，摩擦阻力 愈小，小车停得愈慢。如果一切摩擦力都被消除，小车的速度便不会变化而 会永远地前进。 在地球上无法证明这一定律，因为空气的阻力、物体的重力等都会阻止 物体作等速运动。第一定律表现在天体的运动上，因为物体在空间的运行几 乎没有阻力，施于行星上的只有一种力，即万有引力。行星是运动中的物体。
与周期。
二分点运动的岁差现象
牛顿在《自然哲学的数学原理》的结尾处有一段谈论到彗星。天空中这 种拖着尾巴不时出现的神秘拜访者，一向为人看做是灾祸的预 兆，牛顿也 把它们纳入万有引力定律之中。哈雷便根据牛顿的引力定律计算了 1682 年 出现的彗星的轨道，并且注意到这轨道和 1607 年、1531 年所观测过的两颗 彗星的轨道近似。这三颗彗星出现的时期相距约七十六年，使哈雷断定它们 实际上是一颗彗星，按周期复回到地球旁边；于是他预言这颗彗星将于 1758 年再度“来访”地球。这预言应验了，故这颗彗星就以哈雷的姓氏命名，以 后分别又于 1835 年和 1910 年“来访”地球（我国历史上对于哈雷彗星出现 的记载最早——鲁文公十四年即公元前 613 年),而且次数有 31 次之多）。
牛顿在本书最有贡献的第三部分里，用万有引力定律将太阳系里的各种 现象联系起来。牛顿用种种证明出色地确定木星、土星、太阳与地球的引力， 而且为他的平方反比律提供了证据。最后他叙述与他荣誉密切有关的万有引
力定律：一切物体相互吸引，这引力与它们的质量的乘积成正比，而与它们 间的距离平方成反比。
牛顿更证明：由于行星在空间里的运动没有遇到什么阻力，它们的运动 可以说是持久的,而且各个行星围绕太阳在椭圆轨道上运行。牛顿总结道： “一切天体必然遵循万有引力定律，因此两个互相吸引的天体，应在相似的 轨道上围绕公共重心，并互相围绕运行。如果有三个天体（譬如地球、太阳 与月球）互相吸引，它们的轨道必然产生一些微小的改变，因此月球会产生 不合常规的“摄动”，这是由于月球在受到地球的吸引的同时，还受太阳的 吸引。
自有人类发现行星至今，它们总以大约相同的速率运行着。从天体运动可充 分地证明，如果没有外力施加在物体上，它们一定会作直线 运动。
第二定律：物体运动的改变与施加在它上面的力成正比，而且物体运动 方向的改变与所施力的方向有关。
牛顿的运动第二定律为科学家测量力提供了一个有用的方法。根据物体 的质量和物体的速度变化，便可计算这个外加力的大小。第二定律的公式也 使科学工作者得以测量地面任何一处的重力。而且对于现今科学工作者规划 人造卫星的轨道，有极大的价值。
今天我们明白牛顿把他的引力定律冠以“万有”二字的意义，是因为这 种引力存在于宇宙中的一切物体之间，不但是天体，而且还包含一切人为的 机构。亚里士多德认为土、水、火、 风是地上的四种物质，都循直线的方 向而运动，天上的物质只有以太，循圆周的方向而旋转。牛顿的自然体系从 根本上打消了天上地下的区别，提出了一切物质同为一种力学所支配。十九 世纪，由于天体物理研究的进展，说明构成一切天体的物质和地上的物质并 无本质的不同。所以哥白尼与牛顿开始的思想革命,经过了几百年，终于表 明物质宇宙是一个统一的整体。宇宙间的一切事物都在因果关系里不断地演 变。
《自然哲学的数学原理》不是简单地攥集古人的知识，而是反映牛顿本 人成就而写成的一部著作，它是科学史上富有创见性的作品。 牛顿不仅将 力学的基本定律陈述在书内，而且还有为了证明这些定律，而运用自己所发 明的数学工具。书中所叙述的一些运动定律，以前从来没有人象他讲得那样 透彻，几百年来力学上存在的问题，在《自然哲学的数学原理》内都有明确 的解答。第一版于 1687 年 7 月出版，版本不大(32 开)，篇幅约五百页，文 字之外还有许多木刻图画。
《自然哲学的数学原理》的第二部分讨论了物体在有阻力的介质中的运 动。牛顿认为这种阻力（例如空气的阻力),与物体运动的速率正比。由此可 见牛顿已经注意到了现今航空工程师必须处理的一个课题，即飞行器的形状 与空气阻力的关系。
第二部分还讨论了近代物理中的一些重要课题，如摆动理论、流体里的 波动,特别是声波在空气里的运动以及光的理论。今天访问剑桥大学的人， 还可在三一学院的一个厅里看到牛顿做回声实验的“回音壁”。
牛顿的《自然哲学的数学原理》
牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》是一部不太容易理解的著作，因为 牛顿编写时所使用的编写的方法是经典式的几何学方法。如果应用牛顿自己 发明的微分学的方法来叙述，那就可简明易懂得多。牛顿所以那样编写，一 个原因是他欣赏经典的表达方式，另一原因是作者恐怕读者不能完全理解他 所发明的数学方法（流率术），而产生误解，遭到他认为的“迫害”，故宁 舍易而就难。《自然哲学的数学原理》于 1934 年经数学家卡乔里用当时的数 学与文字改写出版，因为自牛顿以来表达科学知识的文字与方法都已改变， 可是这改写本里的内容与理论，和原著却是一样的。现今所流行的《自然哲 学的数学原理》版本便是这种改写本。